摘 要： 在研究最小均方算法LMS(Least Mean Squre)、最小四階算法LMF(Least Mean Fourth)和LMS/F組合算法的基礎(chǔ)上，引入修正因子
對(duì)LMS/F組合算法進(jìn)行改進(jìn)。改進(jìn)的LMS/F組合算法在保持LMS/F組合算法優(yōu)良的收斂精度和穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高了收斂速度和對(duì)時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤特性。改進(jìn)的算法參數(shù)調(diào)整簡(jiǎn)單、高效且運(yùn)算量小，仿真結(jié)果與理論分析相一致，證實(shí)了該算法的優(yōu)異性能。
關(guān)鍵詞： 自適應(yīng)濾波； LMS/F組合算法;? 修正因子; 干擾抵消
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自適應(yīng)數(shù)字濾波器自從20世紀(jì)60年代出現(xiàn)后，其理論不斷地發(fā)展與完善，應(yīng)用也越來越廣泛?；谧疃赶陆捣ǖ腖MS算法因其算法簡(jiǎn)單、穩(wěn)定性好、可在線計(jì)算和易于硬件實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛用于自適應(yīng)控制、信道均衡、系統(tǒng)辨識(shí)及干擾抵消等領(lǐng)域；LMS算法的缺點(diǎn)在于其收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能無法同時(shí)得到滿足，在確定步長(zhǎng)時(shí)需要在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間折衷考慮[1]。為解決這一矛盾，人們提出了許多變步長(zhǎng)LMS算法，但其通常都是在增加較大計(jì)算量的前提下提高其收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能[2-4]。WALACH.E和WIDROW.B提出的LMF算法，在權(quán)值向量距離最優(yōu)解較遠(yuǎn)時(shí)可以獲得比LMS算法更快的收斂速度和更小的均方誤差；但是在權(quán)值向量接近最優(yōu)解時(shí)，其收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能均不如LMS算法[5-7]。LIM S J和JARRIS J G在綜合LMS算法和LMF算法優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，提出了LMS/F組合算法。LMS/F組合算法在權(quán)值向量距離最優(yōu)值較遠(yuǎn)時(shí)，收斂速度和穩(wěn)定性比基本LMS算法好；在權(quán)值向量接近最優(yōu)解時(shí)，穩(wěn)定性比LMF算法好[4,8]。
衡量自適應(yīng)濾波算法性能的指標(biāo)有4個(gè)[1,9]：收斂速度、收斂精度、計(jì)算復(fù)雜度和對(duì)時(shí)變系統(tǒng)的跟蹤能力。本文引入修正因子
對(duì)LMS/F組合算法進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)的算法具備更快的收斂速度、參數(shù)調(diào)整簡(jiǎn)單、高效且運(yùn)算量小，能同時(shí)體現(xiàn)以上4個(gè)特點(diǎn)。
1 LMS算法、LMF算法和LMS/F組合算法
自適應(yīng)濾波器由參數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器和自適應(yīng)算法兩部分組成，其原理如圖1所示。
圖1中，x(n)為n時(shí)刻輸入信號(hào)矢量；d(n)表示n時(shí)刻的參考信號(hào)值或期望響應(yīng)的信號(hào)值；w(n)為自適應(yīng)數(shù)字濾波器的權(quán)值向量；e(n)為誤差信號(hào)，可由公式(1)得到。
輸入信號(hào)x(n)通過參數(shù)可調(diào)數(shù)字濾波器后產(chǎn)生輸出信號(hào)y(n)，將其與參考信號(hào)(或期望響應(yīng))d(n)進(jìn)行比較，形成誤差信號(hào)e(n)。權(quán)值向量w(n)由誤差信號(hào)e(n)控制，輸出根據(jù)e(n)值而自動(dòng)調(diào)整，使之適合下一時(shí)刻輸入x(n+1)，以便使y(n+1)接近于所期望的參考信號(hào)d(n+1)。
1.1 LMS算法
LMS自適應(yīng)濾波算法的獨(dú)立性理論最早由Windrow和Huff提出，LMS算法權(quán)值向量的更新公式為[1]:
(2)式中步長(zhǎng)μ為控制收斂速度的常數(shù)，e(n)為誤差信號(hào)，x(n)為輸入信號(hào)矢量。為了保證迭代后收斂，步長(zhǎng)μ必須滿足：
為輸入序列x(n)自相關(guān)矩陣的最大特征值。
LMS算法具有算法簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、易于實(shí)現(xiàn)、魯棒性好和可在線計(jì)算等優(yōu)點(diǎn)，在自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用，但其存在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差性能無法同時(shí)得到滿足的缺點(diǎn)。
1.2 LMF算法
WALACH E和WIDROW B 提出的LMF算法采用四階誤差信號(hào)最小化準(zhǔn)則，在權(quán)值更新向量距離最優(yōu)值較遠(yuǎn)時(shí)，LMF算法可以獲得比LMS算法更快的收斂速度和更小的均方誤差，其權(quán)值向量更新公式為[5]:
由于LMF算法在權(quán)值向量更新中采用誤差e(n)的三階函數(shù)，因而對(duì)附加噪聲和信噪比都非常敏感。當(dāng)信噪比較小、權(quán)值向量與最優(yōu)權(quán)值向量誤差較大時(shí)，可以獲得較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差；但當(dāng)信噪比變大時(shí)，LMF算法的性能將會(huì)急劇退化，并導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)性變差；在權(quán)值更新向量接近最優(yōu)解時(shí)，其穩(wěn)態(tài)誤差的性能不如LMS算法。
1.3 LMS/F組合算法
LIM S J和JARRIS J G提出的LMS/F組合算法的權(quán)值向量更新公式如下式所示[8]：
正數(shù)Vth是一個(gè)為保證算法快速收斂和較高收斂精度而設(shè)置的參數(shù)。e(n)>>Vth時(shí)，步長(zhǎng)μlms/f趨近LMS算法步長(zhǎng)μlms；e(n)<
LMS/F組合算法在計(jì)算量增加不多的基礎(chǔ)上卻同時(shí)兼有LMS和LMF算法的優(yōu)點(diǎn)：在權(quán)值更新向量距離最優(yōu)值較遠(yuǎn)時(shí)，收斂速度和穩(wěn)定性比基本LMS算法好；在權(quán)值更新向量接近最優(yōu)解時(shí)，穩(wěn)定性比LMF算法好。LMS/F組合算法通過適當(dāng)?shù)卦O(shè)置μlms/f，Vth的改變不會(huì)引起收斂過程的振蕩。當(dāng)信號(hào)受加性高斯白噪聲影響時(shí)，預(yù)設(shè)μlms/f≈2.2 μlms和Vth=5E[e2(n)]，LMS/F組合算法可以取得比較理想的收斂效果[4,9]。
2 改進(jìn)的LMS/F組合算法
本文對(duì)LMS/F組合算法加入一個(gè)修正因子
，提出一種改進(jìn)的LMS/F組合算法，其權(quán)值向量更新公式如下
其中，修正因子≥1(≥1時(shí)即為基本LMS/F組合算法)，的具體取值將在下一節(jié)權(quán)值收斂條件中進(jìn)行分析。
??? 由(5)式可以看出在算法初始狀態(tài)e(n)較大時(shí)，改進(jìn)的LMS/F組合算法濾波準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)可由公式(6)表示、權(quán)值向量w(n)的更新公式可由公式(7)來近似。
??? 
??? 由公式(7)可以看出，改進(jìn)的LMS/F組合算法權(quán)值向量的更新公式與LMS算法相近，且其步長(zhǎng)為L(zhǎng)MS算法的γ倍，則在當(dāng)e(n)較大時(shí)可以保持較大的步長(zhǎng)調(diào)整從而提高收斂速度。
??? 在自適應(yīng)算法收斂后到達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)e(n)較小時(shí)，相比于Vth，可以認(rèn)為e2(n)/≈0。則改進(jìn)的LMS/F組合算法濾波準(zhǔn)則的代價(jià)函數(shù)可由公式(8)表示、權(quán)值向量w(n)的更新公式可由公式(9)來近似。
??? 
因而在當(dāng)e(n)較小時(shí)，其濾波準(zhǔn)則與LMS/F組合算法相同，同時(shí)由公式(9)可知，其步長(zhǎng)調(diào)整不受修正因子γ的影響，改進(jìn)的算法可以保持較小步長(zhǎng)，能夠保證與LMS/F組合算法相同的收斂精度，相比于LMS算法可以得到更高的收斂精度。
3 改進(jìn)的LMS/F組合算法性能分析
3.1 算法計(jì)算復(fù)雜度分析
本文提出的算法是基于LMS/F組合算法進(jìn)行改進(jìn)的，由公式(5)可以看出改進(jìn)的算法參數(shù)調(diào)整簡(jiǎn)單高效。改進(jìn)的LMS/F組合算法每次迭代時(shí)只需在LMS/F組合算法的基礎(chǔ)上對(duì)修正因子γ多進(jìn)行一次除法運(yùn)算，因而其計(jì)算量增加很少。相對(duì)于基本LMS算法，每次迭代時(shí)僅僅增加了3次乘法、2次除法和1次加法，且不存在運(yùn)算量較大的指數(shù)運(yùn)算等因素。因而相比大多數(shù)的變步長(zhǎng)LMS算法，該算法具有參數(shù)調(diào)整簡(jiǎn)單高效、運(yùn)算量小的優(yōu)點(diǎn)。
3.2 權(quán)值向量的收斂條件
為分析改進(jìn)的LMS/F組合算法權(quán)值向量的收斂條件，把公式(5)寫成變步長(zhǎng)LMS算法形式：
從公式(10)中可以得到該算法的步長(zhǎng)因子,記為μ(n)。LMS算法的收斂條件為
為輸入序列x(n)自相關(guān)矩陣的最大特征值。則改進(jìn)的LMS/F組合算法收斂條件為：
3.3 算法收斂性能分析
上一節(jié)已經(jīng)分析了在自適應(yīng)初始階段e(n)較大時(shí)，可以保持較大的步長(zhǎng)調(diào)整從而提高收斂速度；在算法達(dá)到穩(wěn)態(tài)e(n)較小時(shí)，可以保持較小的步長(zhǎng)調(diào)整從而能夠保證較高的收斂精度。下面從步長(zhǎng)μ(n)與誤差e(n)的函數(shù)關(guān)系入手，進(jìn)一步分析該算法的收斂性能。步長(zhǎng)μ(n)與誤差e(n)的函數(shù)關(guān)系曲線如圖2所示。
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圖2顯示了
=4、=2和=1時(shí)μ(n)和e(n)的非線性關(guān)系(其中，當(dāng)時(shí)即為基本LMS/F組合算法)。由圖2可以看出,當(dāng)e(n)較大時(shí)，改進(jìn)的LMS/F組合算法可以得到比LMS/F組合算法更大的步長(zhǎng)調(diào)整，因而可以得到更快的收斂速度(的取值需滿足公式(13)所給出的收斂條件)。當(dāng)算法接近于穩(wěn)態(tài)、e(n)較小時(shí)，改進(jìn)的LMS/F組合算法的步長(zhǎng)μ(n)與誤差e(n)的函數(shù)關(guān)系曲線與基本LMS/F組合算法相一致，從而可以獲得相比于LMS算法更高的收斂精度。
3.4 算法失調(diào)分析
在自適應(yīng)濾波器中，失調(diào)δ是衡量其濾波性能的一個(gè)技術(shù)指標(biāo)，用來描述自適應(yīng)算法的穩(wěn)態(tài)均方誤差ξ對(duì)最小均方誤差ξmin的相對(duì)偏移，即：
?由(17)式可以看出，算法進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，算法的步長(zhǎng)因子趨于極小，且遠(yuǎn)小于LMS算法，因而改進(jìn)的算法的失調(diào)系數(shù)也極小，其性能優(yōu)于LMS算法,與基本LMS/F組合算法保持一致。
3.5 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果
下面通過計(jì)算機(jī)模擬對(duì)改進(jìn)的LMS/F組合算法進(jìn)行仿真，并將其與LMS算法、LMF算法和基本LMS/F組合算法的性能進(jìn)行比較，來檢驗(yàn)改進(jìn)的LMS/F組合算法的性能。計(jì)算機(jī)模擬條件如下:自適應(yīng)濾波器階數(shù)L=4，未知系統(tǒng)初始權(quán)值向量為w=[0,0]；參考輸入信號(hào)是零均值、方差為1的高斯白噪聲；ε(n)為與x(n)不相關(guān)的零均值高斯白噪聲，方差為0.01。仿真中Vth=0.05，改進(jìn)的LMS/F組合算法中修正因子
=4。分別做100次獨(dú)立仿真，求其統(tǒng)計(jì)平均，得到的收斂曲線如圖3所示。
圖3顯示了LMS算法、LMF算法、LMS/F組合算法和改進(jìn)的LMS/F組合算法的收斂過程和所能達(dá)到的MSE的情況。LMF算法的收斂速度較慢，在400次迭代之后還沒有達(dá)到穩(wěn)態(tài)。改進(jìn)的LMS/F組合算法收斂速度最快，在收斂速度性能上的優(yōu)勢(shì)非常明顯,其收斂精度與基本LMS/F組合算法一致，略優(yōu)于LMS算法，因而可以獲得很好的穩(wěn)態(tài)誤差性能。
4 改進(jìn)的LMS/F組合算法在自適應(yīng)跳頻同址干擾抵消中的應(yīng)用
自適應(yīng)干擾抵消是指以噪聲干擾為處理對(duì)象，將它們抑制掉或者進(jìn)行非常大的衰減，以提高信號(hào)傳輸和接收的質(zhì)量。自適應(yīng)同址干擾抵消主要用于解決布置在同一平臺(tái)(如車載、艦載或機(jī)載)收發(fā)信機(jī)間的干擾隔離問題。由于同址環(huán)境中發(fā)射機(jī)和鄰近接收機(jī)的收發(fā)電平相差很大(最高可達(dá)50 dB～100 dB)，受收發(fā)信機(jī)天線的隔離度的限制，本地跳頻電臺(tái)發(fā)射機(jī)產(chǎn)生的強(qiáng)干擾電平一般會(huì)超過鄰近接收機(jī)的動(dòng)態(tài)范圍，造成接收機(jī)阻塞。由于跳頻FH(Frequency Hopping)干擾信號(hào)的時(shí)變特性，使得跳頻電臺(tái)間同址干擾的處理變得更為復(fù)雜，因此，應(yīng)用于跳頻電臺(tái)同址干擾抵消的自適應(yīng)濾波算法應(yīng)當(dāng)滿足收斂速度快、收斂精度高、處理非平穩(wěn)信號(hào)魯棒性能好等要求[10]。
自適應(yīng)干擾抵消計(jì)算機(jī)仿真參數(shù)設(shè)計(jì)如下：有用接收信號(hào)和本地射頻同址干擾信號(hào)均為MSK調(diào)制的跳頻信號(hào)；干擾信號(hào)比有用信號(hào)強(qiáng)60 dB，本地耦合的參考信號(hào)比目標(biāo)接收信號(hào)強(qiáng)50 dB、比射頻干擾信號(hào)弱10 dB；仿真中干擾信號(hào)和目標(biāo)接收信號(hào)頻差200 kHz，各路信號(hào)的時(shí)延誤差控制在4 ns以內(nèi)[10]；濾波器階數(shù)為4階，在第400采樣點(diǎn)時(shí)干擾信號(hào)的載頻發(fā)生跳變，仿真結(jié)果如圖4所示。
圖4顯示了LMS算法、LMS/F組合算法和改進(jìn)的LMS/F組合算法在自適應(yīng)跳頻同址干擾抵消中的性能比較。改進(jìn)的LMS/F組合算法大概經(jīng)過30次迭代就可以進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，相比于LMS/F組合算法的150次迭代和LMS算法的300多次迭代，其收斂速度上的優(yōu)勢(shì)非常明顯；當(dāng)?shù)?00個(gè)采樣點(diǎn)載頻跳變時(shí)，該算法也能更快重新收斂到穩(wěn)態(tài)，表明其具有更好的魯棒性能。由于LMF算法對(duì)附加噪聲和信噪比非常敏感，因而在該仿真中，LMF算法不能收斂，其性能不能滿足自適應(yīng)跳頻同址干擾抵消的要求，故在圖4中未列出其性能曲線。
LMS算法應(yīng)用于干擾抵消器時(shí)采用固定步長(zhǎng)，存在收斂速度慢、失調(diào)量大的缺點(diǎn)。改進(jìn)的LMS/F組合算法可以較好地解決收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的內(nèi)在矛盾、跟蹤時(shí)變系統(tǒng)和降低干擾輸出功率，為提高同址環(huán)境下跳頻電臺(tái)間的干擾抵消性能提供更好的途徑。
本文引入修正因子γ對(duì)LMS/F組合算法進(jìn)行改進(jìn)，并進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果與理論分析相一致，表明了該算法的優(yōu)良性能：改進(jìn)的LMS/F組合算法參數(shù)調(diào)整簡(jiǎn)單高效、運(yùn)算量小(與LMS/F組合算法相比基本不增加運(yùn)算量)，在保證LMS/F組合算法的收斂精度和穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步加快了算法的收斂速度。
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