在自適應算法的設計中，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差是兩個重要的指標，然而在一般的自適應算法設計中，這兩個指標往往不能同時達到最佳值，即收斂速度快、穩(wěn)態(tài)誤差大，而收斂速度慢、穩(wěn)態(tài)誤差小[1]。為了獲得收斂速度快、穩(wěn)態(tài)誤差小的自適應算法，研究人員提出了自適應濾波算法的凸組合方案[2-5]，它的優(yōu)點在于組成結構相對簡單，并且在穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)情況下均有良好的性能[6]。

　　最近，自適應仿射組合算法被提出[7]，它是凸組合算法的推廣。在凸組合算法中，采用sigmoid函數(shù)作為組合參數(shù)?姿(n)，因此?姿(n)的取值范圍是[0,1]；而對于仿射組合算法，組合參數(shù)?姿(n)的取值不受區(qū)間[0,1]的限制，它的取值在穩(wěn)態(tài)下為負值[8]。組合參數(shù)?姿(n)是仿射組合算法中重要的控制因子，通過對組合參數(shù)的調(diào)整，可以實現(xiàn)對每個子濾波器的切換。從理論上說，該仿射組合算法可以獲得每個子自適應濾波算法的優(yōu)點，即同時具有快的收斂速度和小的穩(wěn)態(tài)誤差。

　　本文分析了仿射組合自適應濾波算法的瞬態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程，并提出了一種可實現(xiàn)的更新組合參數(shù)的方法。仿真結果表明，該組合參數(shù)的性能曲線同時具有快的收斂速度和低的穩(wěn)態(tài)誤差，與最佳性能曲線一致。

1 仿射組合自適應濾波算法

　　仿射組合自適應濾波算法原理框圖如圖1所示。

　　圖1中，每個濾波器均采用LMS算法，濾波器1采用的LMS算法，步長為1；濾波器2采用的LMS算法。

　　LMS自適應算法濾波器權向量Wi(n)更新公式為:

　　其中，W1(n)是濾波器1的N階權向量，W2(n)是濾波器2的N階權向量。假設eo(n)是均值為0、方差為的噪聲信號，并且和其他信號統(tǒng)計獨立。U(n)為輸入信號，U(n)=[u(n),…,u(n-N+1)]T。

　　組合后的輸出信號為：

　　式(10)表明，當系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時，o(n)<0。

　　由于兩個子濾波器對最佳權向量的估計有一定的相關性，因此在穩(wěn)態(tài)時，(n)<0表明采用子濾波器1估計系統(tǒng)最優(yōu)權向量值應當減去用子濾波器2估計系統(tǒng)最優(yōu)權向量的值，從而避免噪聲信號及兩個子濾波器對最佳權向量估計的相關性所帶來的誤差干擾[9]。

2 歸一化組合參數(shù)?姿(n)的更新公式

　　由于式(9)是在理想情況下得出的，在實際應用中難以實現(xiàn)，因此本文提出一種可實現(xiàn)的歸一化組合參數(shù)(n)的更新公式。

　　對E[e2(n)|W2(n),W12(n)]求偏導并使它等于0，可得:

　　式(12)是組合參數(shù)?姿(n)的一階隨機時變遞歸表達式。式(12)較穩(wěn)定，但是跟蹤子濾波器的性能較差；若>1時，系統(tǒng)的跟蹤性能較好，但是容易導致式(12)的初始階段調(diào)整的不穩(wěn)定。因此這里采用類似于NLMS算法形式的功率歸一化方案調(diào)整參數(shù)，在初始階段小于1，以保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性；在過渡階段及穩(wěn)態(tài)階段大于1，以保證系統(tǒng)對子濾波器具有較好的跟蹤性能。令:

3 仿真分析

　　假設未知系統(tǒng)為7階FIR濾波器模型，自適應濾波器的階次與未知模型階次相同,并且每次仿真均采用100次蒙特卡洛循環(huán),方差為1的高斯白噪聲信號。這里采用均方偏差MSD(Mean Square Deviation)表征仿射組合算法的性能。

　　圖2 給出了迭代函數(shù)(n)曲線。圖3給出了仿射組合濾波算法組合參數(shù)(n)曲線。圖3中虛線表示由式(9)得出的最佳組合參數(shù)o(n)的曲線，實線表示采用式(15)得到的曲線。圖3表明，本文所提出的組合參數(shù)(n)的曲線和最優(yōu)組合參數(shù)(n)的曲線幾乎一致，在穩(wěn)態(tài)時，組合參數(shù)的值小于零。

　　圖4展示了在理想情況下仿射組合自適應濾波算法的均方偏差性能曲線。圖4中收斂較快的曲線是濾波器1的收斂曲線，收斂較慢的曲線是濾波器2的收斂曲線，由于1>2，濾波器1的收斂速度比濾波器2的收斂速度快。虛線表示根據(jù)理論推導所得出的理想組合算法的均方誤差曲線。

　　圖5和圖6展示了采用式(15)作為組合參數(shù)得出的仿射組合濾波算法穩(wěn)態(tài)偏差性能曲線。兩個組成濾波器的步長是固定的，圖5中的濾波器1的步長1=0.1，濾波器2的步長2=0.02。圖6中的1=0.1, 2=0.03。從圖5和圖6可以看出，組合后的均方偏差MSDc隨著濾波器1和濾波器2的均方偏差變化而變化。在初始階段，組合濾波器的性能曲線跟隨濾波器1的性能曲線；在過渡階段，組合濾波器的性能曲線逐漸由濾波器1過渡到濾波器2；穩(wěn)態(tài)階段，組合濾波器的性能曲線跟隨濾波器2的性能曲線，改變組成濾波算法的步長值，組合后的算法性能曲線仍然具有良好的跟蹤性能。

　　仿射組合自適應濾波算法是凸組合算法的推廣，仿射組合自適應濾波算法的組合參數(shù)(n)不受區(qū)間[0,1]的限制。在仿射組合算法中，每個子濾波器對未知信道產(chǎn)生獨立的估計，因此存在一個最佳仿射組合系數(shù)使穩(wěn)態(tài)偏差最小。本文對兩個自適應濾波器組成的仿射組合自適應濾波算法的性能進行了分析研究，提出了一個可實現(xiàn)的組合參數(shù)(n)的更新公式，并得出了相應的仿真結果。仿真結果表明，本文提出的組合參數(shù)更新公式與最佳組合參數(shù)更新公式一致，采用該組合參數(shù)的仿射組合算法可以實現(xiàn)自適應算法快的收斂速度和低的穩(wěn)態(tài)偏差，對信號處理領域研究具有一定的參考價值。

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