王鑫，陳欣，李繼廣

　　（南京航空航天大學 自動化學院，江蘇 南京 211106）

　　摘要：粒子群算法對系統(tǒng)的依賴程度低，不要求被優(yōu)化函數(shù)具有可微、可導、連續(xù)的特性。應(yīng)用理論推導的方法，證明了粒子群算法在多極值目標函數(shù)下的全局收斂和局部收斂的條件,并且分析了粒子群算法中各參數(shù)對算法局部收斂速度、全局收斂能力的影響。本文主要貢獻包括：分析發(fā)現(xiàn)粒子初始位置均勻分布可以提高算法的全局收斂能力；提出最大值的方法決定算法局部收斂速度，該函數(shù)不隨權(quán)重系數(shù)單調(diào)遞減；最后，將基于粒子群算法應(yīng)用于流體矢量裝置控制器上，仿真結(jié)果驗證了該設(shè)計方法的有效性。

　　關(guān)鍵詞：粒子群算法;收斂性;收斂速度;流體矢量控制;補償器

　　中圖分類號：V249文獻標識碼：ADOI： 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.10.006

　　引用格式：王鑫，陳欣，李繼廣.粒子群算法研究及其在流體矢量裝置控制上的應(yīng)用［J］.微型機與應(yīng)用，2017,36（10）：18-22.

0引言

　　粒子群(PSO)算法是一種基于智能的隨機全局優(yōu)化算法，其算法思想來源于動物行為學和社會心理學，是對生物社會系統(tǒng)的模擬［1］。該算法不要求被優(yōu)化函數(shù)具有可微、可導、連續(xù)等條件［2］，且具有思想直觀、實現(xiàn)簡單、執(zhí)行效率高等優(yōu)點，固而受到相關(guān)研究領(lǐng)域的關(guān)注［3］。

　　對于多極點目標函數(shù)的搜索問題，粒子群算法存在容易陷入局部極值點的情況。為了克服該缺點，帶審斂因子的變鄰域粒子群方法［4］、基于局部搜索與混介多樣性策略的多目標粒子群算法［5］和一種動態(tài)改變慣性權(quán)重的自適方案［68］先后被提出來以簡化算法，提高算法的運行效率；粒子群算法和蟻群算法相結(jié)合，基于粒子群算法的多目標文化算法和一種基于自適應(yīng)慣性權(quán)重的混沌粒子群算法大大提高了算法的搜索能力［9］。這些研究主要依據(jù)經(jīng)驗和仿真實驗，但是對算法機理及各參數(shù)對算法收斂性影響的理論分析證明方面的研究則較少。雖然在理論上，對簡化系統(tǒng)條件下應(yīng)用線性系統(tǒng)分析了單個粒子的收斂問題，但是對算法的全局搜索能力、隨機性、動態(tài)特性的影響的研究分析較少［10］。

　　流體矢量噴管相比于機械式矢量噴管具有結(jié)構(gòu)簡單、質(zhì)量輕、成本低、可靠性高等優(yōu)點。相比于機械矢量噴管，流體矢量噴管質(zhì)量減少24%~80%，發(fā)動機推質(zhì)比提高7%~12%，成本和維護費用降低37%~53%。同時由于該噴管幾何形狀固定，消除了運動部件的縫隙，可以減小雷達散射截面，提高飛機的隱身性能［1112］。流體矢量技術(shù)可以作為新型控制舵面，為飛翼無人機控制提供了新的思路，是解決該問題的有效途徑之一。

　　本文應(yīng)用理論方法證明，分析了粒子群算法中各參數(shù)對算法局部收斂速度、全局收斂能力的影響，給出了多極值目標函數(shù)下算法獲得全局最優(yōu)解的有效途徑和加速局部收斂的條件，并應(yīng)用本文得到的結(jié)論，給出了算法各參數(shù)的選取策略。最后，應(yīng)用粒子群算法設(shè)計了流體矢量裝置控制器，仿真結(jié)果驗證了該粒子群算法設(shè)計應(yīng)用的有效性。

1粒子群算法的分析和提出

　　1.1影響局部收斂條件分析

　　經(jīng)典粒子群算法的更新方程為：

　　vid=ωvid+c1rand()(Pid-xid)+c2rand()(Pgd-xid)

　　xid=xid+vid(1)

　　為了理論推導方便，本文把粒子群算法的更新方程表示成以下更具普遍意義的形式：

　　v(t)=ωv(t－1)+φ1(p(t－1)－P)+φ2(pg－x(t－1))

　　x(t)=x(t－1)+v(t)(2)

　　算法的更新準則為：

　　iff(x(t))<f(P),ThenP=x(t)

　　iff(P)<f(Pg),ThenPg=P(3)

　　為分析參數(shù)對算法局部搜索能力的影響，對粒子群算法做如下假設(shè)：

　?。?）目標函數(shù)f(x)為單峰函數(shù)，搜索空間S為有界凸集。即目標函數(shù)f(x)在搜索空間S內(nèi)滿足：

　　f((1－a)x1+ax2)<max(f(x1),f(x2))

　　x1,x2∈Sa∈(0,1)(4)

　?。?）f(Pg)≤f(p(t))始終成立。pg為群體最優(yōu)值，P(t)為第t次迭代時的個體最優(yōu)值。隨迭代次數(shù)t的變化，P(t)，Pg(t)的動態(tài)變化規(guī)律為：

　　P(t+1)=x(t)，f(x(t))≥f(p(t))

　　P(t)，f(x(t))<f(p(t))(5)

　　Pg(t+1)=Pg(t)，f(p(t))≥f(pg(t))

　　P(t)，f(P(t))<f(pg(t))(6)

　　因為優(yōu)化問題的搜索空間S是有限的，目標函數(shù)f(x)在搜索空間S中存在最優(yōu)解，P(t),Pg(t)∈S，所以f(P(t))與f(Pg(t))存在下界。

　　令limt→∞f(P(t))=f*P，limt→∞f(Pg(t))=f*g，則有：limt→∞P(t)=Sf*P={xf(x)=f*P,x∈S}

　　limt→∞Pg(t)=Sf*g={xf(x)=f*g,x∈S}

　　由式(2)和(3)知，limt→∞P(t)和limt→∞Pg(t)不會分別在以上兩個集合的值上直接移動，而是集合中的某一固定值。所以，limt→∞P(t)和limt→∞Pg(t)存在。

　　該結(jié)論說明，隨著迭代次數(shù)的增加，f(P(t))與f(Pg(t))將逐步趨近于某一固定值，而P(t)與Pg(t)也將趨于穩(wěn)定。也即隨著迭代次數(shù)的增加，粒子群算法的隨機性將減弱，P(t)與Pg(t)將趨于固定。這是個重要的結(jié)論，是下文推導的基礎(chǔ)。

　　由于P(t)與Pg(t)將趨于固定，令limt→∞P(t)=P*，limt→∞Pg (t) = P*g ，則有：

　　limt→∞x(t)=limt→∞(1－a)P(t)+aPg(t)=(1－a)P*+aP*g(7)

　　下面推導粒子群算法各參數(shù)對算法局部搜索能力的影響。

　　隨著迭代次數(shù)的增加，P(t)與Pg(t)將趨于固定，這里假設(shè)算法搜索后期P(t)與Pg(t)為固值，即P(t)=P與Pg(t)=Pg。

　　令φ=φ1+φ2，根據(jù)式(2)消去相關(guān)項，可得如下差分方程：

　　x(t+1)=(1+ω－φ)x(t)－ωx(t－1)+

　　φ1P+φ2Pg(8)

　　上式用矩陣形式表示為：

　　由方程(12)知，算法收斂的充分必要條件是max(α,β)<1，且max(α,β)越小，算法的收斂速度越快。

　　由算法的收斂條件max(α,β)<1以及特征根可以確定各參數(shù)的取值范圍。求解不等式可得，保證算法收斂的各參數(shù)應(yīng)滿足：

　　ω<1

　　(1+ω－φ)2<4ω (13)

　　由此可得，粒子群算法局部收斂條件是：

　　0<ω<1

　　0<φ<4

　　ω>0.5φ－1(14)

　　1.2全局收斂的條件

　　粒子群算法是一種具有全局搜索能力的啟發(fā)式算法。大量的實驗證明，粒子群算法的收斂具有一定的隨機性。粒子群算法所謂的收斂只是收斂到最優(yōu)值Pg附近，即在迭代一定次數(shù)后，粒子只能在最優(yōu)值Pg附近探索最好點。因此，本文所討論的算法收斂指的是算法收斂于最優(yōu)值附近的能力。

　　為了分析算法的全局搜索能力，這里對其做如下定義：對于多峰值目標函數(shù)，粒子群算法的全局搜索能力是算法搜索最優(yōu)單峰的能力。根據(jù)該定義，粒子群算法的全局搜索能力是指算法的迭代初始階段搜索目標函數(shù)可行區(qū)域內(nèi)的眾多峰值中的最優(yōu)峰值，并使得粒子向最優(yōu)峰值附近聚集以達到局部搜索加快收斂的目的。

　　差分方程(12)描述了算法的運動狀態(tài)，上文的推導得出了算法收斂條件和收斂快慢的決定條件。但是要確定算法最后的收斂值還需要確定差分方程(12)中三個系數(shù)k1,k2,k3。對于多峰目標區(qū)域，上述系數(shù)并不是常數(shù)，確定各組系數(shù)是困難的甚至是不可能的。因此，對算法做如下假設(shè)：

　?。?）為了使所有峰值附近同等地具有一定數(shù)量的粒子，初始狀態(tài)粒子應(yīng)盡可能地均勻分布在整個目標區(qū)域；

　?。?）迭代初始階段，各粒子向其附近的峰值聚集；

　?。?）當更優(yōu)的峰值出現(xiàn)時，粒子具有一定的能力向該峰值區(qū)域運動。

　　根據(jù)假設(shè)（1），對目標函數(shù)峰值附近鄰域進行劃分得到不同的區(qū)域。在不同的區(qū)域內(nèi)，粒子的運動等同于單峰目標搜索過程。

　　根據(jù)算法初始化條件，令區(qū)域j內(nèi)的粒子初始位置為xj0，初始速度為vj0，則有：

　　這里a=φj1φj1+φj2為隨機數(shù)。

　　對于多峰目標函數(shù)，最優(yōu)的Pg總是存在，且是固定的。當粒子以limt→∞x(t)=(1－a)Pj+aPjg向各自區(qū)域的最優(yōu)值Pjg聚集時，由于隨機數(shù)a=φj1φj1+φj2的存在，一部分粒子將跳出其所在的區(qū)域向max(Pjg)所在區(qū)域運動，并聚集到該區(qū)域繼續(xù)接下來的運動。此時，若粒子具有足夠的跳轉(zhuǎn)速度，則可完成該粒子所在區(qū)域的轉(zhuǎn)移過程，實現(xiàn)粒子向更優(yōu)區(qū)域聚集的目的。隨著該過程不斷重復，所有的粒子都將聚集到最優(yōu)值Pg所在的區(qū)域。此時，多峰目標函數(shù)搜索過程退化為單峰目標函數(shù)搜索過程。即最終將收斂于最優(yōu)值Pg附近，算法是收斂的。

　　1.3參數(shù)對收斂速度的影響分析

　　從上文算法全局收斂的條件可知，為提高算法的全局搜索能力，算法應(yīng)滿足：（1）為了使粒子能夠聚集到最優(yōu)峰值Pg附近，初始時刻應(yīng)使所有峰值附近均勻地具有一定數(shù)量的粒子。這就要求初始狀態(tài)粒子應(yīng)盡可能地均勻分布在整個目標區(qū)域；（2）在迭代過程中，當次優(yōu)峰值出現(xiàn)時，粒子應(yīng)有足夠的速度聚集到該峰值附近。這要求算法具有較大的慣性系數(shù)。從上文算法局部收斂的條件可知，為提高算法的收斂速度，應(yīng)使max(α,β)盡可能地小，其中α，β由式(11)確定。由于式(11)較復雜，這里固定φ值，研究max(α,β)隨權(quán)重系數(shù)變化的情況，如圖1所示。

　　由圖1可知，max(α,β)值并不是隨權(quán)重系數(shù)的大小線性變化，而是存在一個極小值，并且該極小值隨φ值的增大而增大。因此，為了提高算法的全局搜索能力，隨機數(shù)φ1、φ2應(yīng)盡可能地均勻分布；搜索的開始階段權(quán)重系數(shù)應(yīng)盡可能地大；為了提高算法的收斂速度，搜索的后半階段權(quán)重系數(shù)應(yīng)根據(jù)φ值盡可能地使得max(α,β)值取到極小值。為了協(xié)調(diào)算法全局搜索能力和局部收斂速度，使慣性系數(shù)隨著迭代次數(shù)的增加逐漸減小是一種有效的途徑。并且，最好是上凸函數(shù)的遞減關(guān)系。

　　1.4初始分布的影響

　　從前文的推導可知，粒子的初始分布在一定程度上決定著算法的全局搜索能力。在實際應(yīng)用中，除了采用rands()函數(shù)產(chǎn)生隨機分布粒子外，最常用的方法是采用混沌映射產(chǎn)生均勻粒子分布。

　　應(yīng)用rands()函數(shù)對粒子位置進行初始化，粒子在可行域內(nèi)的分布可能并不均衡，這將對算法的全局搜索能力產(chǎn)生不利的影響?；煦缧蛄芯哂谢煦邕\動的遍歷性、隨機性等特性，能在一定范圍內(nèi)按自身的規(guī)律不重復地遍歷所有狀態(tài)。因此，應(yīng)用混沌序列對算法粒子進行位置初始化設(shè)置更具優(yōu)勢。

　　混沌模型中最具代表性的是Logistic映射和立方映射。其中，Logistic映射為：

　　y(n+1)=γy(n)(1－y(n))

　　0≤y(n)≤1,3.56≤γ≤4

　　其中，γ為控制量，當γ=4時，系統(tǒng)完全處于混沌狀態(tài)。

　　立方映射的表達式為：

　　y(n+1)=4y(n)3－3y(n))

　　-1≤y(n)≤1

　　只要迭代的初始值不為零，立方映射的混沌效應(yīng)就會發(fā)生。

2流體矢量裝置控制

　　2.1流體矢量裝置特性分析和建模

　　流體矢量裝置通過調(diào)節(jié)次流的流速，控制主流的矢量角可以提高飛機的升力，增大飛機失速迎角，達到飛翼無人機機動控制的目的。

　　次流流速是影響裝置矢量角度偏轉(zhuǎn)的重要因素，CFD計算結(jié)果如圖2所示?？梢钥闯鍪噶拷嵌入S次流流速的增加而增加。當次流流速較小時，矢量角變化量很大，類似于裝置的開關(guān)效應(yīng)。但是，當次流速度大于20 m/s之后，主流的矢量角隨次流流速的增加而增加，且具有較好的線性關(guān)系。

　　除二次流流速外，影響主流矢量角的因素還包括二次流吸入量(進氣口面積S)、主流能量(這里用落壓比NPR表示)。根據(jù)試驗計算結(jié)果，F(xiàn)TV裝置的數(shù)學模型為：

　　δ=ε1sin(v/η1),0<v≤V1

　　ε2Slog(η2NPR)v,V1<v≤V2

　　ε3,v≥V3

　　2.2流體矢量裝置控制

　　由于流體矢量裝置的矢量角度對參數(shù)變化敏感，這里設(shè)計了粒子群自適應(yīng)控制器。系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)如圖3所示。

　　圖3系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)

　　由于矢量角的測量存在誤差，因此以次流流速為主反饋信號，矢量角信號作為輔助信號，主流矢量角的控制律為：

　　2.3仿真驗證

　　為了提高算法的全局搜索能力和收斂速度，如圖3所示的補償器采用混沌函數(shù)對粒子初值進行初始化，公式如下：

　　其數(shù)值仿真結(jié)果如圖4所示，由圖可知采用基于粒子群算法的流體矢量控制算法在系統(tǒng)不確定和有干擾情況下，具有跟蹤輸入信號的能力。

3結(jié)論

　　本文應(yīng)用理論推導的方法，證明了粒子群算法在多極值目標函數(shù)下的全局收斂和局部收斂的條件，分析了粒子群算法中各參數(shù)對算法局部收斂速度、全局收斂能力的影響。根據(jù)推導過程，為了提高算法的全局搜索能力，隨機數(shù)φ1，φ2應(yīng)盡可能地均勻分布；搜索的開始階段權(quán)重系數(shù)應(yīng)盡可能地大。為了提高算法的收斂速度，搜索的后半階段權(quán)重系數(shù)應(yīng)根據(jù)φ值盡可能使得max(α,β)值取到極小值。為了協(xié)調(diào)算法全局搜索能力和局部收斂速度，使慣性系數(shù)隨著迭代次數(shù)的增加逐漸減小是一種有效的途徑，且最好是上凸函數(shù)的遞減關(guān)系。對比分析了五種權(quán)重系數(shù)的選取方式及三種粒子位置初始化方式的影響。最后，應(yīng)用粒子群算法設(shè)計了流體矢量裝置控制器，仿真結(jié)果驗證了該設(shè)計方法的有效性。

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