摘  要： 壓縮感知理論是近年來針對(duì)稀疏信號(hào)提出的一種新的信號(hào)處理理論。該理論的主要?jiǎng)?chuàng)新之處在于對(duì)信號(hào)采樣和壓縮是同時(shí)進(jìn)行的。測(cè)量矩陣是實(shí)現(xiàn)該創(chuàng)新點(diǎn)的關(guān)鍵步驟之一，其性能直接關(guān)系著信號(hào)能不能精確重構(gòu)。利用行列式非零的對(duì)角矩陣的正交性，結(jié)合正交基線性表示理論，提出了一種新的更簡(jiǎn)單的測(cè)量矩陣的構(gòu)造方法。通過實(shí)驗(yàn)仿真，驗(yàn)證了新矩陣具有較好的性能。
關(guān)鍵詞： 壓縮感知；測(cè)量矩陣；對(duì)角陣；正交基線性表示

    壓縮感知(compressed sensing）理論是一種對(duì)信號(hào)中包含的信息進(jìn)行采樣的信號(hào)處理理論，旨在突破傳統(tǒng)奈奎斯特采樣定理關(guān)于對(duì)采樣帶寬的要求，并且實(shí)現(xiàn)信號(hào)采樣與壓縮同時(shí)進(jìn)行，節(jié)省了帶寬與存儲(chǔ)資源，降低了硬件壓力，故一經(jīng)提出，就受到了信號(hào)處理領(lǐng)域研究人員的廣泛關(guān)注。具體思路是：當(dāng)信號(hào)具有稀疏性或可壓縮時(shí)，就可以映射到一個(gè)低維空間，獲取少量的信息采樣值，再通過特定重構(gòu)算法恢復(fù)原信號(hào)。理論主要研究3個(gè)核心問題：信號(hào)稀疏表示、測(cè)量矩陣和重構(gòu)算法。其中測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)的重建精度有著直接的影響，測(cè)量矩陣性能越好，重建信號(hào)與原信號(hào)間偏差越小，恢復(fù)度越高[1]。因此，研究測(cè)量矩陣的構(gòu)造有很重要的現(xiàn)實(shí)意義。
1 壓縮感知理論簡(jiǎn)介
    設(shè)x是RN空間的一個(gè)N×1維列向量，若該向量中僅包含K個(gè)非零值，或者x在N維空間的某個(gè)變換基?追下的系數(shù)向量中僅有K個(gè)非零值，且K<<N，則稱x為K-稀疏信號(hào)或變換域ψ下的K-稀疏信號(hào)。這K個(gè)非零值和它們的位置可以表示信號(hào)x的全部信息。
    測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)采樣與壓縮是通過用一個(gè)行數(shù)M遠(yuǎn)小于列數(shù)N的M×N維測(cè)量矩陣Φ與信號(hào)x相乘，得到信號(hào)在該矩陣下的低維映射y實(shí)現(xiàn)的，只要M≥K，即可將信號(hào)x中所含的信息完全映射到y(tǒng)中去，同時(shí)完成對(duì)信號(hào)的采樣與壓縮。測(cè)量矩陣不僅要用于信號(hào)的采樣與壓縮，信號(hào)的重構(gòu)過程同樣依賴于測(cè)量矩陣。CAND?魬S等在參考文獻(xiàn)[2]中指出只要測(cè)量矩陣滿足有限等距約束特性RIP(Restricted Isometry Principle)，即：

就能夠保證準(zhǔn)確重建原信號(hào)。其中常數(shù)?著K稱為K階RIP常數(shù)，S為信號(hào)的稀疏表示。為了方便實(shí)際應(yīng)用，參考文獻(xiàn)[3]給出了測(cè)量矩陣滿足式(1)的3個(gè)等價(jià)特征：(1)測(cè)量矩陣的列向量組成的子矩陣的最小奇異值應(yīng)大于一定的常數(shù)，即列向量滿足一定的線性獨(dú)立性；(2)測(cè)量矩陣的列向量要體現(xiàn)出某種類似噪聲的獨(dú)立隨機(jī)性；(3)滿足稀疏度的解是滿足l1范數(shù)最小的向量。
    由于M<<N，所以不能直接通過求解測(cè)量過程的逆問題得到x。一般信號(hào)重建過程可以轉(zhuǎn)化為解l0范數(shù)下的最優(yōu)化問題[4]。            
2 基于正交基線性表示測(cè)量矩陣設(shè)計(jì)及對(duì)角陣
    測(cè)量矩陣的設(shè)計(jì)主要是圍繞上文中RIP特性的3個(gè)等價(jià)特征設(shè)計(jì)的。目前研究的測(cè)量矩陣主要分為：(1)隨機(jī)測(cè)量矩陣，主要包括高斯隨機(jī)矩陣[5]、貝努利矩陣[6]等；(2)確定性測(cè)量矩陣，主要包括多項(xiàng)式矩陣[7]等；(3)部分隨機(jī)測(cè)量矩陣，包括部分哈達(dá)瑪矩陣[6]、托普利茲矩陣[8]、輪換矩陣[6]、廣義輪換矩陣[9]等；(4)基于正交基線性表示矩陣，如基于正交基線性表示的哈達(dá)瑪改進(jìn)矩陣[10]。

    基于正交基線性表示的哈達(dá)瑪改進(jìn)矩陣（以下稱為改進(jìn)的哈達(dá)瑪矩陣）即是用這種方式構(gòu)成的測(cè)量矩陣。它的正交基選用的是哈達(dá)瑪矩陣。該方法為了克服哈達(dá)瑪矩陣對(duì)信號(hào)維數(shù)的限制，提出了可以先產(chǎn)生一個(gè)L×L維哈達(dá)瑪矩陣(L為大于M的最小的2的冪)，然后利用正交基線性表示法產(chǎn)生L×N維矩陣，再從中任取M行作為最終測(cè)量矩陣。此時(shí)，由于基于正交基線性表示測(cè)量矩陣間良好的列相關(guān)性是在L×L維哈達(dá)瑪矩陣上產(chǎn)生的，當(dāng)M≠2K時(shí)，不能保證從M+1列開始之后的任何一列與前M列中的任意M-1個(gè)列向量線性無關(guān)；另外隨機(jī)取M行作為最終測(cè)量矩陣，一方面給硬件實(shí)現(xiàn)造成壓力，另一方面將不可避免地造成存儲(chǔ)資源的浪費(fèi),說明基于正交基線性表示的哈達(dá)瑪改進(jìn)矩陣仍未能很好地解決維數(shù)所帶來的局限性。

3 仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果
    為了檢驗(yàn)新方法構(gòu)造矩陣的性能及相關(guān)理論的正確性，采用Matlab標(biāo)準(zhǔn)圖像庫中256×256 lena圖像進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。先用典型的sym8小波生成離散小波變換基對(duì)圖片進(jìn)行稀疏處理，再分別用新矩陣、基于正交基線性表示的哈達(dá)瑪改進(jìn)矩陣及一些常用測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量，最后選擇基于最小l0范數(shù)的正交匹配追蹤算法OMP[12](Orthogonal Matching Pursuit)對(duì)圖片進(jìn)行重構(gòu)。在M/N<0.5時(shí)，仿真結(jié)果如圖1所示。

    由仿真圖可以看出，基于正交基線性表示的測(cè)量矩陣性能要優(yōu)于其他常用測(cè)量矩陣，當(dāng)壓縮比M/N=0.5時(shí)，新矩陣的PSNR（峰值信噪比）為30.287 2 dB，改進(jìn)的哈達(dá)瑪矩陣為29.742 7 dB，而其他常用矩陣的PSNR均不到24 dB。另外分別比較壓縮比為0.1、0.2、0.3、0.4時(shí)新矩陣與改進(jìn)的哈達(dá)瑪矩陣的PSNR值，可以看出，新矩陣的PSNR值均高于改進(jìn)的哈達(dá)瑪矩陣值，尤其是在壓縮比為0.2時(shí)，差值達(dá)到了3 dB。圖2給出了在壓縮比為0.4時(shí)，新矩陣與改進(jìn)的哈達(dá)瑪矩陣恢復(fù)性能對(duì)比，從視覺效果上能夠看出新矩陣能以更高的恢復(fù)率恢復(fù)出原始信號(hào)。

    圖3給出了在壓縮比為0.5時(shí)，新矩陣恢復(fù)效果圖，與原始圖已經(jīng)沒有多大差別，進(jìn)一步驗(yàn)證了新矩陣優(yōu)良的性能。

    本文旨在研究測(cè)量矩陣，在基于正交基線性表示矩陣?yán)碚摰幕A(chǔ)上，結(jié)合對(duì)角矩陣的行向量和列向量之間良好的正交性，構(gòu)造矩陣時(shí)沒有維數(shù)限制等性質(zhì)，提出了一種新的測(cè)量矩陣構(gòu)造方法，即基于對(duì)角陣線性表示測(cè)量矩陣。該矩陣可以盡最大可能保證列向量間的非相關(guān)性。實(shí)驗(yàn)選用二維圖像進(jìn)行仿真，并對(duì)多種測(cè)量矩陣進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了新矩陣的可行性與優(yōu)越性。
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