0 引言

    傳統(tǒng)A/D采用香農(nóng)-奈奎斯特采樣理論，采樣速率至少等于信號帶寬的兩倍才能無失真地恢復。香農(nóng)-奈奎斯特采樣理論是可以重構信號的充分條件，而不是必要條件。理論上存在另外一種低于奈奎斯特速率的采樣方法，通過這種方法也可以重構恢復原信號。壓縮感知(Compressed Sensing，CS)^[1-2]就是這樣一種革命性的采樣轉(zhuǎn)換技術，如果信號可以稀疏表示^[3-4]，壓縮感知能夠從少于香農(nóng)-奈奎斯特采樣的樣值中恢復信號。無線通信中的信號大多可以稀疏表示，例如超寬帶信號在時域中可以稀疏表示^[5-6]，跳頻信號在頻域可以稀疏表示^[7]。

    壓縮感知用于重構可稀疏表示的信號，使其不失真地以奈奎斯特速率表示。一些應用有時候只關心傳輸信號中的信息，而不需要重構原信號。壓縮信號處理是一種直接處理壓縮后信號的方法，它只是關心信號中的有用信息而不是重構^[8]。區(qū)別于壓縮信號的恢復，本文對信號傳輸信道的估計和信號的檢測更感興趣，文中主要解決二進制偏移載波調(diào)制信號檢測問題。壓縮感知已經(jīng)應用到擴頻系統(tǒng)中偽隨機序列的捕獲^[9-10]，相關峰值在碼相位和頻偏組成的二維空間中是稀疏的。CS可以用于降低GPS接收機的采樣頻率^[11]，但是其硬件實現(xiàn)較為復雜。文獻[12]指出的擴頻接收機利用壓縮感知簡化接收機設計，該文中對幾種接收機進行了對比，并分析了量化的影響。應用壓縮信號處理對直接序列擴頻信號欠采樣解調(diào)^[13]，可以降低功耗和接收機的制造成本，而且采用匹配濾波器比隨機解調(diào)器更為簡單。文獻[14]在頻率選擇信道上，構建直接序列擴頻通信系統(tǒng)的信道估計和符號檢測模型，并分析了基于不同算法下的誤碼率性能，表明采用CS輔助的SLSS-JCESD接收算法降低一半采樣速率，會損失1.2 dB的SNR。

    現(xiàn)代GPS、Galileo、北斗等導航衛(wèi)星系統(tǒng)中，都啟用了二進制偏移載波(Binary Offset Carrier，BOC)調(diào)制技術。與傳統(tǒng)的BPSK相比，BOC調(diào)制在載波調(diào)制之前增加了一個副載波調(diào)制環(huán)節(jié)。副載波是基于正弦相位或者余弦相位的方波，這兩種分別記為BOC_sin(Kn，n)和BOC_cos(Kn，n)，其中K表示副載波頻率與偽碼速率的比值，n表示偽碼速率與f₀=1.023 MHz的比值。與BPSK信號頻譜分布在載波處不同，BOC信號的頻譜主瓣分布在載頻±Knf₀處，這使得BOC信號具有更寬的頻譜，其帶寬通常記為副載波頻率與偽碼碼率之和的兩倍。針對BOC調(diào)制信號的特征，本文中提出一種基于壓縮感知的BOC信號接收機和發(fā)射機模型，并且采用壓縮信號處理的方式對接收到的BOC信號解調(diào)。收發(fā)機模型中匹配濾波器的使用，降低了擴頻通信系統(tǒng)的實現(xiàn)復雜度。并且通過大量的仿真實驗，對壓縮接收機和傳統(tǒng)接收的誤碼性能進行分析對比。

1 信號模型

    一個通用測量系統(tǒng)可以通過式(1)進行描述：

其中，x是N×1維被測量向量，Φ表示M×N維的測量矩陣，M×1維向量y是測量值。測量矩陣中每個行向量對x的觀測值，組成測量值向量y中的元素。測量可以簡單地描述為通過測量值y和測量矩陣Φ，求得未知值x。

    目前，傳統(tǒng)采樣技術基于香農(nóng)-奈奎斯特采樣理論。對于香農(nóng)-奈奎斯特測量系統(tǒng)，式(1)中，M=N，并且?椎是N×N維的單位矩陣。香農(nóng)-奈奎斯特采樣理論揭示了這種測量系統(tǒng)可以無失真恢復被測量值的條件。

    式(1)中當M>N時，即得到的測量值數(shù)量多于未知被測量個數(shù)，與M=N類似，可以唯一地求解出被測量值。

    下面考慮式(1)中M<N的情況。如果不增加任何條件，方程有無數(shù)多個解，不能唯一地確定被測量值。但是，如果被測量信號x是稀疏的，則可以通過算法重構被測量信號，即壓縮感知。

1.1 發(fā)射機模型

    帶通信號可以用其低通等效進行表示，即可以用處理低通等效信號代替處理帶通信號，這樣就減少了對信號進行分析和仿真的復雜度。BOC基帶信號的生成可以分離為兩部分：基于BPSK基帶信號的擴頻調(diào)制、基于余弦或正弦相位的方波副載波調(diào)制，如圖1所示。

    在發(fā)射機和接收機中，假設一次處理一個符號，該符號中包含一個或多個信息比特，即向量b∈{±1}^L×1是傳輸?shù)囊粋€符號，每個符號由L比特數(shù)據(jù)組成。定義偽隨機序列向量為c∈{±1}^C×1，其中包含C個碼片。上述兩個向量是圖1中b(t)和c(t)離散表達。如果定義T_b和T_c分別表示數(shù)據(jù)信息周期和碼寬，則有LT_b=CT_c，即一個符號周期中含有整數(shù)個偽碼周期。BOC_sin(Kn，n)基帶信號中的一個符號可以通過式(2)表示：

其中，Ψ是由偽隨機序列組成的字典，它的每一列都是一個可能傳輸?shù)臄U頻調(diào)制信號；a∈{0，1}^M×1是稀疏向量，僅有一個值不等于零，用于選擇從字典中選擇要發(fā)送的偽隨機序列。向量a的稀疏度決定了可以采用壓縮感知的方法對BOC信號進行解調(diào)。

1.2 BOC壓縮信號處理接收機原理

    信號在傳輸?shù)倪^程中會受到噪聲的干擾，接收機接收到的信號通常可以描述為:

其中，n(t)是加性高斯白噪聲。接收信號的匹配濾波接收機結構如圖2所示^[17]，接收信號先進行匹配濾波，然后以偽碼速率進行采樣，最后進行解擴。

    假設信號在接收機端已經(jīng)完全同步，接收信號中一個符號的接收采樣過程可以通過式(6)表示：

    基于硬件壓縮采樣結構的隨機解調(diào)器中，接收信號首先需要與偽隨機序列相乘，然后通過低通濾波^[4]。BOC信號在發(fā)射端已經(jīng)通過偽隨機序列進行頻譜擴展，因而在接收端偽隨機碼產(chǎn)生器可以省略。BOC信號的調(diào)制過程中，使用副載波波形作為脈沖成型波形，因此采樣之前的匹配濾波器需要做相應的修改。基于硬件壓縮采樣的BOC信號接收欠采樣過程為：

其中，θ_i(t)=sc(t-iT_c)，0≤t<CT_c，是匹配濾波器。κ=I/L∈(0，1]是壓縮感知結構中的欠采樣因子，當κ=1時沒有進行壓縮，κ越小得到的采樣值數(shù)量相對于奈奎斯特采樣值的個數(shù)越少。Θ=[θ₀(t)  θ₁(t)  …  θ_C-1(t)]^T是測量矩陣，經(jīng)過測量采樣每比特信息得到I=Cκ個樣值。

    在接收端，本文的目的是解調(diào)出a，因而不需要重構出壓縮感知的原始信號b(t)?？梢酝ㄟ^壓縮信號處理的方法^[8]，在壓縮域直接對壓縮信號進行處理解調(diào)出信息比特。通過壓縮信號處理的方法對信號解調(diào)減小計算復雜度，省去了信號重構的過程。

2 仿真實驗

    為了描述基于壓縮信號處理的接收機性能，分別采用奈奎斯特采樣和壓縮感知硬件采樣對BOC信號接收解調(diào)，并比較在高斯白噪聲信道下各自的誤碼率性能。文中僅在理想的情況下對BOC解調(diào)算法進行分析，不考慮載波頻偏的影響，并且認為信號已經(jīng)同步。實際應用中，載波的剝離可以通過載波跟蹤算法完成，碼字的同步亦可由延遲鎖定環(huán)確定。

    為方便且不失一般性，仿真中采用BOC（1，1）信號，偽隨機碼周期中含有32個碼片，每比特信息用一個周期的32碼片進行擴頻。仿真采用蒙特卡羅算法，設置錯誤信息比特門限為100，在相同的Eb/N0的情況下對比兩種解調(diào)方法的誤碼率。仿真結果如圖3所示，在壓縮率κ=0.5的情況下，為得到同樣的誤碼性能(誤碼率10^-5)，使用壓縮信號處理解調(diào)BOC信號比采用經(jīng)典方法解調(diào)BOC信號需要高出3 dB左右的信噪比。但是采樣速率降低了1/2，后續(xù)處理的計算量減少了一半。壓縮信號處理方法中，解調(diào)損失的信噪比是由噪聲折疊引入^[18]。

    采樣后需要量化，量化分辨率影響誤碼性能，如圖4所示。為了評定壓縮采樣和奈奎斯特采樣量化后對誤碼性能的影響，在相同的量化總比特數(shù)下對其進行對比。也就是說，奈奎斯特采樣速率下2 bit量化和1/2壓縮采樣下4 bit量化具有相同的量化總比特數(shù)。對比這兩種情況，同樣達到誤碼率10^-5，壓縮采樣所需的信噪比僅僅比奈奎斯特采樣多1 dB。在采樣率受限的情況下，可以通過增加量化分辨率改善誤比特性能。

3 結論

    本文應用壓縮感知的方法產(chǎn)生BOC信號，副載波波形為其成型波形，并采用壓縮信號處理對BOC信號解調(diào)。解調(diào)算法不同于隨機解調(diào)器，接收端不需要與隨機序列相乘，實現(xiàn)簡單。這種基于壓縮信號處理的BOC信號解調(diào)方案所需要的采樣速率低于奈奎斯特采樣速率，有利于降低系統(tǒng)功耗和器件成本。壓縮信號處理可以解決目前信號處理的瓶頸，即越來越高的采樣頻率、大量數(shù)據(jù)的存儲處理和分析?？梢韵胂髩嚎s信號處理有著廣泛的應用空間，特別是對高帶寬的擴頻信號，壓縮信號處理有天然的吸引力。

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作者信息:

宋  朋1，何國棟2

(1.中國電子科技集團公司第五十八研究所，江蘇 南京210000；

2.安徽師范大學 物理與電子信息學院，安徽 蕪湖241003)