摘  要： 從測量矩陣和稀疏矩陣的互相關(guān)性角度出發(fā)，通過對測量矩陣和稀疏矩陣所構(gòu)成的Gram矩陣進(jìn)行門限選擇，進(jìn)而經(jīng)過相應(yīng)的縮放處理降低互相關(guān)性，這樣不僅可以獲取更多有信息量的測量值，而且可以完成對測量矩陣的優(yōu)化改進(jìn)。通過在DWT、DCT下的壓縮感知圖像重構(gòu)實驗驗證了該方法的可行性，恢復(fù)效果得到一定程度的提高，相比于傳統(tǒng)的小波恢復(fù)重構(gòu)，達(dá)到了預(yù)期的效果。
關(guān)鍵詞： 壓縮感知；稀疏表示；測量矩陣

　傳統(tǒng)理論指導(dǎo)下的信號處理首先遵循奈奎斯特/香農(nóng)采樣定理對信號進(jìn)行采樣，再對采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行某種變化（如DCT或DWT），將變化后幅值較大的系數(shù)進(jìn)行壓縮編碼，舍棄幅值為零或接近零的系數(shù)，然后將編碼值進(jìn)行存儲或傳輸，最后在解碼端通過相應(yīng)的解壓縮算法恢復(fù)出原始數(shù)據(jù)。面對科技發(fā)展提出的更高要求，科學(xué)家們就構(gòu)想，既然變化后的數(shù)據(jù)有些是被丟棄的，為什么還要對它進(jìn)行采樣呢？是否可以直接采集那些需要的信息？針對這些問題，近年來，由DONOHO D、CANDES E和TAO T等人提出了壓縮感知理論[1-2]，該理論指出，如果信號是可稀疏表示或可壓縮的，就可以通過遠(yuǎn)少于奈奎斯特采樣率要求下數(shù)目的采樣值高概率地恢復(fù)出原始信號。本文在對矩陣的互相關(guān)性問題研究分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行了優(yōu)化改進(jìn)，并通過實驗?zāi)M進(jìn)行了有效的驗證。
1 壓縮感知的基本理論
　壓縮感知發(fā)展于信息論，由于其具有高度信息挖掘的能力，在學(xué)術(shù)界和工程應(yīng)用領(lǐng)域受到了極大關(guān)注并表現(xiàn)出了強(qiáng)大的生命力。壓縮感知是一個將采樣和壓縮合二為一的理論，即在對數(shù)據(jù)采樣的同時完成了適當(dāng)?shù)膲嚎s工作，該理論主要包括信號的稀疏表示、測量編碼和恢復(fù)重構(gòu)。




　圖2中的每個點顯示了基于多次實驗的平均性能，如期望的一樣，隨著測量值數(shù)目的增加，恢復(fù)算法的性能效果得到了提升改善，在某些測量點甚至有較大幅度的提高，從而驗證了改進(jìn)算法的可行性。下面就一維、二維信號進(jìn)行具體的實驗分析。
　針對一維信號，對測量矩陣做了相應(yīng)的優(yōu)化改進(jìn)工作，實驗結(jié)果如圖3所示。

　通過對二維圖像的恢復(fù)可以看出，以峰值信噪比（PSNR）為考量依據(jù)，經(jīng)過優(yōu)化后的測量矩陣對于原始的恢復(fù)有8%左右的性能提高。通過對一維、二維問題的實驗可以得出：本文所述的對測量矩陣的優(yōu)化方法是可行的，針對不同的信號和問題，參數(shù)的選擇會有些差別。同樣將該理論應(yīng)用于壓縮感知的離散余弦變化（DCT）問題中，恢復(fù)效果如圖5所示。

　從表1可以看出，改進(jìn)后的結(jié)果比改進(jìn)前的結(jié)果有了一定的提高，隨著測量值數(shù)目和迭代次數(shù)的增加，都取得了一定的改進(jìn)。
　本文主要闡述了壓縮感知的理論框架，通過實驗仿真說明了壓縮感知能夠突破傳統(tǒng)采樣定理的極限，能以更少的數(shù)據(jù)采樣點高概率地恢復(fù)原始信號，并通過對測量矩陣的優(yōu)化改進(jìn)提高了恢復(fù)效果。實驗中假設(shè)信號的稀疏度是已知的，如何處理未知稀疏度的信號也將是今后工作研究的重點。壓縮感知作為一門新生的理論，目前還有很多問題并未解決，但是隨著研究的深入，該理論將有更廣泛的應(yīng)用前景。
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