對(duì)淹沒(méi)在噪聲中的正弦波信號(hào)進(jìn)行頻率估計(jì)是信號(hào)處理的經(jīng)典課題，在通信、雷達(dá)、電子偵察及振動(dòng)信號(hào)處理等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。在加性高斯白噪聲信道中，頻率估計(jì)算法大致可分為最大似然估計(jì)算法、最大后驗(yàn)概率（MAP）估計(jì)算法和自相關(guān)估計(jì)算法。RIFE D和 BOORSTYN R通過(guò)分析Cramer-Rao下界，提出了工程可實(shí)現(xiàn)的ML算法[1]，利用快速傅里葉變換(FFT)進(jìn)行粗搜索再進(jìn)行精確搜索。為了充分利用頻率分布的先驗(yàn)知識(shí)，Hua Fu和KAM P Y提出了MAP充分估計(jì)算法[2]。以上兩種算法都具有較高的復(fù)雜度，而自相關(guān)估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度低,參考文獻(xiàn)[3]給出了自相關(guān)估計(jì)算法的具體細(xì)節(jié)。現(xiàn)有的精確估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)多采用FFT粗搜索，再進(jìn)行精確估計(jì)。本文在分析了現(xiàn)有的幾種精確估計(jì)后，結(jié)合實(shí)際硬件設(shè)計(jì)，提出了直接利用幅度平方信息做精確估計(jì)的算法，有效地簡(jiǎn)化了現(xiàn)有算法的運(yùn)算量。通過(guò)仿真驗(yàn)證了其在低信噪比下也具有一定的估計(jì)精度。

1 頻率精確估計(jì)的幾種算法
    Voglewede方法[4]利用FFT輸出的峰值以及相鄰的兩個(gè)頻點(diǎn)的幅值，擬合出一條二次曲線(xiàn)逼近原插值函數(shù)，通過(guò)求二次函數(shù)即拋物線(xiàn)的最大值求解精確頻率。在有噪聲的情況下，估計(jì)精度不高。Quinn方法[5]利用FFT輸出的次大頻點(diǎn)和最大頻點(diǎn)復(fù)數(shù)值之比插值得出精確頻率值。Jacobsen方法[6]利用三個(gè)頻點(diǎn)復(fù)輸出的實(shí)部實(shí)現(xiàn)頻偏估計(jì)。參考文獻(xiàn)[7]通過(guò)對(duì)FFT的輸出表達(dá)式做泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，給出了Jacobsen方法的理論依據(jù)，并對(duì)原方法進(jìn)行了誤差校正。改進(jìn)后的Jacobsen方法修正了原方法的系數(shù)。Jacobsen對(duì)原方法也進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，通過(guò)仿真分析了不同窗函數(shù)下的Jacobsen方法的性能，歸納了各種窗函數(shù)下對(duì)估計(jì)算法的系數(shù)修正。
2 算法的構(gòu)造
    利用FFT粗估計(jì)時(shí)，為最大程度地簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)，通過(guò)搜索FFT幅度平方的最大值確定峰值頻點(diǎn)。Voglewede方法利用幅度的二次曲線(xiàn)擬合，引入開(kāi)方運(yùn)算，該方法在低信噪比下的表現(xiàn)不佳。Jacobsen方法和Quinn方法需要FFT輸出復(fù)數(shù)的實(shí)部，從而在確定最大頻點(diǎn)和其相鄰頻點(diǎn)的位置前需要存儲(chǔ)所有FFT復(fù)數(shù)的輸出。眾所周知，復(fù)數(shù)的加法和減法運(yùn)算量是實(shí)數(shù)的兩倍，乘法和除法更甚。Jacobsen方法和Quinn方法都含有復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)運(yùn)算，增加了硬件的復(fù)雜性。為了簡(jiǎn)化硬件，本文考慮設(shè)計(jì)一種精確估計(jì)結(jié)構(gòu)直接利用幅度平方估計(jì)頻偏小數(shù)部分的算法。

3.1 不加窗函數(shù)的估計(jì)性能
    仿真設(shè)計(jì)的FFT截?cái)嚅L(zhǎng)度N為1 024，信噪比的范圍是-12 dB~14 dB，步進(jìn)為2 dB。對(duì)?啄從0~0.5選取4個(gè)點(diǎn)作為測(cè)試頻偏，分別是0.1、0.2、0.3和0.4。仿真結(jié)果如圖1所示。
    由仿真結(jié)果可知，高信噪比下，本文的兩種方法均優(yōu)于Voglewede方法。低信噪比下，次優(yōu)精確估計(jì)算法優(yōu)于Voglewede方法。
3.2 增加窗函數(shù)時(shí)的估計(jì)性能
    本組仿真采用Hanning、Hamming和Blackman三種窗函數(shù)和不加窗的次優(yōu)算法進(jìn)行比較，仿真結(jié)果如圖2所示。

    由仿真結(jié)果可以看出，Hamming窗和Hanning窗估計(jì)精度均不高。而B(niǎo)lackman窗可達(dá)到最佳的性能，在低信噪比下，有效地降低了次優(yōu)算法的均方誤差，在高信噪比下,保持次優(yōu)算法良好的估計(jì)精度。其估計(jì)性能接近CRB。
3.3 實(shí)現(xiàn)資源占用對(duì)比
    正如在第2節(jié)中的討論,最大頻點(diǎn)的選擇需要對(duì)FFT實(shí)部和虛部進(jìn)行平方相加的運(yùn)算。如果精確估計(jì)算法利用幅度信息（如Voglewede方法），則在確定最大值后需要開(kāi)方得到幅度信息。如果精確估計(jì)算法利用FFT的實(shí)部信息(如Jacobsen方法),則在確定最大值前需對(duì)各頻點(diǎn)的實(shí)部存儲(chǔ)。表1給出了Jacobsen方法、Voglewede方法和本文兩種方法的資源占用情況。本文提出的次優(yōu)算法直接利用FFT幅度的平方信息,也簡(jiǎn)化了算法的實(shí)現(xiàn)。

    本文提出的次優(yōu)估計(jì)算法，是一種基于FFT輸出幅度平方的信息通過(guò)曲線(xiàn)擬合估計(jì)精確頻偏的算法。從算法原理和仿真驗(yàn)證兩方面說(shuō)明了本算法的可行性。原理上，算法根據(jù)FFT幅度平方輸出的函數(shù)，推導(dǎo)出最優(yōu)的估計(jì)表達(dá)式，算法簡(jiǎn)化后得到一種僅需要兩個(gè)頻點(diǎn)的估計(jì)算法，并優(yōu)化算法系數(shù)。通過(guò)仿真說(shuō)明了算法在不同信噪比下的估計(jì)精度，加入Blackman窗后有效改善算法抗噪性能，使其在高信噪比和低信噪比下都有較高的精度。算法設(shè)計(jì)上，由于采用FFT輸出幅度的平方，兩個(gè)頻點(diǎn)輸出值參與運(yùn)算，硬件實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，可在各類(lèi)適合的頻率估計(jì)領(lǐng)域應(yīng)用。
參考文獻(xiàn)
[1] RIFE D, BOORSTYN R. Single-tone parameter estimation from discrete-time observations[J]. IEEE Transactions on  Information Theory, 1974,20(5):591-598.
[2] FU H, KAM P Y. MPA/ML estimation of the frequency and phase of a single sinusoid in noise[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2007,55(3):834-845.
[3] VOLKER B, HANDEL P. Frequency estimation from proper sets of correlations[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2002,50(4):791-802.
[4] VOGLEWEDE P. Parabola approximation for peak determination[J]. Global DSP Magazine, 2004,3(5):13-17.
[5] QUINN B G. Frequency estimation using tapered data[C]. 2006 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing, Toulouse, France, 2006:73-76.
[6] JACOBSEN E. On local interpolation of DFT outputs[EB/OL].[2011-03] http://www.ericjacobsen.org/FTinterp.pdf,(Fall,1994).
[7] CANDAN C. A method for fine resolution frequency estimation from three DFT samples[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2011,18(6):351-354.
[8] 袁亞湘，孫文瑜. 最優(yōu)化理論與方法[M]. 北京：科學(xué)出版社，1997.
[9] BELEGA D, DALLET D. Multipoint interpolated DFT method for frequency estimation[C]. Systems, Signals and Devices, 2009.SSD’09,6th international Multi-conference on, Djerba, Tunisia. 2009:1-6.