對淹沒在噪聲中的正弦波信號進(jìn)行頻率估計是信號處理的經(jīng)典課題，在通信、雷達(dá)、電子偵察及振動信號處理等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用。在加性高斯白噪聲信道中，頻率估計算法大致可分為最大似然估計算法、最大后驗概率（MAP）估計算法和自相關(guān)估計算法。RIFE D和 BOORSTYN R通過分析Cramer-Rao下界，提出了工程可實現(xiàn)的ML算法[1]，利用快速傅里葉變換(FFT)進(jìn)行粗搜索再進(jìn)行精確搜索。為了充分利用頻率分布的先驗知識，Hua Fu和KAM P Y提出了MAP充分估計算法[2]。以上兩種算法都具有較高的復(fù)雜度，而自相關(guān)估計算法實現(xiàn)復(fù)雜度低,參考文獻(xiàn)[3]給出了自相關(guān)估計算法的具體細(xì)節(jié)?，F(xiàn)有的精確估計算法實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)多采用FFT粗搜索，再進(jìn)行精確估計。本文在分析了現(xiàn)有的幾種精確估計后，結(jié)合實際硬件設(shè)計，提出了直接利用幅度平方信息做精確估計的算法，有效地簡化了現(xiàn)有算法的運算量。通過仿真驗證了其在低信噪比下也具有一定的估計精度。

1 頻率精確估計的幾種算法
    Voglewede方法[4]利用FFT輸出的峰值以及相鄰的兩個頻點的幅值，擬合出一條二次曲線逼近原插值函數(shù)，通過求二次函數(shù)即拋物線的最大值求解精確頻率。在有噪聲的情況下，估計精度不高。Quinn方法[5]利用FFT輸出的次大頻點和最大頻點復(fù)數(shù)值之比插值得出精確頻率值。Jacobsen方法[6]利用三個頻點復(fù)輸出的實部實現(xiàn)頻偏估計。參考文獻(xiàn)[7]通過對FFT的輸出表達(dá)式做泰勒級數(shù)展開，給出了Jacobsen方法的理論依據(jù)，并對原方法進(jìn)行了誤差校正。改進(jìn)后的Jacobsen方法修正了原方法的系數(shù)。Jacobsen對原方法也進(jìn)行了進(jìn)一步的研究，通過仿真分析了不同窗函數(shù)下的Jacobsen方法的性能，歸納了各種窗函數(shù)下對估計算法的系數(shù)修正。
2 算法的構(gòu)造
    利用FFT粗估計時，為最大程度地簡化設(shè)計，通過搜索FFT幅度平方的最大值確定峰值頻點。Voglewede方法利用幅度的二次曲線擬合，引入開方運算，該方法在低信噪比下的表現(xiàn)不佳。Jacobsen方法和Quinn方法需要FFT輸出復(fù)數(shù)的實部，從而在確定最大頻點和其相鄰頻點的位置前需要存儲所有FFT復(fù)數(shù)的輸出。眾所周知，復(fù)數(shù)的加法和減法運算量是實數(shù)的兩倍，乘法和除法更甚。Jacobsen方法和Quinn方法都含有復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)運算，增加了硬件的復(fù)雜性。為了簡化硬件，本文考慮設(shè)計一種精確估計結(jié)構(gòu)直接利用幅度平方估計頻偏小數(shù)部分的算法。

3.1 不加窗函數(shù)的估計性能
    仿真設(shè)計的FFT截斷長度N為1 024，信噪比的范圍是-12 dB~14 dB，步進(jìn)為2 dB。對?啄從0~0.5選取4個點作為測試頻偏，分別是0.1、0.2、0.3和0.4。仿真結(jié)果如圖1所示。
    由仿真結(jié)果可知，高信噪比下，本文的兩種方法均優(yōu)于Voglewede方法。低信噪比下，次優(yōu)精確估計算法優(yōu)于Voglewede方法。
3.2 增加窗函數(shù)時的估計性能
    本組仿真采用Hanning、Hamming和Blackman三種窗函數(shù)和不加窗的次優(yōu)算法進(jìn)行比較，仿真結(jié)果如圖2所示。

    由仿真結(jié)果可以看出，Hamming窗和Hanning窗估計精度均不高。而Blackman窗可達(dá)到最佳的性能，在低信噪比下，有效地降低了次優(yōu)算法的均方誤差，在高信噪比下,保持次優(yōu)算法良好的估計精度。其估計性能接近CRB。
3.3 實現(xiàn)資源占用對比
    正如在第2節(jié)中的討論,最大頻點的選擇需要對FFT實部和虛部進(jìn)行平方相加的運算。如果精確估計算法利用幅度信息（如Voglewede方法），則在確定最大值后需要開方得到幅度信息。如果精確估計算法利用FFT的實部信息(如Jacobsen方法),則在確定最大值前需對各頻點的實部存儲。表1給出了Jacobsen方法、Voglewede方法和本文兩種方法的資源占用情況。本文提出的次優(yōu)算法直接利用FFT幅度的平方信息,也簡化了算法的實現(xiàn)。

    本文提出的次優(yōu)估計算法，是一種基于FFT輸出幅度平方的信息通過曲線擬合估計精確頻偏的算法。從算法原理和仿真驗證兩方面說明了本算法的可行性。原理上，算法根據(jù)FFT幅度平方輸出的函數(shù)，推導(dǎo)出最優(yōu)的估計表達(dá)式，算法簡化后得到一種僅需要兩個頻點的估計算法，并優(yōu)化算法系數(shù)。通過仿真說明了算法在不同信噪比下的估計精度，加入Blackman窗后有效改善算法抗噪性能，使其在高信噪比和低信噪比下都有較高的精度。算法設(shè)計上，由于采用FFT輸出幅度的平方，兩個頻點輸出值參與運算，硬件實現(xiàn)簡單，可在各類適合的頻率估計領(lǐng)域應(yīng)用。
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