在數(shù)字信號(hào)處理中，離散傅里葉變換(DFT)是常用的變換方法，它在各種數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)中扮演著重要的角色。快速傅里葉變換(FFT)[1-2]是離散傅里葉變換的快速算法，它是根據(jù)離散傅里葉變換的奇、偶、虛、實(shí)等特性，對(duì)離散傅里葉變換的算法進(jìn)行改進(jìn)獲得的，兩者都是為了將信號(hào)變換到頻域并進(jìn)行相應(yīng)的頻譜分析。對(duì)于實(shí)時(shí)性要求很強(qiáng)的信號(hào)處理來(lái)說(shuō)，運(yùn)算速度對(duì)整個(gè)處理的影響是顯而易見(jiàn)的。因?yàn)镕FT擁有很高的運(yùn)算能力，使其在無(wú)線通信和數(shù)字通信、高速圖像處理、匹配濾波等領(lǐng)域得到極為廣泛的應(yīng)用。
    LTE作為準(zhǔn)4 G技術(shù)，以正交頻分復(fù)用OFDM和多輸入多輸出MIMO技術(shù)為基礎(chǔ)，下行采用正交頻分多址（OFDM）技術(shù)，上行采用單載波頻分多址（SC-FDMA）技術(shù)，在20 MHz頻譜帶寬下能夠提供下行100 Mb/s和上行50 Mb/s的峰值速率[3]。
    頻域分析比時(shí)域分析更優(yōu)越，不僅簡(jiǎn)單，且易于分析復(fù)雜信號(hào)[4]。在LTE系統(tǒng)中，F(xiàn)FT算法主要應(yīng)用于基帶信號(hào)生成、信號(hào)的接收和檢測(cè)等，將時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)移到頻域進(jìn)行處理。

其中，x(n)為復(fù)數(shù)序列，W_N^kn和X(K)也為復(fù)數(shù)，因此每計(jì)算一個(gè)X(K)值，需要進(jìn)行N次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算和N-1次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算。而X(K)共有N個(gè)點(diǎn)，所以完成整個(gè)DFT運(yùn)算需要進(jìn)行N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，當(dāng)N很大時(shí)，運(yùn)算量相當(dāng)可觀。然而對(duì)于實(shí)時(shí)性很強(qiáng)的信號(hào)處理來(lái)說(shuō)，如滿足其要求，運(yùn)算速度就太高了。利用旋轉(zhuǎn)因子W_N^kn的對(duì)稱性、周期性和可約性，可以使DFT運(yùn)算中的有些項(xiàng)合并，將長(zhǎng)序列的DFT分解為幾個(gè)短序列的DFT，從而大大減少運(yùn)算次數(shù)。FFT算法可以分為時(shí)間抽取法和頻域抽取法兩大類。頻域抽取法的運(yùn)算特點(diǎn)與時(shí)間抽取法的基本相同，不同之處是頻域抽取法的蝶形運(yùn)算是先加后乘，時(shí)間抽取法的蝶形運(yùn)算是先乘后加；頻域抽取的輸入序列是自然順序，輸出序列是倒序，而時(shí)間抽取法的輸入序列是倒序，輸出序列是自然順序。
    假設(shè)輸入序列x(n)長(zhǎng)度為N=2M，M是正整數(shù)。如果不滿足這個(gè)條件，在序列尾部人為地加上若干零值點(diǎn)，使其達(dá)到這一要求。將序列x(n)按n的奇偶分解為兩個(gè)N/2點(diǎn)的子序列：
    
2 FFT算法的DSP實(shí)現(xiàn)
2.1 硬件
   TMS320C6000系列DSP是TI公司推向市場(chǎng)的高性能DSP，綜合了目前性價(jià)比高、功耗低等優(yōu)點(diǎn)。TMS320C64系列提高了時(shí)鐘頻率，在體系結(jié)構(gòu)上采用了VelociTI甚長(zhǎng)指令集VLIW（Very Long Instruction Word）結(jié)構(gòu)[5]，芯片內(nèi)有8個(gè)獨(dú)立功能單元的內(nèi)核，每個(gè)周期可以并行執(zhí)行8條32 bit指令，最大峰值速度為4 800 MIPS，2組共64個(gè)32 bit通用寄存器，32 bit尋址范圍，支持8/16/32/40 bit的數(shù)據(jù)訪問(wèn)，芯片內(nèi)集成大容量SRAM，最大可達(dá)8 Mb。由于出色的運(yùn)算能力、高效的指令集、大范圍的尋址能力，使其特別適用于無(wú)線基站、測(cè)試儀表等對(duì)運(yùn)算能力和存儲(chǔ)量要求高的應(yīng)用場(chǎng)合。
2.2 FFT算法的DSP實(shí)現(xiàn)

    FFT算法作為一個(gè)子函數(shù)模塊且輸入序列長(zhǎng)度不盡相同，所以，方案定義了輸入輸出變量及其調(diào)用格式。調(diào)用格式：Turbo_Code(int*，int，int，char*，char*，int*)，其中，int分別表示輸入序列的長(zhǎng)度和FFT的級(jí)數(shù)；int*分別表示輸入序列的首地址和輸出序列的首地址；char*分別表示旋轉(zhuǎn)因子的余弦的首地址和旋轉(zhuǎn)因子的正弦的首地址。
    FFT算法具體實(shí)現(xiàn)流程如下：
    (1)時(shí)間抽取法的FFT中，每個(gè)蝶形的輸入、輸出數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)在一條水平線上，所以每個(gè)蝶形的輸出數(shù)據(jù)可以立即存入原輸入數(shù)據(jù)所占用的存儲(chǔ)單元。這種原位計(jì)算可節(jié)省大量的內(nèi)存，并且理論上減少不同寄存器之間存取數(shù)據(jù)的時(shí)間。

    使用C語(yǔ)言編寫(xiě)主函數(shù)，匯編語(yǔ)言編寫(xiě)FFT算法的實(shí)現(xiàn)函數(shù)。程序中假設(shè)輸入數(shù)據(jù)最大長(zhǎng)度為1 024，由于DSP C6455可以直接存取處理32 bit，所以在內(nèi)存中定義了長(zhǎng)度為8 192 bit作為存放輸出序列的內(nèi)存空間。為了提高運(yùn)算精確度，輸入數(shù)的實(shí)部和虛部分別占用一個(gè)字，在程序中進(jìn)行復(fù)數(shù)相乘操作是采用匯編指令MPYHI。內(nèi)存定義了長(zhǎng)度為2 048 bit的Tempsequence作為存放倒序序列，并且建立了2張旋轉(zhuǎn)因子查找表，分別為Wr和Wi。
    外循環(huán)中，在每次內(nèi)循環(huán)之前從輸入比特序列中取出32 bit放入一個(gè)寄存器，作為一個(gè)內(nèi)循環(huán)的輸入，內(nèi)循環(huán)結(jié)束后，取下一個(gè)32 bit輸入比特更新這個(gè)寄存器。
    內(nèi)循環(huán)中，計(jì)算蝶形過(guò)程采用查表的方式。對(duì)于每一級(jí)，計(jì)算出需要的旋轉(zhuǎn)因子個(gè)數(shù)以及相同旋轉(zhuǎn)因子相距的間隔。計(jì)算蝶形過(guò)程時(shí)，首先提取出X(k)，根據(jù)相同旋轉(zhuǎn)因子間隔找到X(k+B)完成蝶形計(jì)算?？紤]到旋轉(zhuǎn)因子的對(duì)稱性，在內(nèi)存中存放旋轉(zhuǎn)因子時(shí)只存放一半，剩余的數(shù)據(jù)根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)行處理。圖2給出了FFT算法實(shí)現(xiàn)計(jì)算流程圖。

    按時(shí)間抽取法的FFT輸入序列是倒序，輸出序列是自然順序；按頻率抽取法的FFT輸入序列是自然順序，輸出序列是倒序的。不管采用哪種方法進(jìn)行FFT計(jì)算，都需要倒序處理。倒序是整個(gè)FFT計(jì)算的重要部分，進(jìn)行匯編程序時(shí)，按自然順序?qū)⑤斎霐?shù)據(jù)存入到存儲(chǔ)單元內(nèi)，通過(guò)變址運(yùn)算，將自然順序的序列按時(shí)間抽取法要求進(jìn)行倒位。
    重新排序之前，存儲(chǔ)單元Y中依次存放輸入數(shù)據(jù)，I表示當(dāng)前輸入數(shù)據(jù)比特的順序數(shù)的十進(jìn)制數(shù)值，I的取值從0到N-I；J表示當(dāng)前倒序數(shù)的十進(jìn)制數(shù)值。輸入序列的第一個(gè)和最后一個(gè)數(shù)的位置不需要倒序處理，完成倒序的外循環(huán)的次數(shù)為N-2。為了保證調(diào)換數(shù)據(jù)的正確性，需要檢測(cè)一下是否I<J，只有當(dāng)I<J，才將Y(I)與Y(J)的內(nèi)容互換。形成倒序數(shù)J以后，就可以實(shí)現(xiàn)變址功能，按照自然順序存放在存儲(chǔ)單元的數(shù)據(jù)重新按照倒序排列。圖3給出了實(shí)現(xiàn)倒序的匯編流程圖。

3 性能分析與總結(jié)
    在DSP軟件實(shí)現(xiàn)中，通過(guò)指令并行，盡量?jī)?yōu)化程序循環(huán)體，減少或消除程序中的&rsquo;NOP&rsquo;指令[6]。通過(guò)程序仿真運(yùn)行，得到統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示。

    從表中可以看出，當(dāng)運(yùn)用TMS320C64&times;DSP芯片實(shí)現(xiàn)時(shí)，由于處理器的超高主頻一般為1 GHz，一個(gè)指令周期耗時(shí)為1 ns，其運(yùn)算速率非?？?，完全可以滿足實(shí)時(shí)性信號(hào)處理。因此，采用旋轉(zhuǎn)因子查表法的實(shí)現(xiàn)方案不僅簡(jiǎn)化了程序?qū)崿F(xiàn)方法，還減少了模塊程序代碼編寫(xiě)，節(jié)約了系統(tǒng)存儲(chǔ)空間。
    本文提出了一種簡(jiǎn)單有效的FFT算法實(shí)現(xiàn)方案，詳細(xì)介紹了算法在DSP的實(shí)現(xiàn)方法，并在TMS320C64x芯片上加以實(shí)現(xiàn)。程序運(yùn)行結(jié)果表明，該算法能夠滿足TD-LTE系統(tǒng)的需求，具有可行性和高效性。該方案已應(yīng)用于LTE-TDD無(wú)線綜合測(cè)試儀表的開(kāi)發(fā)中。
參考文獻(xiàn)
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[4] SAIDI A.Decimation-in-time-frequency FFT algorithm[M]. Manuscript, To be published.1993.
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[6] Texas Instruments Incorporated.TMS320C6000系列DSP編程工具與指南[M].田黎育，何佩琨，朱夢(mèng)宇，譯.北京：清華大學(xué)出版社，2006.