By Hank Zumbahlen analog公司

在使用濾波器的應(yīng)用中，通常人們對(duì)幅值響應(yīng)的興趣要比對(duì)相位響應(yīng)的興趣更濃厚。但是，在某些應(yīng)用中，濾波器的相位響應(yīng)也很重要。一個(gè)實(shí)例是濾波器用于過(guò)程控制環(huán)路中的情形。這里，人們關(guān)心的是總的相移量，因?yàn)樗绊懙江h(huán)路的穩(wěn)定性。用來(lái)搭建濾波器的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是否會(huì)造成在某些頻率點(diǎn)處符號(hào)出現(xiàn)相反，是非常重要的。

將有源濾波器視為兩個(gè)級(jí)聯(lián)的濾波器是一個(gè)有用的方法。如圖1所示，其中一個(gè)濾波器是理想的濾波器，用于體現(xiàn)傳遞函數(shù)" title="傳遞函數(shù)">傳遞函數(shù)；另一個(gè)是構(gòu)成濾波器的放大器。在閉環(huán)的負(fù)反饋環(huán)路中所采用的放大器可以被視為一個(gè)具有一階響應(yīng)的、簡(jiǎn)單的低通濾波器" title="低通濾波器">低通濾波器。當(dāng)頻率超過(guò)某一點(diǎn)后，增益將隨著頻率的增長(zhǎng)而出現(xiàn)滾降現(xiàn)象。此外，如果放大器使用反相" title="反相">反相放大結(jié)構(gòu)的話，則所有頻率點(diǎn)上還將出現(xiàn)附加的180°相移。

圖1. 以兩個(gè)級(jí)聯(lián)的傳遞函數(shù)的形式表示的濾波器

濾波器設(shè)計(jì)過(guò)程可分為兩步。首先選定濾波器的響應(yīng)特性，接下來(lái)選出適當(dāng)?shù)碾娐方Y(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)它。濾波器的響應(yīng)是指衰減曲線的形狀，這常常可以歸為經(jīng)典的響應(yīng)特性中的一種，如Butterworth、Bessel或者某種Chebyshev型。雖然這些響應(yīng)特性的選擇往往會(huì)影響幅值響應(yīng)特性，但它們也會(huì)影響相位響應(yīng)特性的形狀。在本文中，為了進(jìn)行比較，忽略幅值響應(yīng)，認(rèn)為其幾乎不變。

濾波器的復(fù)雜性往往通過(guò)濾波器的“階數(shù)”來(lái)定義，該參數(shù)與儲(chǔ)能元件（電感和電容）的數(shù)量有關(guān)。濾波器傳遞函數(shù)分母的階數(shù)定義了隨著頻率的上升而呈現(xiàn)的衰減速率。漸近線型的濾波器滾降速率為－6ndB/倍頻程，或者－20ndB/十倍頻程，其中n是極點(diǎn)的數(shù)量。倍頻程是指頻率的二倍或者一半，十倍頻程是頻率的十倍增長(zhǎng)或者縮減。因此，一個(gè)一階（或者單極點(diǎn)）濾波器的滾降速率為－6dB/倍頻程或者－20dB/十倍頻程。類似的，一個(gè)二階（或者2極點(diǎn)）濾波器的滾降速率為－12dB/倍頻程或者－40dB/十倍頻程。更高階次的濾波器往往是由級(jí)聯(lián)的一階和二階基本單元所構(gòu)成的。自然，我們可以利用單個(gè)有源放大電路級(jí)來(lái)構(gòu)建三階、甚至四階濾波器，但是對(duì)于元件值的敏感，以及元件之間的相互作用對(duì)頻率響應(yīng)所造成影響的大幅度上升，會(huì)使這些選擇不那么具有吸引力。

傳遞函數(shù)
首先，我們考察一下傳遞函數(shù)的相位響應(yīng)。對(duì)于同樣階數(shù)的濾波器選項(xiàng)來(lái)說(shuō)，它們的傳遞函數(shù)的相移特性都相同。

對(duì)于單極點(diǎn)、低通的情形，傳遞函數(shù)的相移為φ，由下式給出。

(1)

以弧度/秒為單位的頻率等于2π乘以以Hz為單位的頻率，這是因?yàn)槊總€(gè)360°周期對(duì)應(yīng)著2π弧度。由于上面的表達(dá)式是一個(gè)無(wú)量綱的比值，故f和ω都可以采用。

中心頻率還可以被稱為截止頻率（即該單極點(diǎn)、低通濾波器的幅值響應(yīng)特性下降3dB——約30％——的頻率點(diǎn)）。在相位關(guān)系方面，中心頻率是相移量達(dá)到其最終值－–90°（在這個(gè)例子中）的50％時(shí)的頻率點(diǎn)。圖2是一幅半對(duì)數(shù)圖，描述了公式1所表述的相位響應(yīng)關(guān)系，其頻率范圍是中心頻率以下的兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上的兩個(gè)十倍頻程。中心頻率（＝1）處的相位移動(dòng)為–45°。

圖2. 一個(gè)單極點(diǎn)、低通濾波器在中心頻率附近的相位響應(yīng)（同相，左軸；反相響應(yīng)，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

類似的，一個(gè)單極點(diǎn)的高通濾波器" title="高通濾波器">高通濾波器可以由下式給出：

(2)

圖3描繪了公式2所表示的、在中心頻率以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程這一范圍內(nèi)的響應(yīng)特性。其歸一化的中心頻率（＝1）處的相移為+45°。

顯然，高通和低通特性類似，只是相互間存在90°的相位差（π/2 radians）

圖3. 一個(gè)單極點(diǎn)、低通濾波器在中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)（同相，左軸；反相響應(yīng)，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

對(duì)于二階、低通的情形，傳遞函數(shù)的相移可以由下式近似表示為

(3)

式中α是濾波器的阻尼比。它將決定幅值響應(yīng)曲線上的峰值以及相位曲線過(guò)渡段的陡峭程度。它是電路的Q值的倒數(shù)，這也決定了幅值滾降或相位偏移的陡峭程度。Butterworth響應(yīng)的α為1.414（Q＝0.707），可以產(chǎn)生最大平坦度響應(yīng)特性。更低的α會(huì)使幅值響應(yīng)特性曲線上出現(xiàn)尖峰。

圖4. 一個(gè)雙極點(diǎn)、低通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)（同相，左軸；反相響應(yīng)，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

圖4描繪了該式所表示的（α＝1.414）、在中心頻率以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程這一范圍內(nèi)的響應(yīng)特性。這里，中心頻率（＝1）處出現(xiàn)的相位偏移為–90°。一個(gè)2極點(diǎn)、高通濾波器的相位特性響應(yīng)可以由下式近似表示

(4)

圖5描繪了該式所表示的響應(yīng)特性（同樣有α＝1.414），其范圍是中心頻率（＝1）以下兩個(gè)十倍頻程至中心頻率以上兩個(gè)十倍頻程，相應(yīng)的相移為

圖5. 一個(gè)雙極點(diǎn)、高通濾波器的中心頻率 1 附近的相位響應(yīng)（同相，左軸；反相響應(yīng)，右軸） 圖中：Normalized Frequency——歸一化頻率，Phase Angle（in－phase）——相角（同相），Phase Angle（inverted）——相角（反相）

同樣的，顯然高通和低通相位響應(yīng)是類似的，僅僅存在180°的相位偏移（π弧度）。在更高階數(shù)的濾波器中， 每個(gè)附加段的相位響應(yīng)都累加到總的相移量之上。這一特性將在下面進(jìn)一步予以討論。為了與通常的實(shí)踐保持一致，所示出的相移被限制為±180°的范圍之內(nèi)。例如，–181° 事實(shí)上等價(jià)于 +179°，360°等價(jià)于0°，依此類推。

一階濾波器段
一階濾波器段可以以多種方式來(lái)構(gòu)建。圖6示出最簡(jiǎn)單的一種結(jié)構(gòu)，即使用無(wú)源的R－C架構(gòu)。該濾波器的中心頻率為1/(2πRC)。它之后往往接一個(gè)同相的緩沖放大器，以防止濾波器之后的電路對(duì)其產(chǎn)生負(fù)載效應(yīng)，負(fù)載會(huì)改變?yōu)V波器的響應(yīng)特性。此外，緩沖器還可以提供一定的驅(qū)動(dòng)能力。相位響應(yīng)如圖2所示，即在中心頻率點(diǎn)處產(chǎn)生45°的相移，正如傳遞函數(shù)所預(yù)測(cè)的那樣，這是因?yàn)闆](méi)有另外的元件改變相移特性。這種響應(yīng)特性將被稱為同相、一階、低通響應(yīng)特性。只要緩沖器的帶寬顯著高于濾波器，那么緩沖器就不會(huì)帶來(lái)相移。

圖6. 無(wú)源低通濾波器

請(qǐng)記住，這些圖中的頻率值是歸一化的，即相對(duì)于中心頻率的比值。例如，若中心頻率是5kHz，則這些圖將展示50Hz到500kHz范圍內(nèi)的相位響應(yīng)特性。

圖7示出另外一種結(jié)構(gòu)。該電路增加了一個(gè)并聯(lián)電阻，對(duì)積分電容進(jìn)行連續(xù)放電，從根本上來(lái)說(shuō)它是一個(gè)有損耗的積分器。其中心頻率同樣是1/(2πRC)。因?yàn)樵摲糯笃魇且苑聪嗄Ｊ焦ぷ鞯?，故反相模式將在相移特性上引入附加?80°相位。圖2示出了輸入－輸出的相位差隨頻率的變化，其中包括了放大器引入的反相（右軸）。該響應(yīng)特性將被稱為反相的、一階、低通響應(yīng)。

圖7. 利用工作在反相模式的運(yùn)放搭建的有源、單極點(diǎn)、低通濾波器

上面所示的電路可以衰減高頻分量而通過(guò)低頻分量，均屬于低通濾波器?？梢酝ㄟ^(guò)高頻分量的電路則與之類似。圖8示出一個(gè)無(wú)源的一階、高通濾波器電路結(jié)構(gòu)，其相位隨著歸一化頻率的變化特性則示于圖3中（同相響應(yīng)）。

圖8. 無(wú)源高通濾波器

圖3（左軸）的曲線被稱為同相、一階、高通響應(yīng)特性。該高通濾波器的有源電路示于圖9中。其相位隨頻率的變化示于圖3中（右軸）。這將被稱為反相、一階、高通響應(yīng)。

圖9. 有源、單極點(diǎn)、高通濾波器

二階濾波器段
二階濾波器有各式各樣的電路結(jié)構(gòu)。這里要討論的是Sallen－Key、多路反饋、狀態(tài)變量結(jié)構(gòu)，及其類似的雙二階濾波結(jié)構(gòu)。它們是最常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)，而且與本文的內(nèi)容相關(guān)。關(guān)于各種不同結(jié)構(gòu)的更為完整的信息可參見(jiàn)文后的參考文獻(xiàn)。

Sallen－Key低通濾波器
廣泛使用的Sallen-Key結(jié)構(gòu)也被稱為電壓控制電壓源（VCVS）型，是MIT的林肯實(shí)驗(yàn)室（參見(jiàn)文獻(xiàn)3）的R.P. Sallen和 E.L. Key于1955年提出的結(jié)構(gòu)。圖10示出了一個(gè)Sallen－Key二階低通濾波器的電路原理圖。這一結(jié)構(gòu)受到廣泛歡迎的一個(gè)原因是它的性能基本與運(yùn)放的性能無(wú)關(guān)，因?yàn)榉糯笃髦饕鳛橐粋€(gè)緩沖器來(lái)使用。由于在基本的Sallen－Key電路中，連接成跟隨器的運(yùn)放并不用于產(chǎn)生電壓增益，故對(duì)它的增益－帶寬要求并不重要。這意味著，對(duì)于給定的運(yùn)放帶寬而言，與運(yùn)放的動(dòng)態(tài)特性受到可變反饋環(huán)路特性影響的那些電路結(jié)構(gòu)相比，利用這一固定的（單位）增益可以設(shè)計(jì)出頻率更高的濾波器。通過(guò)濾波器后，信號(hào)的相位保持不變（同相結(jié)構(gòu)）。圖4示出一個(gè)Q＝0.707（或者，阻尼比α＝1/Q=1.414——Butterworth響應(yīng)特性）的Sallen－Key低通濾波器的相移－頻率關(guān)系圖。為了簡(jiǎn)化比較，這將作為下面所考慮的二階濾波器段的性能標(biāo)準(zhǔn)。

圖10. 2極點(diǎn)、Sallen-Key低通濾波器

Sallen-Key高通濾波器
通過(guò)互換決定頻率網(wǎng)絡(luò)上的電容和電阻的位置，可將Sallan-Key低通電路變換為高通結(jié)構(gòu)，正如圖11所示的那樣，而且同樣采用單位增益的緩沖器。其相移－頻率關(guān)系示于圖5中（左軸）。這是同相、二階、高通響應(yīng)。

圖11. 2極點(diǎn)、Sallen-Key高通濾波器

Sallen－Key濾波器的放大器增益可以通過(guò)在運(yùn)放反相輸入上連接一個(gè)電阻衰減器組成的反饋網(wǎng)絡(luò)來(lái)提高。不過(guò)，改變?cè)鲆鎸⒂绊懙經(jīng)Q定頻率網(wǎng)絡(luò)的表達(dá)式，而且需要重新計(jì)算元件的值。該放大器的動(dòng)態(tài)特性也需要更嚴(yán)格的考察，因?yàn)樗鼈冊(cè)诃h(huán)路中引入了增益。

多路反饋（Multiple-Feedback，MFB）低通濾波器
多路反饋濾波器是一種單放大器電路結(jié)構(gòu)，反饋環(huán)路是基于運(yùn)放的積分器（反相配置），如圖12所示。因此，運(yùn)放參數(shù)對(duì)傳遞函數(shù)之間的影響要大于Sallen－Key的實(shí)現(xiàn)方案。要產(chǎn)生一個(gè)高Q、高頻電路是很困難的，因?yàn)檫\(yùn)放在高頻段的開(kāi)環(huán)增益有限。一條指導(dǎo)方針是，運(yùn)放的開(kāi)環(huán)增益應(yīng)該至少比諧振（或者截止）頻率處的幅值響應(yīng)高出20dB（即10倍于之），包括濾波器的Q值造成的峰值。由于Q值而造成的尖峰將具有如下的幅值

(5)

式中：H是電路的增益。

圖12. 2極點(diǎn)、多路反饋（MFB）、低通濾波器

該多路反饋濾波器會(huì)使信號(hào)反相。這等價(jià)于讓濾波器自身的相移增加了180°。圖4示出了相位－頻率變化關(guān)系（右軸）。這將被稱為反相、二階、低通響應(yīng)。值得注意的是，在得到給定響應(yīng)特性的條件下，多路反饋結(jié)構(gòu)中的最大和最小元件值之間的差異要大于Sallen－Key實(shí)現(xiàn)方案中的。

多路反饋（MFB）、高通濾波器
上面關(guān)于多路反饋、低通濾波器的評(píng)述也適用于高通的情形。圖13示出一個(gè)多路反饋、高通濾波器的原理圖，其理想的相移-濾波特性則示于圖5中（右軸）。這被稱為反相、二階、高通響應(yīng)特性。

圖13. 2極點(diǎn)、多路反饋（MFB）高通濾波器

要保證這種濾波器的具體電路實(shí)現(xiàn)在高頻情況下的穩(wěn)定性是十分困難的，因?yàn)樗窃谝粋€(gè)微分器的基礎(chǔ)上構(gòu)建的，與所有的微分器電路所類似的是，它在更高的頻率上閉環(huán)增益更大，因此會(huì)對(duì)噪聲產(chǎn)生放大作用。

狀態(tài)變量型濾波器
圖14示出了一種狀態(tài)變量實(shí)現(xiàn)方案。該結(jié)構(gòu)是最靈活和最精確的實(shí)現(xiàn)方案，付出的代價(jià)是電路元件的數(shù)量大大增加，其中包括了3個(gè)運(yùn)放。所有3個(gè)主要的參數(shù)（增益、Q和ω₀）都可以獨(dú)立調(diào)節(jié)，而且可以同時(shí)提供低通、高通和帶通輸出。該濾波器的增益也是獨(dú)立的變量。

由于狀態(tài)變量濾波器的所有參數(shù)都可以獨(dú)立調(diào)節(jié)，故其元件值的散布變得很小。而且由于溫度和元件公差所帶來(lái)的失配也可以最小化。與上面的多路反饋電路類似的是，積分器部分所使用的運(yùn)放的增益帶寬積也成為電路的限制條件。

圖14. 2極點(diǎn)、狀態(tài)變量濾波器

其中低通濾波段的相移－頻率特性屬于一個(gè)反相的二階型響應(yīng)（參見(jiàn)圖4，右軸），高通段電路將具有反相高通響應(yīng)（參見(jiàn)圖5，右軸）。

雙二階（biquad）
狀態(tài)變量濾波器的一個(gè)近親是雙二階型（參見(jiàn)圖15）。該電路的名稱最早是由J. Tow于1968年使用的（見(jiàn)參考文獻(xiàn)6），后來(lái)由L.C. Thomas 于1971年使用（見(jiàn)文獻(xiàn)5），其工作是基于如下的事實(shí)：傳遞函數(shù)是兩個(gè)二階項(xiàng)之比。該電路與狀態(tài)變量電路之間存在輕微的區(qū)別。在這一結(jié)構(gòu)中，不能提供單獨(dú)的高通輸出。不過(guò)它具有兩路低通輸出，其中一路是同相的（LOWPASS1），另一路是反相的（LOWPASS2）。

圖15. 標(biāo)準(zhǔn)的雙二階2極點(diǎn)電路

由于添加了第四個(gè)放大器電路，故可以實(shí)現(xiàn)高通、陷波（低通、標(biāo)準(zhǔn)和高通）以及全通型濾波器。圖16示出一個(gè)帶有高通電路的雙二階電路的原理圖。

圖16. 2極點(diǎn)雙二階濾波器（帶有高通段）

其中LOWPASS1段的相移－頻率特性屬于同相、二階、低通型響應(yīng)（參見(jiàn)圖4的左軸）。LOWPASS2段將具有反相的二階型響應(yīng)（參見(jiàn)圖4，右軸）。HIGHPASS段的相移特性屬于反相特性（參見(jiàn)圖5，右軸）。

結(jié)論
我們已經(jīng)看到用于構(gòu)建一個(gè)濾波器的拓?fù)鋵⒂绊懫鋵?shí)際的相位響應(yīng)。這會(huì)是確定所用的拓?fù)鋾r(shí)需要考慮的一個(gè)因素。表1對(duì)本文中討論的各種低通濾波器結(jié)構(gòu)的相移范圍進(jìn)行了比較。

表1. 低通濾波器架構(gòu)的相移范圍

類似的，表2對(duì)各種高通濾波器結(jié)構(gòu)進(jìn)行了比較。

表2. 高通濾波器拓?fù)湎嘁品秶?/b>