摘  要： 提出了一種基于級聯(lián)混沌系統(tǒng)的圖像加密算法。實驗結(jié)果表明，這種加密算法具有高度的安全性和有效性。
關(guān)鍵詞： 圖像加密算法；混沌；級聯(lián)混沌

    目前混沌加密己成為密碼學研究的熱點之一，但已有的大部分混沌加密算法都是基于單個混沌系統(tǒng)的。事實表明，一些混沌映射可通過相空間重構(gòu)的方法精確預(yù)測出來[1]。另外，由于計算機精度的限制，單混沌系統(tǒng)輸出的時間序列并不能達到理論上的完全隨機，而可通過多個混沌系統(tǒng)的級聯(lián)使這一缺陷得到改善[2]。為此，本文提出了一種基于多混沌系統(tǒng)級聯(lián)的圖像加密算法，理論分析與數(shù)值實驗均表明本算法能夠達到密碼學要求的混淆和擴散的目的，并能有效地預(yù)防差分攻擊。
1 混沌序列的生成
1.1 Logistic映射
    Logistic映射由數(shù)學生態(tài)學家May于1976年提出，是非線性迭代方程和研究最廣泛的動力系統(tǒng)。Logistic映射的定義為：

    當3.569 945 6<μ≤4時，Logistic映射工作處于混沌狀態(tài)，即由初始條件x0在Logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列{xk}是非周期、不收斂的，并對初始值非常敏感；當μ=4時，該映射是滿射，產(chǎn)生的混沌序列在區(qū)間(0，1)上具有遍歷性。由于Logistic映射具有與白噪聲相似的特性、簡單和初始值敏感性的特點，因此很多混沌圖像加密算法都是基于Logistic映射的。
1.2 時空混沌映射
    時空混沌系統(tǒng)是一個空間上的擴展系統(tǒng)[3]，它展現(xiàn)了時間和空間上的混沌性。耦合映射格子(CML)通常被作為時空混沌系統(tǒng)使用，這種系統(tǒng)是具有離散時間、離散空間和連續(xù)狀態(tài)的動力系統(tǒng)。它由位于格子站點上的稱為局部映射的非線性映射組成，每個局部映射與其他局部映射以一定規(guī)則進行耦合連接。由于每個局部映射所固有的非線性動力特性及相互間耦合所產(chǎn)生的發(fā)散性，CML可以展現(xiàn)時空混沌性。所以采用不同的局部映射和耦合方法便可以構(gòu)造出不同形式的CML[4]。本算法構(gòu)造的二維CML為：

2 加密與解密的實現(xiàn)
    本算法選用的混沌系統(tǒng)為時空混沌系統(tǒng)與一維Logistic映射。首先利用式(2)時空混沌系統(tǒng)產(chǎn)生隨機序列，然后將這個序列值分別作為式(1)的Logistic映射初始值，經(jīng)過特定次數(shù)的迭代以后得到最后所需的混沌序列。這個特定次數(shù)是由上一個圖像像素加密后的結(jié)果決定的。

    (4)對圖像c1按相反的方向從最后兩個像素開始按步驟(3)對像素值進行操作得到圖像c，即為加密后的密文圖像。
2.2 解密過程
    解密過程與加密過程相反，即：將步驟(2)中提到的迭代的次數(shù)改為由密文圖像的前兩個像素值決定，再將步驟(3)與步驟(4)的順序顛倒過來，即可完成密文圖像的解密。

3 安全性分析
    本算法有很高的安全性，具有更大的密鑰空間，且能夠抵御大部分常見的攻擊。

3.3 統(tǒng)計分析
    圖像中相鄰像素的相關(guān)性非常大，在加密過程中為了防御統(tǒng)計攻擊，必須使得相鄰像素間的相關(guān)性降低[5]。本文在待加密圖像和加密后的圖像中各隨機地選取了2 008對像素對，測試其水平方向、垂直方向、對角方向的像素相關(guān)性，并利用式(8)計算其相關(guān)系數(shù)：

3.4 差分攻擊分析
    通過對待加密圖像做微小的改變，然后觀察該改變帶來的結(jié)果的方法，攻擊者可以獲得加密后圖像與原圖像之間的關(guān)聯(lián)。若某加密算法可使原圖像發(fā)生微小變化，使前后加密的結(jié)果變化很大，則該算法即可很好地預(yù)防差分攻擊。
    像素數(shù)目改變率(NPCR)是指當待加密圖像改變一個像素時，加密后圖像像素數(shù)目的改變率。NPCR越大，表明加密算法對于待加密圖像變化越敏感，則該加密算法抵抗明文攻擊能力越強；平均強度變化率(UACI)是指待加密圖像和加密后圖像相應(yīng)像素的平均強度的變化率，該指標越大，表示加密后圖像與待加密圖像比平均強度變化越大，則該加密算法抵抗差分攻擊能力越強。設(shè)兩幅加密后的圖像分別為c1和c2，則：

    本文提出一種基于級聯(lián)混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，采用由Logistic映射構(gòu)成的一維CML作為時空混沌系統(tǒng)，然后將它的輸出序列作為Logistic由某一初始值經(jīng)過特定次數(shù)的迭代后得到最終的密鑰序列。安全性分析表明，本算法的密鑰空間足夠大，使得暴力攻擊不可能。仿真實驗結(jié)果也表明，本算法具有較高的性能，在圖像加密和圖像傳輸中具有一定的潛在應(yīng)用價值。
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