孔祥昆，于萬波

　?。ù筮B大學(xué) 信息學(xué)院，遼寧 大連 116622）

       摘要：利用線性函數(shù)迭代系統(tǒng)進(jìn)行迭代可以繪制出樹與山等自然景物，而非線性系統(tǒng)在這方面的研究結(jié)果相對(duì)較少。本文利用輔助函數(shù)與一個(gè)隨機(jī)生成的多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)，其中輔助函數(shù)具備類似正弦函數(shù)的性質(zhì)，而多項(xiàng)式函數(shù)只含有二次項(xiàng)或者一次項(xiàng)，通過繪制分形圖等方法對(duì)系統(tǒng)的混沌特性進(jìn)行分析，結(jié)果表明，一組三維正弦函數(shù)與兩個(gè)三維多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)造的動(dòng)力系統(tǒng)是混沌的概率很高，通過迭代可以得到眾多的具有觀賞和實(shí)用價(jià)值的三維吸引子。除了可以輔助繪制吸引子圖形外，這種構(gòu)造混沌的方法也是混沌理論研究的一個(gè)實(shí)例。

　　關(guān)鍵詞：混沌；吸引子；曲面；迭代

　　0引言

　　近年來，研究人員對(duì)函數(shù)迭代系統(tǒng)（Iterated Function System）進(jìn)行了深入的研究［1］，取得了許多研究成果。例如，研究人員使用線性迭代系統(tǒng)繪制出樹、山等自然景物，從而誕生了分形幾何這一新的學(xué)科分支；在非線性函數(shù)迭代的研究方面得到了著名的Julia集合與Mandelbrot集合等研究成果［2］。此外還有M.F.Barnsley研究得出的拼貼定理［3］。在其他各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，都有關(guān)于迭代系統(tǒng)的經(jīng)典實(shí)例，例如，由簡(jiǎn)單多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成的描述大氣運(yùn)動(dòng)的Lorenz系統(tǒng)［4］，這一系統(tǒng)促使研究人員開始對(duì)混沌進(jìn)行深入研究；化學(xué)反應(yīng)中也有著許多混沌系統(tǒng)，如Brussels振子［5］；一些人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的系統(tǒng)等也可以出現(xiàn)混沌［6］。對(duì)于什么樣的函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)才可以出現(xiàn)混沌，文獻(xiàn)［7］選擇插值擬合曲面進(jìn)行研究。文獻(xiàn)［7］研究發(fā)現(xiàn)，如果式（1）

　　中的曲面f(x,y)是雙二次有理貝塞爾（曲面）函數(shù)，而另外一個(gè)曲面g(x,y)是隨機(jī)生成的多項(xiàng)式曲面，則式 (1)所示的動(dòng)力系統(tǒng)出現(xiàn)混沌的概率可以大于十分之一。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［89］研究了三角函數(shù)曲面與隨機(jī)多項(xiàng)式曲面構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)的混沌特性，發(fā)現(xiàn)在一定的參數(shù)區(qū)間內(nèi)，出現(xiàn)混沌的概率可以超過90%，所以三角函數(shù)是一種（目前來看）最好的輔助函數(shù)。文獻(xiàn)［9］使用三維輔助函數(shù)，例如三維三角函數(shù)、小波函數(shù)、Logistic函數(shù)等與兩個(gè)三維隨機(jī)多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)，研究發(fā)現(xiàn)其是否出現(xiàn)混沌與三維函數(shù)的截面形狀有直接關(guān)系。

　　本文在以上研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了什么樣的曲面構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)是混沌的，以及如何使用迭代函數(shù)系統(tǒng)生成更多的圖形圖案，以用于工業(yè)設(shè)計(jì)、動(dòng)漫設(shè)計(jì)等領(lǐng)域。

1二維正弦函數(shù)與隨機(jī)多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)

　　作為輔助函數(shù)，正弦函數(shù)具有很好的特性，振蕩并占有一定的空間，與另外一個(gè)二次隨機(jī)多項(xiàng)式構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)，如式（2）所示。使用該動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行迭代，能夠構(gòu)造出大量的混沌系統(tǒng)［8］。

　　本文進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，正弦函數(shù)與其他形式的隨機(jī)多項(xiàng)式構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)也可以很容易出現(xiàn)混沌，并且能夠產(chǎn)生大量獨(dú)特的吸引子圖形。

　　1.1二維正弦函數(shù)與沒有xy項(xiàng)的隨機(jī)二次函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)

　　式（2）中系數(shù)是隨機(jī)生成的，其中某個(gè)系數(shù)為0的可能性比較小。如果令某些系數(shù)為0，則：

　　令式（3）中的k=3.141 59，隨機(jī)生成g(x,y)表達(dá)式的系數(shù)，其為-1~1之間的數(shù)。為了確保迭代能夠正常進(jìn)行，將多項(xiàng)式g(x,y)函數(shù)值調(diào)整到-1~1之間。調(diào)整方法是：首先計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)在［0, 1］× ［0, 1］區(qū)域上的最大值g(x,y)max和最小值g(x,y)min，然后使用式（4）進(jìn)行調(diào)整：

　　調(diào)整之后的函數(shù)經(jīng)過仿真模擬繪制出吸引子圖形，如圖1所示。

　　得到4個(gè)吸引子的系數(shù)a0，a1，a2，a3，a4分別為:

　　(a)0.401 3，0.965 4，0.613 3，0.407 1，-0.030 1;

　　(b)0.831 9，0.204 0，-0.492 9，0.746 9，0.026 8;

　　(c)0.656 1，0.835 1，-0.773 8，0.624 3，0.816 5;

　　(d)-0.086 1，0.576 3，-0.437 9，-0.550 4，0.817 7。

　　當(dāng)式（3）中g(shù)(x,y)的常數(shù)項(xiàng)與一次項(xiàng)系數(shù)都為0時(shí)，如式（5）所示，這種情形下，也易于出現(xiàn)混沌，但是因?yàn)閰?shù)少，所以吸引子樣式減少，很容易得到一些中間過渡的吸引子圖形，如圖2所示，其中f(x,y)的參數(shù)k=3.141 59。

　　系數(shù)分別為:(a)0.756 6，0.283 3;(b)0.369 3，0.957 0;(c)-0.812 1，0.300 1;(d)-0.990 6，0.206 2。

　　實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)g(x,y)沒有平方項(xiàng)或有xy項(xiàng)時(shí)，如式（6）與式（7），不易出現(xiàn)混沌。

　　當(dāng)g(x,y)有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、平方項(xiàng)，也有立方項(xiàng)時(shí)，如式（8）所示，可以繪制出眾多吸引子，如圖3所示。

　　f(x,y)=sin(k(x2+y2))

　　g(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5x3+a6y3 （8）

　　得到的吸引子系數(shù)分別為：

　　(a)-0.120 2，0.866 8，0.366 7，0.678 5，0.257 6，-0.574 9，-0.732 5；

　　(b)-0.535 3，0.609 7，0.816 8，-0.521 4，-0.900 5，-0.536 2，-0.843 2；

　　(c)-0.248 2，-0.980 2，-0.160 3，0.587 7，0.839 9，0.507 3，0.689 4；

　　(d)0.867 7，-0.725 6，0.043 2，0.790 4。

　　由圖3可知，當(dāng)式（8）中g(shù)(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x3時(shí)，出現(xiàn)混沌吸引子的概率小一些（大約在0.5），不過會(huì)出現(xiàn)一些面積比較大的混沌，如圖2（d）所示。

　　為了提升出現(xiàn)混沌吸引子的概率，把式（8）中的f(x,y)調(diào)整為f(x,y)=sin(k1 x2 + k2 y2)，就會(huì)很容易出現(xiàn)混沌，如圖4所示?！?/p>

　　此時(shí)，吸引子系數(shù)分別為：

　　(a)0.539 8，-0.249 9，0.646 8，-0.906 7，0.195 8，0.898 3，-0.422 4，k1=3.141 59,k2=3.8;

　　(b)0.332 2，-0.738 1，-0.809 2，-0.970 3，-0.423 6，0.633 5，0.971 0，k1=3.141 59,k2=2.8。

　　1.2二維正弦函數(shù)與隨機(jī)多項(xiàng)式函數(shù)迭代出現(xiàn)混沌的條件分析

　　周期點(diǎn)在混沌研究中有著重要的作用。如果一個(gè)系統(tǒng)沒有不動(dòng)點(diǎn)（一周期點(diǎn)）和二周期點(diǎn)，那它就不是LiYorke混沌的，也不是Devaney混沌的。另外文獻(xiàn)［8］分析了二維Devaney混沌產(chǎn)生的必要條件與周期點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的乘積的絕對(duì)值之間的關(guān)系。

　　由文獻(xiàn)［8］結(jié)論1和結(jié)論2可知，在構(gòu)造混沌曲面迭代時(shí)，周期點(diǎn)處不能太平坦。這里所說的混沌需要滿足Devaney混沌定義中的遍歷性，即對(duì)定義域內(nèi)任何兩個(gè)開集U,V∈χ,存在自然數(shù)k。

　　結(jié)論1動(dòng)力系統(tǒng)如式（1）所示，如果二元函數(shù)f(x,y)與g(x,y)定義域?yàn)椋?,1］×［0,1］，值域是［0,1］，在定義域內(nèi)存在關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)。如果f(x,y)與g(x,y)構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)是混沌的，那么在其不動(dòng)點(diǎn)(x0,y0)處存在關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)，而且關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)之和：|f′x(x0,y0)|+|f′y(x0,y0)|與|g′x(x0,y0)|+|g′y(x0,y0)|不能同時(shí)小于1。

　　結(jié)論2動(dòng)力系統(tǒng)如式（1），如果二元函數(shù)f(x,y)與g(x,y)定義域?yàn)椋?,1］×［0,1］，值域是［0,1］，在定義域內(nèi)存在關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)。f(x,y)與g(x,y)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)，如果在這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)的兩個(gè)周期點(diǎn)(x0,y0)與(x1,y1)處關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)滿足條件： |f′x(x0,y0)|+|f′y(x0,y0)|<1,|g′x(x0,y0)|+|g′y(x0,y0)|<1，|f′x(x1,y1)|+|f′y(x1,y1)|<1,|g′x(x1,y1)|+|g′y(x1,y1)|<1，那么該動(dòng)力系統(tǒng)不是混沌的。

　　結(jié)論3二元連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)如式（1）所示，如果對(duì)于N周期中的N個(gè)點(diǎn)（N為正整數(shù)），都滿足式（9）：

　　那么該動(dòng)力系統(tǒng)不是混沌的。與Lyapunov指數(shù)相比，這種判斷條件雖然不是充分條件，但是也能夠排除諸多的非混沌系統(tǒng)，準(zhǔn)確地驗(yàn)證一個(gè)系統(tǒng)是否是遍歷混沌的。另外這種方法不需要計(jì)算特征值，不需要取對(duì)數(shù)，可以節(jié)省時(shí)間。

　　上面討論的都是二維函數(shù)構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)，三維函數(shù)構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)也存在著類似于結(jié)論1和結(jié)論2的結(jié)果。

2多個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)構(gòu)成非線性函數(shù)迭代系統(tǒng)

　　在第1節(jié)中研究的是二維函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)的情形，下面將多個(gè)三維函數(shù)構(gòu)成的動(dòng)力系統(tǒng)組合在一起，構(gòu)成隨機(jī)非線性迭代系統(tǒng)，按照一定的概率，隨機(jī)選取其中的某個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行迭代，這樣，可以生成更多形式的更加復(fù)雜多樣的吸引子圖形。例如使用式(10)所示的動(dòng)力系統(tǒng)構(gòu)造隨機(jī)非線性迭代系統(tǒng)：

　　使用4個(gè)如式（10）所示的動(dòng)力系統(tǒng)組成一個(gè)迭代系統(tǒng)，當(dāng)f(x,y,z)參數(shù)k分別取1.5、2、2.5、3，g(x,y,z)的系數(shù)如表1所示，h(x,y,z)的系數(shù)如表2所示，這時(shí)繪制出的吸引子圖形如圖5所示。

　　使用4個(gè)如式（10）所示的動(dòng)力系統(tǒng)組成一個(gè)迭代系統(tǒng)，當(dāng)f(x,y,z)參數(shù)k分別取1.5, 2, 2.5, 3；g(x,y,z)的系數(shù)如表3所示；h(x,y,z)的系數(shù)如表4所示，這時(shí)繪制出的吸引子圖形如圖6所示。 

　　圖6根據(jù)表3和表4系數(shù)繪制出的吸引子

3結(jié)論

　　本文給出了一種實(shí)用的混沌吸引子生成方法，利用正弦函數(shù)等混沌性質(zhì)較好的函數(shù)與隨機(jī)多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行迭代，可產(chǎn)生大量的具有觀賞和使用價(jià)值的吸引子。圖案幾乎不可以窮盡，變化多端，有很多具有相當(dāng)高的審美價(jià)值與研究?jī)r(jià)值。

　　使用少數(shù)的方程構(gòu)成線性IFS迭代可以生成樹、山等自然景物，使用非線性方程組進(jìn)行迭代能否很容易地生成動(dòng)物與人，這是一個(gè)需要進(jìn)一步研究的工作。

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