概要
常見(jiàn)的多級(jí)低通有源濾波器的增益排序方法是把大部分乃至全部增益放在第一級(jí)。如果只考慮要降低低頻的輸入?yún)⒖?a class="innerlink" href="http://ihrv.cn/tags/噪聲" title="噪聲" target="_blank">噪聲，這是正確的設(shè)計(jì)方法。然而，其它的幾種考慮因素可能會(huì)使您改變這種增益排序，以實(shí)現(xiàn)更為出色的實(shí)施方案。這些需要考慮因素包括：每級(jí)特征頻率范圍內(nèi)的噪聲峰值效應(yīng)、高 Q 值高增益級(jí)的過(guò)沖導(dǎo)致壓擺范圍受限和/或削波、可靠實(shí)施所需的放大器帶寬。本文將對(duì)上述情況進(jìn)行描述，為其找出相應(yīng)實(shí)施方案，并對(duì)這些方案的效果進(jìn)行詳解。
多級(jí)低通有源濾波器的設(shè)計(jì)考慮因素
每個(gè)多級(jí)有源濾波器設(shè)計(jì)人員都不得不為各級(jí) Q 值的排序和每級(jí)該分配多少增益之間的折衷而大傷腦筋。如果濾波器的總增益要大于 1，最簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)方法就是把大部分乃至全部的增益放在第一級(jí)。經(jīng)過(guò)正確分析得出這種方法可以實(shí)現(xiàn)最低輸入?yún)⒖键c(diǎn)噪聲（當(dāng)噪聲頻率遠(yuǎn)低于濾波器特性頻率時(shí)）。另外，對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的多極點(diǎn)設(shè)計(jì)，需要從低到高布置一系列的 Q 值。在哪里布置 Q 值最高的一級(jí)是一個(gè)非常重要的考慮因素，實(shí)際上也是實(shí)施方案成功與否的關(guān)鍵。這些 Q 值最高的一級(jí)會(huì)出現(xiàn)最高的輸出噪聲峰值，也是最有可能導(dǎo)致壓擺范圍受限和/或者削波的階躍響應(yīng)過(guò)沖的地方。許多設(shè)計(jì)工具把這一級(jí)放在最前面，這恰與將大多數(shù)增益放在第一級(jí)的目標(biāo)相沖突。有些設(shè)計(jì)工具則把大多數(shù)增益放在最后一級(jí)，結(jié)果導(dǎo)致噪聲峰值遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)必要水平，增大了濾波器輸出的整體噪聲。某些設(shè)計(jì)工具則采用折中方法，把 Q 值最高的一級(jí)放在中間（針對(duì) 4 階以上而言），這種方法似乎非常適用于某些應(yīng)用。
在采用有自身性能限制的真實(shí)部件來(lái)真正構(gòu)建這些濾波器時(shí)，上述的考慮就不再是紙上談兵。使用一種近期開(kāi)發(fā)的在線設(shè)計(jì)工具（參考資料 1），可以開(kāi)發(fā)出多種能夠?qū)崿F(xiàn)相同目標(biāo)頻率響應(yīng)的案例。在選擇不同的增益和 Q 值排序的情況下，它們的階躍響應(yīng)、噪聲以及要求的放大器性能裕量會(huì)大相徑庭。
當(dāng)然，只有在設(shè)計(jì)的低頻通帶總增益大于 1 的情況下才需要考慮增益排序。盡管增益和 Q 值排序問(wèn)題也適用于多級(jí)反饋 (MFB) 或無(wú)窮大增益拓?fù)洌@里將使用 Sallen Key 濾波器 (SKF) 來(lái)說(shuō)明問(wèn)題和結(jié)果。有資料顯示特定 SKF 級(jí)實(shí)現(xiàn)的增益是受限的（參考資料 2）。這只在阻容解決方案受到某些其它限制時(shí)才會(huì)出現(xiàn)。一般假設(shè)需要等電容設(shè)計(jì)，實(shí)際上這將限制每級(jí)可實(shí)現(xiàn)的最小增益。然而，對(duì)于板級(jí)實(shí)施方案來(lái)說(shuō)，等電容假設(shè)是人為的，可能對(duì)于針對(duì)集成的設(shè)計(jì)流程更有用處。這里的設(shè)計(jì)不局限于等阻或是等容，讓設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)通帶內(nèi)任何需要的增益。不過(guò)，需要注意的是，隨著增益的增加，這會(huì)加劇濾波器對(duì)組件變化和增益變化的靈敏度。一級(jí)增益的增加要求該級(jí)用于設(shè)置濾波器和增益的阻容元件具有更小的阻容容差。當(dāng)然現(xiàn)在已經(jīng)可以提供這樣的元件。
參考資料 1 的設(shè)計(jì)流程傾向于增大電阻，讓電阻產(chǎn)生的噪聲與運(yùn)算放大器固有噪聲相比可忽略不計(jì)。同時(shí)設(shè)置 1/R2C2 極點(diǎn)，使之降低濾波器級(jí)的內(nèi)部噪聲增益峰值（圖 1）
圖1. 基本的 SKF 二階低通濾波器
在各級(jí)增益分配中對(duì)要求的運(yùn)算放大器帶寬的考慮
圖 1 所示的設(shè)計(jì)要成功實(shí)施，必須估算出最低的放大器閉環(huán)帶寬。通常，如果要求放大器帶寬乘數(shù)是目標(biāo) Fo 的 100 倍到 200 倍，就比較容易實(shí)現(xiàn)。更為復(fù)雜的設(shè)計(jì)會(huì)根據(jù)該級(jí)增益和目標(biāo) Q 值來(lái)計(jì)算目標(biāo)帶寬，從而得到放大器帶寬隨 Fo 和 Q 值變化而變化的理想靈敏度。
帶寬乘數(shù)計(jì)算隨 Q 值變化（在給定增益下）的示例見(jiàn)圖 2。該圖顯示的是圖 1 電路的放大器帶寬與 Fo 之比，其目的是提供恰好足夠的放大器帶寬，實(shí)現(xiàn)高精度的濾波器實(shí)施方案，從而在帶寬變化為 15% 的情況下，F(xiàn)o 變化不超過(guò) 2%（參考資料 3）。使用帶寬裕量高于本設(shè)計(jì)的放大器當(dāng)然是可以的，不過(guò)本設(shè)計(jì)的目的是降低成功設(shè)計(jì)的門(mén)檻。
圖 2. 所需的運(yùn)算放大器帶寬與增益和 Q 值的關(guān)系
要注意的是，本圖重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)帶寬。這樣可以使用電流反饋放大器 (CFA) 或電壓反饋放大器 (VFA) 器件來(lái)實(shí)現(xiàn) SKF 拓?fù)洹FA 器件在一定的增益范圍內(nèi)，能夠保持恒定的閉環(huán)帶寬，故特別適合用于實(shí)現(xiàn)高增益。本圖（根據(jù)參考資料 1 的算法得出）在這個(gè)方面表現(xiàn)得特別明顯。舉例來(lái)說(shuō)，在增益為 2，Q 值為 0.5 的情況下，它只需要 7 倍的帶寬裕量。在 25 倍帶寬裕量下，增益可以達(dá)到10，Q 值達(dá)到 4.5。這些相對(duì)適度的設(shè)計(jì)裕量允許使用更多種類(lèi)的物理器件來(lái)實(shí)現(xiàn)特定的濾波器標(biāo)準(zhǔn)，但需要使用某些支持該帶寬的可以調(diào)整組件的算法，才能達(dá)成濾波器的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)。采用理想等式來(lái)計(jì)算阻容值的設(shè)計(jì)流程需要放大器帶寬具有更大的裕量。
若使用 VFA 器件，需要進(jìn)行如下修正：將每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)與增益相乘，得到所需的增益帶寬積與 Fo 的比例。如圖 3所示，所有的曲線都上移并展開(kāi)。
圖 3. 給定增益條件下所需的帶寬增益積與 Q 值參數(shù)
這里我們可以開(kāi)始研究使用 VFA 器件構(gòu)建的簡(jiǎn)單二階 SKF 實(shí)現(xiàn)更高 Q 值和更高放大級(jí)增益所需的某些極端乘數(shù)。舉例來(lái)說(shuō)，如果增益為 10、Q 值為 1，本曲線說(shuō)明我們需要增益帶寬積至少為 215xFo 的放大器。在 Fo 為 1KHz 時(shí)，這個(gè)要求并不難實(shí)現(xiàn)。但是如果 Fo 大于 1MHz，就會(huì)比較困難。這就是為什么具有級(jí)增益的更高速 SKF 傾向于使用 CFA 運(yùn)算放大器的原因。
設(shè)計(jì)一款實(shí)用、分立式運(yùn)算放大器的多級(jí)有源濾波器要求每一級(jí)的帶寬只要滿足本級(jí)的需要即可。一般來(lái)說(shuō)，過(guò)大的帶寬裕量是有代價(jià)的，或會(huì)增加功耗，或會(huì)增加購(gòu)買(mǎi)成本。此外，在各級(jí)的帶寬和壓擺率要求能夠保持在大致相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)的條件下，還可以使用由統(tǒng)一基礎(chǔ)放大器型號(hào)構(gòu)成的多通道器件來(lái)實(shí)現(xiàn)多級(jí)濾波器。在理想條件下，可以通過(guò)在圖 2 或者圖 3 上畫(huà)一條水平線來(lái)獲得完全相同的帶寬要求，然后使用水平線與參數(shù)曲線的交叉點(diǎn)來(lái)設(shè)置每一級(jí)的增益和 Q 值。然而，由此引申的更加直觀的解讀足以滿足我們的需要。這些曲線明確地說(shuō)明，隨著一級(jí) Q 值或者 Fo 的增加，該級(jí)分配的增益應(yīng)該減少。除了Butterworth 濾波器的每一級(jí)Fo 值都相等，其他濾波器在大于三階的情況下，每級(jí)的 Fo 都會(huì)發(fā)生變化。多數(shù)典型的低通濾波器的形態(tài)是 Fo隨 Q 值增大。這使所需放大器的帶寬受到的影響大于 圖2和圖3中顯示的Q 值相關(guān)性的影響（如圖 2 和圖 3 所示），但這種影響很大程度上要取決于所選擇的特定濾波器的形狀。
下面將舉例說(shuō)明這種影響。以一個(gè)六階、0.5 度等紋波相位低通濾波器為例。該濾波器 Fcutoff 為200KHz，總體增益為 10。我們首先采用增益逐級(jí)遞增， Q 值逐級(jí)遞減的方法，然后采用反向操作，增益逐級(jí)遞減的方法，然后將每種方法估算的最低放大器帶寬和增益帶寬積記錄在表格里。后者對(duì)是否只能對(duì)這些級(jí)采用 VFA 非常重要。該濾波器形狀在輸出端具有非常出色的低過(guò)沖階躍響應(yīng)，但在濾波器內(nèi)部各級(jí)會(huì)產(chǎn)生一定程度的振鈴和過(guò)沖現(xiàn)象。
圖 4 所示的設(shè)計(jì)按照參考資料 1 的思路，共分為三級(jí)。Q 值最高的一級(jí)放在第一級(jí)，增益最低；中間一級(jí) Q 值略低，增益略比第一級(jí)大；最后一級(jí) Q 值最低，增益最大?？梢?jiàn)從左到右 Fo 逐漸減小，增益逐漸變大。
圖 4. 此增益和 Q 值分配更為接近帶寬和壓擺率要求
另外，我們也可以采用更為常見(jiàn)的方式來(lái)設(shè)計(jì)，將第一級(jí)的增益設(shè)置為最大，逐級(jí)遞減。一般來(lái)說(shuō)，這樣可以提供更低的輸入?yún)⒖荚肼?。這對(duì)低頻率來(lái)說(shuō)是可行的，但不會(huì)像想象的那樣對(duì)整體輸出噪聲產(chǎn)生太大影響。圖 5 所示為同樣的濾波器標(biāo)準(zhǔn)，三級(jí)增益分別按 5、2、1 排序，實(shí)現(xiàn)了相同的整體濾波器形態(tài)。同時(shí) Q 值和 Fo 排序從輸入到輸出也呈現(xiàn)出由高到低的態(tài)勢(shì)。
圖 5. 使用更常見(jiàn)的設(shè)計(jì)流程的增益和 Q 值分配
使用生成上面曲線的算法，我們可以把估算的最低放大器帶寬乘以該級(jí)增益，得到每一級(jí)所需的增益帶寬積，并制成表格。雖然這種算法只在參考資料 1 中有所提及，但大多數(shù)設(shè)計(jì)工具有類(lèi)似的 通過(guò)Fo、Q 值和增益得到所需的放大器帶寬的計(jì)算，因此得出的結(jié)果也是類(lèi)似的。我們還可以計(jì)算出每一級(jí)所需的壓擺率峰值。具體計(jì)算將在后文介紹。我們這里的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn) 4Vpp 的最終輸出擺幅，通過(guò)綜合每一級(jí)輸出的標(biāo)稱(chēng)擺幅和 Q 值較高級(jí)的過(guò)沖階躍響應(yīng)導(dǎo)致的 增大了的dV/dT 峰值，我們可以估算出所需的壓擺率峰值。
上述表中文字
圖6. 所需的增益帶寬積和壓擺率的比較
每種方法對(duì)帶寬的要求體現(xiàn)出值得注意的差異。很明顯第二種方法要求的帶寬增益積變化較大（35：1，而第一種方法的帶寬增益積基本是恒定的）。此外，由于現(xiàn)在頭兩級(jí)要求較高的壓擺率，與第一種設(shè)計(jì)相比，參考資料 1 提出的設(shè)計(jì)流程需要在頭兩級(jí)采用速度較高的器件（圖 5），（ISL28191 的 GBP 是 61MHz，ISL28114 的 GBP 是 7.7MHz）。最后一級(jí)的壓擺率保持不變，但前面兩級(jí)現(xiàn)在要求更高的壓擺率。最終的輸出總是在固定的目標(biāo)輸出步長(zhǎng)和濾波器整體形態(tài)下達(dá)到相同的壓擺率，不過(guò)第一種設(shè)計(jì)在前兩級(jí)要求較低的峰值壓擺率，這在每一級(jí)都使用同樣的放大器的情況下，是更加受歡迎的。
雖然可能找到某種“優(yōu)化”算法來(lái)實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的增益分配，以得到固定的增益帶寬標(biāo)準(zhǔn)，但以本文所述的大略的方法來(lái)分配增益可以便于歸集所需的放大器帶寬。出于多種原因，在濾波器級(jí)數(shù)超過(guò)一級(jí)的情況下，高 Q 值的級(jí)增益應(yīng)保持較低，而如果需要更為一致、適中的放大器帶寬標(biāo)準(zhǔn)，應(yīng)更多地將總增益分配到較低Q 值的級(jí)上。這樣還會(huì)得到較低的 Q 值隨 Ko 變化的靈敏度。
但是如果把設(shè)計(jì) 1 中的 Q 值從輸入到輸出由高到低排序會(huì)怎么樣呢？這樣確實(shí)看起來(lái)更能保持各級(jí)所需壓擺率的一致性，另外還可以在削波和整體噪聲方面體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)。
二階階躍響應(yīng)所需的壓擺率峰值計(jì)算
多級(jí)有源濾波器的每一級(jí)都會(huì)產(chǎn)生輸出電壓轉(zhuǎn)換，這就要求限制最大 dV/dT。在這個(gè)由階躍響應(yīng)主導(dǎo)的例子中，如果該 dV/dT 超過(guò)了選定的運(yùn)算放大器的額定壓擺率，階躍響應(yīng)通常會(huì)大幅偏離預(yù)期值。因此，在謹(jǐn)慎的增益和 Q 值排序方法中，我們需要考慮內(nèi)部和輸出級(jí)對(duì) dV/dt 峰值的隱含要求。頻域主導(dǎo)的應(yīng)用會(huì)對(duì)每一級(jí)輸出都有隱含的壓擺率要求。在這種情況下，以總體響應(yīng)的 SFDR來(lái)作為 標(biāo)準(zhǔn)會(huì)更加有意義，但這方面的討論已經(jīng)超出了本文的范圍，不過(guò)可以得出與本例使用的階躍響應(yīng)主導(dǎo)的分析類(lèi)似的結(jié)論。
雖然多級(jí)有源濾波器內(nèi)部實(shí)際的波形在時(shí)域上可以非常復(fù)雜，但可以采用合理的保守方法，把每一級(jí)當(dāng)成受到了理想的輸入階躍激勵(lì)來(lái)分析。任何真實(shí)的濾波器產(chǎn)生的級(jí)間輸入的邊緣速率都會(huì)低于理想階躍，這樣就給我們一些設(shè)計(jì)裕量，并允許使用較為簡(jiǎn)單的等式。
如果我們假定任一二階低通濾波器級(jí)受到理想輸入階躍激勵(lì)后會(huì)產(chǎn)生 Vopp 的目標(biāo)擺幅，我們就可以通過(guò)分析輸出時(shí)間波形得出 dV/dt 峰值。有意思的是，其結(jié)果在文獻(xiàn)中很難找到，不過(guò)從參考資料 4（等式 55），我們可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單的近似等式，如等式 1 所示。
等式 1
如果我們知道理想的輸出端完整步長(zhǎng)以及第二級(jí)的 F-3db，這個(gè)近似等式可以幫助我們很方便地得出 dV/dt 峰值。我們可以通過(guò)下面的式子從目標(biāo)濾波器極點(diǎn)得到F-3dB
等式 2
根據(jù)設(shè)計(jì) 1 和設(shè)計(jì) 2 所舉的例子，每一級(jí) F-3db 的值計(jì)算如表 1 所示。（記住我們保持 Q 值和 Fo 排序不變，只是簡(jiǎn)單地分配了不同的增益，使濾波器內(nèi)部的階躍幅度不同）
表 1.
那么我們?cè)賮?lái)觀察 Q 值最高的一級(jí)，這一級(jí)通常也有最高的 Fo，也就是最大的帶寬。如果我們能夠推測(cè)出固定的最大輸出 Vpp 標(biāo)準(zhǔn)，就可以讓等式 1 的結(jié)果落在更小的范圍內(nèi)。最簡(jiǎn)單的方法是隨 F-3db 帶寬的增加，降低所需的 Vstep。設(shè)計(jì) 1 實(shí)際上就是通過(guò)在輸入級(jí)使用更低的增益做到了這一點(diǎn)。而設(shè)計(jì) 2 顯示了沒(méi)有降低較高 Q 值級(jí)（圖 6）所需的 Vstep 得到的壓擺率結(jié)果（如圖 6 所示）。圖 6 顯示的設(shè)計(jì) 1 和設(shè)計(jì) 2 的壓擺率是以 4Vpp 的最終輸出目標(biāo)擺幅為條件得出的。具體是使用等式 1 計(jì)算出該輸出條件下的壓擺率（使用 2 倍乘數(shù)以得到額外裕量），然后用該級(jí)標(biāo)稱(chēng)擺幅除以該級(jí)標(biāo)稱(chēng)增益得出由前一級(jí)進(jìn)入最后一級(jí)的步長(zhǎng)，最后使用該擺幅和該級(jí)的 F-3db 計(jì)算所需的壓擺率，依次類(lèi)推回第一級(jí)。
每個(gè) Q 值較高的級(jí)都會(huì)在階躍響應(yīng)中產(chǎn)生相當(dāng)大的過(guò)沖。設(shè)計(jì) 1 通過(guò)讓有較高過(guò)沖的級(jí)的擺幅較低，并從輸入到輸出逐步增大階躍擺幅來(lái)避免削波。設(shè)計(jì) 1 的階躍響應(yīng)仿真運(yùn)行結(jié)果（參考資料 1）得出的階躍響應(yīng)如圖 7 所示。該圖展示了通過(guò)濾波器每一級(jí)的輸入和輸出電壓。注意擺幅的逐漸增大和最終輸出級(jí)極低的過(guò)沖。這是這種類(lèi)型濾波器形態(tài)的典型特征。其在 +/-2.5V 雙極電源下產(chǎn)生 +/-2V 雙極性擺幅。
圖 7. 設(shè)計(jì) 1 的階躍響應(yīng)仿真
相比之下，設(shè)計(jì) 2 的階躍響應(yīng)在級(jí)間出現(xiàn)了削波，導(dǎo)致非常不理想的仿真響應(yīng)結(jié)果。這是因?yàn)榈谝患?jí)的增益較大導(dǎo)致設(shè)計(jì)中較早出現(xiàn)了大擺幅。如圖 8 所示，仿真中宏模型正確的預(yù)計(jì)到第二級(jí)的輸出會(huì)出現(xiàn)削波，而最后一級(jí)將其干凈地濾除了。
圖 8. 設(shè)計(jì) 2 的階躍響應(yīng)出現(xiàn)削波
這明顯比設(shè)計(jì) 1 的效果差。雖然這是個(gè)有些極端的例子，但這也確實(shí)說(shuō)明了用最后一級(jí)增益來(lái)降低級(jí)間削波風(fēng)險(xiǎn)的重要意義。
多級(jí)濾波器 Q 值排序?qū)υ肼曉鲆娣逯档目紤]
對(duì)曾經(jīng)測(cè)量過(guò) SKF 濾波器輸出噪聲頻譜的人來(lái)說(shuō)，都會(huì)有些驚訝地發(fā)現(xiàn)噪音峰值有多么高。SKF 濾波器的一項(xiàng)最不為人注意的特性是其高峰值噪聲增益在某種程度上可以通過(guò)認(rèn)真選擇電阻值來(lái)減輕。
運(yùn)算放大器線路的“噪聲增益”指輸出電壓的分壓比與差分輸入電壓比值的倒數(shù)。這也給出了運(yùn)算放大器自身的輸入噪聲電壓到輸出端的增益的頻率響應(yīng)。同樣它還是運(yùn)算放大器開(kāi)環(huán)增益與該噪聲增益的比，即 SKF 濾波器內(nèi)部通帶頻率上的環(huán)路增益。這是極為有用的因子，它說(shuō)明環(huán)路增益越大，諧波失真越低。因此，出于多種原因考慮，應(yīng)了解并盡力降低 SKF 的噪聲增益峰值。
等式 3 所示的是圖 1 二階低通 SKF 濾波器的噪聲增益拉普拉斯傳遞函數(shù)的基本形式。分子是一個(gè)二次多項(xiàng)式，實(shí)數(shù)零點(diǎn)分布在較寬的范圍內(nèi)（一個(gè)小于 ω0，一個(gè)大于 ω0），而分母的極點(diǎn)是濾波器需要的極點(diǎn)。這個(gè)分母的表達(dá)式實(shí)際上是導(dǎo)入增益元件前的無(wú)源2 R和2 C電路的極點(diǎn)等式（將圖 1 中的放大器從電路中去除，讓 C2 接地，就可以得到 C2 之上的從輸入到輸出端的傳遞函數(shù)，而這個(gè)表達(dá)式的極點(diǎn)就是 SKF 噪聲增益表達(dá)式的分母）。
等式 3 噪聲增益?
分母等式與所需的濾波器響應(yīng)一致。如果我們?cè)诜帜傅木€性系數(shù)中用 Ko/R2C2 項(xiàng)來(lái)做替代，然后按濾波器指標(biāo)項(xiàng)重寫(xiě)等式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)實(shí)際上我們?cè)谠肼曉鲆骓憫?yīng)方面沒(méi)有多少裕量。
等式4 濾波器指標(biāo)項(xiàng)的噪聲增益?
除 1/R2C2 極點(diǎn)外，該等式中的每一項(xiàng)都已經(jīng)被所需的濾波器形態(tài)、DC 增益以及 Ko 決定了。這種現(xiàn)象在某種程度上可以用來(lái)降低噪聲增益峰值，但噪聲增益峰值主要還是受控于所需的濾波器 Q 值。簡(jiǎn)單地說(shuō)，最好讓 SKF 濾波器的 R1/R2 值大致處于 0.15 至 0.7 之間。使該比例盡量接近 0 從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)是準(zhǔn)確無(wú)誤的，這樣可以減少噪聲增益峰值，但 R1 為 0 又會(huì)帶來(lái)其它問(wèn)題。
所以噪聲增益在頻率范圍內(nèi)始于 Ko，終于 Ko。在 ω0 附近，由于極點(diǎn)等式反映的所需的濾波器形態(tài)（Q >.707 會(huì)在所需的頻率響應(yīng)內(nèi)形成峰值）和低于 ω0 時(shí)形成的零點(diǎn)造成的峰值，因此會(huì)有較大峰值出現(xiàn)。一個(gè)顯然的問(wèn)題是運(yùn)算放大器環(huán)路內(nèi)的噪聲增益峰值是否會(huì)影響穩(wěn)定。在峰值位于放大器開(kāi)環(huán)響應(yīng)范圍內(nèi)的時(shí)候會(huì)影響穩(wěn)定。不過(guò)，即便在圖 1 和圖 2 所示的極低帶寬裕量條件下，噪聲增益曲線與開(kāi)環(huán)增益的交點(diǎn)也會(huì)遠(yuǎn)高于下面所示的峰值。但是這個(gè)問(wèn)題說(shuō)明了不要采用太大的放大器帶寬與 Fo 乘數(shù)。理論上講，可以使用幾乎任何放大器帶寬，通過(guò)迭代，得到所需濾波器形態(tài)要求的電阻值和電容值。不過(guò)讓放大器帶寬與 Fo 的比值過(guò)大就會(huì)引起局部環(huán)路穩(wěn)定問(wèn)題。
圖 9 所舉示例顯示的是設(shè)計(jì) 1 第一級(jí)的噪聲增益幅度。它采用參考資料 1 的設(shè)計(jì)算法，首先控制 R1+R2 的值使加在運(yùn)算放大器自身的噪聲近乎可以忽略，然后在上面建議的范圍內(nèi)設(shè)置 R1/R2 比例。
圖 9. 設(shè)計(jì) 1 第一級(jí)的噪聲增益幅度
這里的初始增益是 1.5V/V，最終的噪聲增益是 3.56dB。在 414KHz 的 Fo 頻率附近，我們發(fā)現(xiàn)了峰值驚人，增益增加了近 11.4dB，高達(dá) 15dB，是濾波器所需增益的 3.7 倍。這一級(jí)所需的濾波器形態(tài)只體現(xiàn)出了從 3.56dB 的DC 增益到最大 增益8.44dB 的峰值，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于隱藏于該響應(yīng)中的噪聲增益峰值。如果該較高 Q 值級(jí)還能提供更多濾波器總增益，整個(gè)曲線將會(huì)上移。這將在后面演示。
謹(jǐn)慎起見(jiàn)，應(yīng)該在該超高噪聲峰值之后安排 Q 值更低、Fo 更低的級(jí)。這樣可以過(guò)濾這些峰值，實(shí)現(xiàn)較低的整體輸出噪聲。
圖 10 顯示的是設(shè)計(jì) 1 濾波器每一級(jí)的輸出噪聲。它包含了根據(jù)參考資料 1 生成的設(shè)計(jì)的全部參數(shù)、噪聲電壓、噪聲電流以及電阻噪聲。前兩級(jí)的輸出有明顯的噪聲峰值，但最終輸出噪聲峰值近乎可以忽略，因?yàn)樽詈笠患?jí)的 Q 值較小。這里的噪聲峰值在 190KHz 時(shí)為 1.76µV/√Hz。
圖 10. 設(shè)計(jì) 1 的輸出噪聲圖
讓我們回到設(shè)計(jì) 2，采用 ISL28113 來(lái)完成設(shè)計(jì)，根據(jù)下面的噪聲圖（設(shè)計(jì)中經(jīng)設(shè)置電阻后會(huì)以運(yùn)算放大器噪聲電壓為主，故該圖主要體現(xiàn)的是運(yùn)算放大器的電壓噪聲效果）進(jìn)行輸出噪聲的公平比較。該圖顯示前兩級(jí)都出現(xiàn)了明顯的噪聲峰值，但由于最后一級(jí) Fo 和 Q 值相對(duì)較低，起到了良好的濾除作用。該圖顯示 200KHz 時(shí)噪聲峰值為 1.49µV/√Hz，略低于設(shè)計(jì) 1。
圖 11. 設(shè)計(jì) 2 的輸出噪聲
因此，在這種情況下，把增益更多地放在第一級(jí)確實(shí)可以輕微降低總輸出噪聲。但一定要把Q 值最低的一級(jí)布置在最后，這一點(diǎn)是非常重要的。把 Q 值最高的級(jí)放在后面的設(shè)計(jì)會(huì)導(dǎo)致最高的整體噪聲。即便該級(jí)的 DC 增益只有 1，其較高的頻率峰值也會(huì)形成不理想的整體噪聲結(jié)果。
有興趣的話，還可以計(jì)算出兩個(gè)設(shè)計(jì)的輸出噪聲 Vpp。計(jì)算的方法是將頻率范圍內(nèi)的輸出噪聲功率相加得到（Vrms）2，然后開(kāi)方，將平方根乘以 6 就得到大致的噪聲 Vpp。圖12顯示的是如果兩個(gè)濾波器后接截止頻率在x軸上的矩形噪聲濾波器的情況下估算測(cè)得的輸出噪聲Vpp。
圖 12. 設(shè)計(jì) 1 與設(shè)計(jì) 2 的綜合輸出噪聲電壓比較
舉例來(lái)說(shuō)，我們?cè)?200KHz 六階設(shè)計(jì)后接一個(gè) 500KHz 的矩形濾波器，我們可以在設(shè)計(jì) 2 上測(cè)得大約 5mVPP，在設(shè)計(jì) 1 上測(cè)得 6mVPP?？傮w來(lái)說(shuō)，這點(diǎn)差異不會(huì)給設(shè)計(jì) 1 前邊提到的優(yōu)勢(shì)在噪聲方面造成太大影響。
所以在這種情況下，將增益更多地排布到第一級(jí)可以帶來(lái)某些噪聲方面的優(yōu)勢(shì)。但這里的想法是建議把 Q 值適中、增益適中的級(jí)放在第一級(jí)，隨后是 Q 值最大、增益較低的級(jí)，最后是 Q 值最低、增益較高的級(jí)。如參考資料 1 所提供的自動(dòng)設(shè)計(jì)算法，把 Q 值從高到低排序，把增益從低到高排序，可以在放大器帶寬、壓擺率一致性、階躍響應(yīng)過(guò)沖以及削波性能方面實(shí)現(xiàn)優(yōu)異的特性，只是在某些情況下輸出噪聲有適度的增加。
結(jié)論：
如果多級(jí)低通有源濾波器的目標(biāo)之一是在每級(jí)使用相同的放大器的同時(shí)，降低對(duì)運(yùn)算放大器的設(shè)計(jì)裕量要求，那么給 Q 值較高的級(jí)分配更低的增益是非常合理的選擇。為避免最終輸出出現(xiàn)噪聲峰值，最好把 Q 值最低的級(jí)放在最后。為限制級(jí)間削波，在濾波器總增益大于 1的情況下，該低Q 值級(jí)應(yīng)具有一定的增益（盡可能大于 2）。增加第一級(jí)的增益可以略微減少輸出噪聲，而將具有低增益的最高 Q 值級(jí)放在中間可以略微改善噪聲特性。
參考資料
1.iSim Active Filter Designer http://www.intersil.com/iSim；
2.《新的成套 SKF 濾波器公式》，Martin Cano，EDN，2009 年 10 月 1 日；
3.《iSIm Active Filter Designer 設(shè)計(jì)手冊(cè)》，Michael Steffes、Jian Wang、Oscar Mansilla、 Intersil 應(yīng)用說(shuō)明 AN1548；
4.《避免高速運(yùn)算放大器脈沖響應(yīng)的性能陷阱》，第二部分，Michael Steffes、En-Genius，2008 年 3 月 29 日。