CORDIC算法(Coordinate Rotation Digital Computer)(即“坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算機(jī)"),最早是由VOLDER J E.于1959年提出[1]，當(dāng)時(shí)是為研制B-58轟炸機(jī)的導(dǎo)航系統(tǒng)而設(shè)計(jì)的。但該算法僅僅用到了移位和加減運(yùn)算，因此其硬件實(shí)現(xiàn)非常簡單。后經(jīng)眾多學(xué)者加以研究和發(fā)展，使其成為數(shù)字電路中計(jì)算各種超越函數(shù)的一種簡捷有效的算法[2]。CORDIC算法在FPGA中應(yīng)用甚廣[2-3]，在DSP上也有所應(yīng)用[4]，但鮮有在單片機(jī)上的應(yīng)用報(bào)道。
1 CORDIC算法簡介
    CORDIC算法的基本原理來自二維坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)變換。當(dāng)平面直角坐標(biāo)系繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ時(shí)，新舊坐標(biāo)間的變換關(guān)系為：

    以上介紹的CORDIC算法屬于最基本的“圓周型”CORDIC算法。對(duì)迭代步驟稍作改動(dòng)，即可將其變形為“直線型”或“雙曲型”CORDIC算法，從而可用于計(jì)算乘除法、雙曲函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)[2]。
    CORDIC算法中的移位運(yùn)算很適合于在FPGA中用硬件實(shí)現(xiàn)，不但計(jì)算速度快，而且相對(duì)于查表法明顯節(jié)省了硬件資源。而在DSP中，由于缺少專門的硬件支持，CORDIC算法相對(duì)于冪級(jí)數(shù)展開法或查表法則缺乏優(yōu)勢(shì)[2-4]。對(duì)于經(jīng)典的PIC、8051等單片機(jī)，因?yàn)槊繄?zhí)行1條移位指令只能將數(shù)據(jù)左移或右移1位，而執(zhí)行CORDIC算法時(shí)會(huì)在移位運(yùn)算上消耗大量的時(shí)間,從而影響CORDIC算法的效率。
2 羅盤載體姿態(tài)及其解算
　

式(7)、式(8)中的B_x^h與B_y^h即是地磁場在水平面內(nèi)的2個(gè)正交分量，分別沿x_h軸和y_h軸方向。式(7)所描述的正是將載體坐標(biāo)系中測(cè)得的地磁分量變換到地平坐標(biāo)系的過程。
    參考文獻(xiàn)[5]給出了3種求解羅盤載體姿態(tài)的算法，上文介紹的就是其中的第1種，而第2種算法原理與其完全相同,只是利用三角函數(shù)的性質(zhì)略微簡化了計(jì)算。應(yīng)當(dāng)指出,由于坐標(biāo)系及角度定義上的差異，式(5)、式(7)、式(8)與參考文獻(xiàn)[5]中的公式略有不同，但并不影響問題的本質(zhì)。
　CORDIC算法本身可以計(jì)算三角函數(shù)與反三角函數(shù)，因此可以直接將其用于上述算法中[6]，但這樣并沒有完全發(fā)揮CORDIC算法的優(yōu)勢(shì)。如前所述，CORDIC算法的原理來自于坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換,因此,可以直接利用CORDIC算法完成式⑺中的變換并由此獲得載體的姿態(tài)，而無需計(jì)算三角與反三角函數(shù)。參考文獻(xiàn)[5]所給出的第3種算法就是基于這一思想，其步驟為：
　(1)用矢量模式將重力加速度矢量在yOz平面內(nèi)的投影旋轉(zhuǎn)到與z軸重合，求得橫滾角。
　(2)再用矢量模式將重力加速度矢量（此時(shí)該矢量已在xOz平面內(nèi)）旋轉(zhuǎn)到與z軸重合，求得俯仰角。
　(3)用旋轉(zhuǎn)模式補(bǔ)償橫滾角，計(jì)算補(bǔ)償后的地磁場分量。
　(4)再用旋轉(zhuǎn)模式補(bǔ)償俯仰角，計(jì)算補(bǔ)償后的地磁場分量。
　(5)用矢量模式，根據(jù)地磁場水平分量計(jì)算航向角。
3 CORDIC算法在單片機(jī)上的實(shí)現(xiàn)
3.1 用CORDIC算法計(jì)算三角函數(shù)
　表1給出了在VRS51L3074單片機(jī)上用CORDIC算法計(jì)算反正切函數(shù)的結(jié)果,并與Keil C51編譯器（V8.12）所提供的浮點(diǎn)庫函數(shù)進(jìn)行了對(duì)比。VRS51L3074是美國Ramtron公司的產(chǎn)品，基于增強(qiáng)型8051內(nèi)核，在兼容傳統(tǒng)8051指令集的基礎(chǔ)上提升了指令執(zhí)行速度。同時(shí)，該單片機(jī)還擁有“增強(qiáng)型算術(shù)單元”的外圍模塊，該模塊中有32位桶形移位器。表1也列出了在CORDIC算法中使用該移位器的結(jié)果。

    此處所用CORDIC算法的輸入、輸出均采用16位數(shù)據(jù)格式，角度以度為單位，小數(shù)點(diǎn)設(shè)在兩字節(jié)之間，即角度分辨率為1/256度，迭代次數(shù)為14次(不含第1次45°的旋轉(zhuǎn)），這是由角度的分辨率決定的（第15次及其后的迭代所轉(zhuǎn)角度已小于1/256度）。為便于比較，所有計(jì)算結(jié)果均已換算為十進(jìn)制格式(單位為度，保留4位小數(shù))。表1還列出了由單片機(jī)的定時(shí)器T0所記錄的函數(shù)執(zhí)行時(shí)間，T0時(shí)鐘為系統(tǒng)時(shí)鐘(不分頻)。因此,計(jì)時(shí)結(jié)果即為函數(shù)從調(diào)用到返回所經(jīng)歷的系統(tǒng)時(shí)鐘周期數(shù)。
　從表1的結(jié)果可看出，CORDIC算法具有一定的速度優(yōu)勢(shì)，但其精度無法與浮點(diǎn)函數(shù)相比。另外，使用桶形移位器代替單片機(jī)的移位指令，可明顯提升CORDIC算法的執(zhí)行速度。這也證明了CORDIC算法在單片機(jī)上運(yùn)行時(shí)，在移位操作上消耗了大量的時(shí)間。CORDIC算法的主要優(yōu)點(diǎn)在于： (1)代碼較為簡潔；(2)可自定義輸出角度單位及格式(浮點(diǎn)庫函數(shù)所給出的角度單位總是弧度)； (3)在計(jì)算y/x的反正切時(shí)不必計(jì)算除法，并且該算法在±90°時(shí)也是收斂的。
　在單片機(jī)上運(yùn)行CORDIC算法還需注意，輸入矢量的模長既不能過大也不能過小。如模長過大，則由于CORDIC算法在將矢量旋轉(zhuǎn)的同時(shí)還會(huì)將其“拉長”(這也正是CORDIC算法需要模校正因子的原因)，將會(huì)導(dǎo)致計(jì)算過程出現(xiàn)溢出。而若模長過小，則會(huì)導(dǎo)致精度降低[7]。表2為輸入矢量的模長對(duì)CORDIC算法的影響：在4個(gè)輸入矢量的輻角均相等的情況下，第1個(gè)矢量由于模長過大導(dǎo)致CORDIC計(jì)算過程溢出，第2個(gè)矢量計(jì)算結(jié)果正常，第3和第4個(gè)矢量由于模長過小導(dǎo)致CORDIC計(jì)算精度降低。

　移位操作耗時(shí)過多以及計(jì)算精度受輸入矢量模長影響這兩個(gè)缺點(diǎn)，使得用CORDIC算法在單片機(jī)上計(jì)算三角函數(shù)的實(shí)用價(jià)值并不理想。
3.2 CORDIC算法用于姿態(tài)解算
　如上所述，CORDIC算法并不適合于在單片機(jī)上直接計(jì)算三角函數(shù)。但將其用于羅盤載體的姿態(tài)解算仍然是可行的，這是基于以下兩點(diǎn)：(1)由于傳感器特性的不一致性，其采集的原始數(shù)據(jù)均需經(jīng)過零點(diǎn)、增益等校準(zhǔn)后才可用于姿態(tài)解算，這就相當(dāng)于為CORDIC算法的輸入矢量模長做了歸一化處理；(2)如前所述,利用CORDIC算法計(jì)算俯仰角與橫滾角并對(duì)其加以補(bǔ)償時(shí)，并不需要具體計(jì)算三角與反三角函數(shù)，只需完成坐標(biāo)變換即可。
　參考文獻(xiàn)[5]不僅給出了用CORDIC算法求解航向角的思路，并且在FPGA上進(jìn)行了驗(yàn)證。將這一算法移植到單片機(jī)時(shí)，還可再稍作簡化，具體計(jì)算步驟為：
　(1)將重力加速度矢量在yOz平面內(nèi)的投影旋轉(zhuǎn)到與z軸重合，同時(shí)地磁場矢量亦作同步的旋轉(zhuǎn)，從而得到橫滾角并同時(shí)對(duì)其加以補(bǔ)償。
　(2)將重力加速度矢量(此時(shí)該矢量已在xOz平面內(nèi))旋轉(zhuǎn)到與z軸重合，同時(shí)地磁場矢量亦作同步的旋轉(zhuǎn)，從而得到俯仰角并同時(shí)對(duì)其加以補(bǔ)償。
　(3)根據(jù)地磁場水平分量計(jì)算航向角。
　以上計(jì)算過程相當(dāng)于把參考文獻(xiàn)[5]所述算法步驟的第1、第3步和第2、第4步分別合并。與CORDIC算法的矢量模式和旋轉(zhuǎn)模式在FPGA上的實(shí)現(xiàn)方式不同，在單片機(jī)上則不必拘泥于這兩種模式的區(qū)分，從而可以使程序更加緊湊。
　表3給出了在VRS51L3074上使用增強(qiáng)算術(shù)單元實(shí)現(xiàn)CORDIC求解載體姿態(tài)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并同時(shí)給出按式(5)~式(8)利用浮點(diǎn)運(yùn)算所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。磁場矢量的模長已被限制到4 096(相當(dāng)于十六進(jìn)制的0x1000)，重力加速度矢量的模長則限制為8 192(相當(dāng)于十六進(jìn)制的0x2000)。

　電子羅盤的俯仰角、橫滾角和航向角要求達(dá)到0.1°的分辨率。由表3可見，CORDIC算法的計(jì)算精度能夠滿足這一要求，并且該算法完成1次姿態(tài)解算所需的時(shí)間僅相當(dāng)于浮點(diǎn)運(yùn)算所需時(shí)間的1/8～1/9，能很好地滿足電子羅盤對(duì)姿態(tài)解算的實(shí)時(shí)性要求。
　CORDIC算法無需乘除運(yùn)算和大規(guī)模的查找表即可實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)、反三角函數(shù)以及其他超越函數(shù)的運(yùn)算。盡管CORDIC算法通常被用于FPGA，實(shí)踐結(jié)果證明,這一算法也可有效地在8051內(nèi)核單片機(jī)上運(yùn)行，并且具有優(yōu)于C語言浮點(diǎn)庫函數(shù)的運(yùn)行速度和一定的精度。
　在單片機(jī)上，制約CORDIC算法效率的主要因素是移位操作耗時(shí)過多。若單片機(jī)擁有桶形移位器，如VRS51L3074單片機(jī)的增強(qiáng)型算術(shù)單元，則可改善移位操作耗時(shí)過多的問題，從而提升該算法的效率。此外，適當(dāng)調(diào)節(jié)輸入矢量的模長也是應(yīng)用該算法時(shí)需要注意的問題。
　采用合理安排的計(jì)算步驟，CORDIC算法可以準(zhǔn)確、高效地完成電子羅盤中的傾角補(bǔ)償與航向計(jì)算，同時(shí)也為電子羅盤中的單片機(jī)節(jié)約了程序空間和時(shí)間。
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