0 引言

    數(shù)控振蕩器(Numerically Controlled Oscillator，NCO)是信號(hào)處理系統(tǒng)的重要組成部分。隨著現(xiàn)代通信系統(tǒng)的不斷發(fā)展，NCO憑借其相位可連續(xù)線(xiàn)性變化、頻率分辨率高、全數(shù)字化處理等優(yōu)越特性，在圖像處理、快速傅里葉變換、直接數(shù)字頻率合成器等設(shè)計(jì)中得到了廣泛應(yīng)用。

    傳統(tǒng)數(shù)控振蕩器的實(shí)現(xiàn)方法為只讀存儲(chǔ)器查找表法（ROM LUT），如圖1所示。這種方法在對(duì)分辨率要求不高的情況下，是一種簡(jiǎn)單的實(shí)現(xiàn)方式。但是若要進(jìn)一步提高分辨率，就會(huì)消耗大量的ROM資源；此外，存儲(chǔ)器讀取速度的瓶頸也限制了NCO的輸出速度。而CORDIC算法易于使用數(shù)字電路實(shí)現(xiàn)，僅通過(guò)簡(jiǎn)單的加減法和移位操作就可以完成多種硬件電路難以直接實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜運(yùn)算，因此在NCO的設(shè)計(jì)中也得到了很好的應(yīng)用。本文將對(duì)傳統(tǒng)CORDIC算法進(jìn)一步改進(jìn)，并結(jié)合改進(jìn)方法提出一種適合于硬件實(shí)現(xiàn)的數(shù)控振蕩器的設(shè)計(jì)方法，從而提高輸出精度和運(yùn)算速度。

1 CORDIC算法原理

    坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算(Coordinate Rotation Digital Computer，CORDIC)首次由Jack Volder于1959年提出，1971年Walther統(tǒng)一了CORDIC算法的形式。CORDIC的基本思想是通過(guò)一系列只與運(yùn)算基數(shù)有關(guān)的固定小角度的不斷偏擺從而逼近期望角度，此算法具有線(xiàn)性收斂域和序列特性^[3]。

    CORDIC算法的基本原理是運(yùn)用了Givens旋轉(zhuǎn)法則。假設(shè)給定向量A(x₀，y₀)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)過(guò)一定角度θ后得到新向量B(x₁，y₁)，如圖2所示。

    根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換法則，可得式(1)：

    當(dāng)N→∞時(shí)，K_N收斂于一個(gè)常數(shù)，即K_N≈0.607 252 935。當(dāng)?shù)螖?shù)N得到確定，K_N的值也就確定了，可以把它看作一個(gè)常數(shù)，所以只要提前計(jì)算出定標(biāo)因子K_N，就能正確地使用式(6)進(jìn)行CORDIC求值運(yùn)算?？梢?jiàn)對(duì)于每一次小角度θ_i的旋轉(zhuǎn)運(yùn)算，實(shí)際上只與δ_i2^-i運(yùn)算有關(guān)，這在硬件上的反映就是加/減法和移位操作。

    最后，通過(guò)引入?yún)?shù)z表示當(dāng)前角度和期望角度的偏差值，來(lái)確定下一次旋轉(zhuǎn)的方向，即判斷δ的符號(hào)。令z_i+1=z_i-θ_i(z₀=θ，i=0，1，…，N-1)，當(dāng)z≥0時(shí)，δ=+1；當(dāng)z≤0時(shí)，δ=-1。若經(jīng)過(guò)多次旋轉(zhuǎn)后，就可以得到與期望角度充分接近的旋轉(zhuǎn)向量。如果選取初始值(x₀，y₀)=(K_N，0)，在進(jìn)行N次迭代運(yùn)算后，結(jié)果將收斂于(sinθ，cosθ)。

2 CORDIC算法改進(jìn)

2.1 算法迭代結(jié)構(gòu)

    由CORDIC算法的原理可以看出，此算法每一次的運(yùn)算結(jié)構(gòu)相似，具有可迭代的特性。對(duì)于傳統(tǒng)的反饋結(jié)構(gòu)，每次運(yùn)算都利用同一組硬件反復(fù)進(jìn)行迭代，此結(jié)構(gòu)占用硬件資源少，能夠在一定程度上縮小電路面積。但是由于需要不斷向輸入端反饋輸出數(shù)據(jù)，而且還需要一個(gè)狀態(tài)機(jī)來(lái)跟蹤全部迭代過(guò)程，會(huì)導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)行速度降低，吞吐量減小。如果需要實(shí)現(xiàn)高速高精度的輸出，就必須采用高速全流水線(xiàn)結(jié)構(gòu)，如圖3所示。流水線(xiàn)結(jié)構(gòu)的每一級(jí)迭代都使用單獨(dú)的運(yùn)算單元，與反饋結(jié)構(gòu)相比，雖然消耗了較多的硬件資源，但換來(lái)的是運(yùn)算速度提高，吞吐量增大，特別適合在硬件上實(shí)現(xiàn)^[4]。

    此外，有限次數(shù)的迭代運(yùn)算通常無(wú)法完全消除累加角度與期望角度間的誤差，因此我們引入殘余角誤差ε，并將式(4)改寫(xiě)為：

    由式(8)可以看出，隨著迭代次數(shù)或者流水級(jí)數(shù)的不斷增加，近似誤差ε的趨勢(shì)是減小的，角度累加所得到的值會(huì)逐漸逼近期望角度，CORDIC算法的精度也會(huì)不斷提高。但是考慮到實(shí)際設(shè)計(jì)中不能無(wú)限制增加流水線(xiàn)級(jí)數(shù)，一方面流水線(xiàn)級(jí)數(shù)過(guò)多會(huì)降低系統(tǒng)整體運(yùn)算速度，另一方面流水增加至一定級(jí)數(shù)后，對(duì)精度的提高微乎其微，但是卻消耗了大量的硬件資源，因此必須選擇適合的流水線(xiàn)級(jí)數(shù)，來(lái)控制硬件成本和計(jì)算復(fù)雜度。根據(jù)Yu Hen Hu提出ε的上界^[8]：

其中A_N-1為最后一次的旋轉(zhuǎn)角度，N為旋轉(zhuǎn)次數(shù)。為了達(dá)到所需要的精度，我們選擇N=16，即通過(guò)16級(jí)并行流水線(xiàn)結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)CORDIC算法。

2.2 覆蓋角度擴(kuò)展

    CORDIC算法每一級(jí)的角度旋轉(zhuǎn)由式(3)得到了確定，表1中列舉了其中的部分角度。

    式(3)是關(guān)于i的遞減函數(shù)，將這些角度累加，當(dāng)i→∞時(shí)：

    可見(jiàn)CORDIC算法能夠計(jì)算角度的收斂域?yàn)閇-99.88°，99.88°]，而我們需要輸出整個(gè)圓周范圍內(nèi)角度的正余弦值，顯然常規(guī)的方法無(wú)法滿(mǎn)足。

    利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，通過(guò)象限轉(zhuǎn)移的方法就能夠?qū)⒂?jì)算角度擴(kuò)展至[-π，π]。文獻(xiàn)[5]將[-π，π]映射至[0，π/4]，但是在最后對(duì)輸出的一組數(shù)據(jù)是否交換或改變符號(hào)需要進(jìn)行判斷，而文獻(xiàn)[7]中將[-π，π]映射至[0，π/8]，但需要對(duì)產(chǎn)生的常數(shù)因子進(jìn)行補(bǔ)償。本文將整個(gè)圓周[-π，π]劃分為8個(gè)象限(如圖4所示)，并將所有角度映射至[-π/4，π/4]，即1號(hào)和8號(hào)象限，并同時(shí)對(duì)初始值X₀和Y₀進(jìn)行處理。這樣既不會(huì)產(chǎn)生額外的常數(shù)因子，也不需要在最后對(duì)輸出結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)交換或符號(hào)改變。

    利用三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，根據(jù)θ所在象限，對(duì)初始值分別做如表2的處理。

    這樣的數(shù)據(jù)預(yù)處理過(guò)程雖然會(huì)消耗一定的硬件資源，但特別適合流水線(xiàn)結(jié)構(gòu)的CORDIC算法，對(duì)提高整個(gè)系統(tǒng)的速度有很大幫助。

2.3 計(jì)算數(shù)據(jù)位擴(kuò)展

    在實(shí)際電路的實(shí)現(xiàn)中，由于CORDIC算法每一級(jí)迭代使用的都是有限精度的代數(shù)計(jì)算，就導(dǎo)致了另外一種誤差，這種因數(shù)據(jù)位寬有限而產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為舍入誤差。所以除了增加迭代次數(shù)以外，還可以通過(guò)擴(kuò)展CORDIC算法數(shù)據(jù)的位寬來(lái)提高精度。舍入誤差σ的大小與運(yùn)算數(shù)據(jù)的位寬b有關(guān)，根據(jù)σ=2^-b-1這一關(guān)系式可知，操作數(shù)的位寬每擴(kuò)展一位，就能夠?qū)⑸崛胝`差縮小為原來(lái)的一半。當(dāng)增加流水的級(jí)數(shù)無(wú)法大幅提高算法精度時(shí)，擴(kuò)展CORDIC計(jì)算數(shù)據(jù)位寬是另一種很好的方法，如圖5所示。

    在本設(shè)計(jì)中，由于NCO后端接入了混頻模塊，輸出數(shù)據(jù)必須為16位與之匹配，但是在CORDIC內(nèi)部迭代計(jì)算時(shí)，我們把數(shù)據(jù)擴(kuò)展至20位，最后對(duì)輸出結(jié)果截位處理，然后再送入下一級(jí)。通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)位寬擴(kuò)展4位的方法，可以有效地提高運(yùn)算精度。

3 基于CORDIC改進(jìn)算法的NCO系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

    NCO主要用于產(chǎn)生正、余弦信號(hào)，本設(shè)計(jì)基于CORDIC改進(jìn)算法，由前端處理、CORDIC迭代以及輸出處理這3個(gè)部分組成，其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖6。當(dāng)輸入不同的頻率控制字時(shí)，NCO輸出波形的頻率也隨之改變。

    在前端處理中，我們采用了24位相位累加器以保證頻率分辨率達(dá)到要求，并通過(guò)判斷相位值的高3位θ[23：21]，將目標(biāo)角度映射至[-π/4,π/4]區(qū)間，具體映射方法見(jiàn)表2；而修正因子可以根據(jù)式(7)求出，由于算法的流水級(jí)數(shù)事先已經(jīng)確定，所以只要將N=16代入就可以準(zhǔn)確的得到K_N，再通過(guò)數(shù)據(jù)預(yù)處理確定X₀和Y₀的初始值，從而在迭代之前就完成對(duì)輸出結(jié)果的補(bǔ)償，進(jìn)一步提高整個(gè)系統(tǒng)的速度。

    第二部分為16級(jí)CORDIC流水線(xiàn)，它是整個(gè)系統(tǒng)的核心，流水線(xiàn)結(jié)構(gòu)中的每一行相當(dāng)于CORDIC算法中的一級(jí)迭代，其硬件結(jié)構(gòu)如圖7所示。每一級(jí)電路包括三個(gè)加/減法器和兩個(gè)移位器，其中A_i表示各級(jí)基本旋轉(zhuǎn)角度值，Sign為各級(jí)運(yùn)算的加/減控制信號(hào)，它的符號(hào)由Z_i的最高位確定。

    最后一部分對(duì)數(shù)據(jù)舍入截位，并輸出正、余弦兩路信號(hào)。本設(shè)計(jì)適用于多種旋轉(zhuǎn)精度的需求，靈活性好，資源利用率高，全并行流水的結(jié)構(gòu)具有速度快、吞吐量大的特點(diǎn)。

4 系統(tǒng)仿真及性能分析

    本設(shè)計(jì)根據(jù)圖5，在Xilinx ISE 14.7環(huán)境下搭建軟件平臺(tái)，采用Verilog HDL硬件描述語(yǔ)言完成編譯綜合，使用Modelsim SE 10.1c進(jìn)行功能仿真驗(yàn)證，最后通過(guò)MATLAB R2012b對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析。

    在Xilinx ISE中完成代碼編寫(xiě)后，調(diào)用Modelsim進(jìn)行軟件仿真，當(dāng)輸入不同頻率控制字，得到NCO產(chǎn)生的正余弦信號(hào)結(jié)果如圖8所示。從圖中可以看出，生成的 I、Q兩路波形信號(hào)具有完全正交性，并且經(jīng)過(guò)角度映射后實(shí)現(xiàn)了整個(gè)圓周區(qū)間的覆蓋，完全可以替代基于查找表的傳統(tǒng)NCO設(shè)計(jì)方式。

    本文選用Xilinx Virtex-4芯片，經(jīng)過(guò)Xilinx ISE對(duì)代碼編譯綜合后，得到設(shè)計(jì)所消耗的硬件資源及最高工作頻率等信息。在16位小數(shù)精度、16級(jí)流水迭代的情況下，傳統(tǒng)CORDIC算法設(shè)計(jì)而成的NCO使用了1 021個(gè)邏輯單元，而基于CORDIC改進(jìn)算法的NCO模塊使用了904個(gè)邏輯單元，節(jié)省了約11.46%的硬件資源。從表3可以看出，采用經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的CORDIC算法，系統(tǒng)最高頻率可達(dá)287.64 MHz，比基于查表法及常規(guī)CORDIC算法NCO的性能分別提高了354.6%和144.3%。

    最后將Modelsim仿真得出的數(shù)據(jù)在[-π，π]之間平均采樣5 000個(gè)點(diǎn)并導(dǎo)入MATLAB，經(jīng)過(guò)處理后得到圖9。再?gòu)腫-π/4，π/4]中選取若干角度進(jìn)行誤差對(duì)比分析，如表4所示。

    I、Q通路正余弦值的誤差主要由迭代次數(shù)以及位寬的限制引起，通過(guò)對(duì)表4的數(shù)據(jù)分析可知，傳統(tǒng)算法在使用24位小數(shù)位的情況下進(jìn)行運(yùn)算，誤差達(dá)到10^-4；而基于本文的CORDIC改進(jìn)算法僅使用16位數(shù)據(jù)位寬就能夠?qū)⒕忍嵘?0^-5~10^-6的數(shù)量級(jí)，所以本設(shè)計(jì)在提高精度的同時(shí)還減少了硬件資源的消耗，在精度和面積上均具有一定的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)束語(yǔ)

    本文在傳統(tǒng)CORDIC算法基礎(chǔ)上，提出改進(jìn)方案并應(yīng)用于數(shù)字控制振蕩器的設(shè)計(jì)，通過(guò)仿真驗(yàn)證及性能分析證明其可行性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本設(shè)計(jì)進(jìn)一步提升了系統(tǒng)的速度和精度，并在一定程度上減少了硬件資源消耗。目前，該NCO模塊已經(jīng)成功的應(yīng)用于某DDC芯片的產(chǎn)品中，并且表現(xiàn)出良好的性能及穩(wěn)定性。

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作者信息:

王申卓，胡春林，胡廣垠，徐大誠(chéng)

（蘇州大學(xué) 電子信息學(xué)院，江蘇 蘇州215000）