桑坤，朱向冰，金慧敏

　　(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

       摘要：自整角機(jī)是一種用于角度測(cè)量的微型電機(jī)，其輸出包含角度的模擬信號(hào)經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單處理和A/D變換后再通過(guò)CORDI算法解碼。CODIC算法具有精度靈活可調(diào)、運(yùn)算速度快、硬件實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)；通過(guò)對(duì)CORDC算法角度及對(duì)自整角機(jī)輸出信號(hào)的象限修正，設(shè)計(jì)了一種基于CORDIC算法流水線技術(shù)的自整角機(jī)解碼算法，并以FPGA為平臺(tái)進(jìn)行模擬和仿真，驗(yàn)證其準(zhǔn)確性及可行性。

　　關(guān)鍵詞：CORDIC算法；自整角機(jī)；解碼；FPGA

0引言

　　自整角機(jī)是一種高精度的角度位置傳感器［1］，廣泛應(yīng)用于航海、航天、方位同步指示系統(tǒng)火炮等伺服系統(tǒng)中。自整角機(jī)輸出信號(hào)主要以模擬信號(hào)進(jìn)行傳送，減少角度信號(hào)在較長(zhǎng)距離傳輸時(shí)其他信號(hào)干擾，同時(shí)方便人們控制目標(biāo)元件。傳統(tǒng)的軸角測(cè)量通常采用峰值采樣、相干解調(diào)或?qū)Ｓ玫妮S角數(shù)字轉(zhuǎn)換芯片實(shí)現(xiàn)［2］，但是這幾種算法也存在精度不高、運(yùn)算速度較慢及價(jià)格昂貴等缺點(diǎn)。本文使用的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)數(shù)字計(jì)算（Coordinate Rotation Digital Computer，CORDIC）算法采用迭代的思想，不進(jìn)行乘法運(yùn)算，提高了運(yùn)算速度。由于該算法是一種數(shù)字數(shù)字的算法，有線性的收斂域和序列及迭代次數(shù)可有效提高精度［3］。

　　本文利用CORDIC算法［4］計(jì)算反正切函數(shù)并結(jié)合自整角機(jī)輸入輸出信號(hào)的特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)一種運(yùn)算速度高、可靠性好、精度高、硬件設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單的角度解碼，并用FPGA豐富硬件資源簡(jiǎn)化程序，提高電路的運(yùn)算速度和可靠性。

1自整角機(jī)基本原理

　　自整角機(jī)是利用自整步特性將轉(zhuǎn)角變?yōu)榻涣麟妷夯蛴山涣麟妷鹤優(yōu)檗D(zhuǎn)角的感應(yīng)式微型電機(jī)，當(dāng)激勵(lì)繞組以一定的頻率交流電壓勵(lì)磁時(shí)，輸出繞組的電壓幅值與轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)角成正余弦函數(shù)關(guān)系［5］。在結(jié)構(gòu)上，自整角機(jī)主要由轉(zhuǎn)子和定子組成，轉(zhuǎn)子軸上的單相繞組通過(guò)電刷和滑環(huán)與外界連接，引出端用Z1和Z2表示；定子的三相對(duì)稱繞組以Y型連接，空間位置上依次落后120°，如圖1所示。

　　設(shè)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)θ，自整角機(jī)三路輸出模擬信號(hào)，但是需要電壓激勵(lì)。激勵(lì)電壓為：

　　S1、S2、S3三路定子的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)分別為：

　　上式中sinωt為交流信號(hào)，θ是自整角機(jī)偏轉(zhuǎn)的角度。

2CORDIC算法原理

　　CORDIC算法基本思想是迭代，通過(guò)多個(gè)固定的及與運(yùn)算有關(guān)的角度逐次遞減，從而逐漸逼近需要的角度。

　　CORDIC算法的基本公式在一些文獻(xiàn)中有詳細(xì)推導(dǎo)，這里僅作簡(jiǎn)要的說(shuō)明。

　　如圖2所示，假設(shè)向量(xi,yi)按照一定角度旋轉(zhuǎn)到(xj,yj)則有：

　　起始位置到終點(diǎn)位置可以通過(guò)多步迭代旋轉(zhuǎn)過(guò)程實(shí)現(xiàn)，每一步旋轉(zhuǎn)一定的相位，則：

　　提取cosθn，則有：

　　定義每一步的旋轉(zhuǎn)角度為θn=arctan(12n)，總的旋轉(zhuǎn)相位為θ=∑Snθn，其中Sn=±1，則:

　　其中K為增益因子，其值的變化取決于迭代次數(shù)，當(dāng)?shù)螖?shù)N很大時(shí)：

　　CORDIC算法有旋轉(zhuǎn)模式（rotation）和矢量模式（vectoring）兩種旋轉(zhuǎn)模式［6］，該解碼算法采用矢量模式。迭代方程如下：

　　其中zj是角度累加器，di=－sgn(yi)=1,y<0（順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）

　?。?,y>0（逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)）。

　　假設(shè)初始條件為x0=x,y0=y,z0=0,經(jīng)過(guò)n次迭代后,矢量模式的表達(dá)式為：

3自整角機(jī)解碼算法設(shè)計(jì)

　　3.1自整角機(jī)輸出信號(hào)的象限修正

　　利用CORDIC算法計(jì)算反正切值［7］，由于arctan2－i(0≤i≤n)所能計(jì)算的值區(qū)域?yàn)椋?，π2，要計(jì)算全角度時(shí)必須對(duì)角度進(jìn)行預(yù)處理。將公式（2）-（4）整理得：

　　對(duì)自整角機(jī)三路輸出的模擬信號(hào)進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，得到只含角度θ的正余弦值和正切值；然后對(duì)得到的正余弦函數(shù)進(jìn)行修正，得到角度θ所在的范圍。

　　將得到的正弦和余弦函數(shù)進(jìn)行區(qū)間范圍的判斷，sinθ和cosθ所在的區(qū)間范圍如下：當(dāng)|cosθ|－|sinθ|≥0,θ在

定義一個(gè)中間變量α，則有：

　　sinθ、cosθ在不同區(qū)域的值如表1所示。

上述輸出角度θ的劃分修正，將角量全部轉(zhuǎn)換到0，π4，可有效避免討論sinθ或cosθ等于0的情況，在計(jì)算過(guò)程中，也避免了反正切函數(shù)在±π2和±π附近角度不收斂無(wú)法計(jì)算的情況，因此不占用和浪費(fèi)大量資源，提高了運(yùn)算速度。

　　3.2CORDIC求全角量反正切

　　對(duì)于自整角機(jī)輸出信號(hào)，在旋轉(zhuǎn)的角度一定時(shí)，可將輸出的信號(hào)理解為勵(lì)磁信號(hào)Eref=ERLO－RHIsinωt對(duì)sinθ和cosθ進(jìn)行的幅度調(diào)制［6］，而勵(lì)磁信號(hào)的變化只是幅值發(fā)生變化，對(duì)自整角機(jī)輸出信號(hào)的正確解碼不產(chǎn)生影響，只要能正確地解碼出角度值，則幅值的變化可以忽略不計(jì)，本文選擇CORDIC算法的矢量模式，令Uxin=cosθ,Uyin=sinθ,z0=0，經(jīng)過(guò)n次迭代后得到式（11)。

　　3.3CORDIC算法的角度輸出

　　自整角機(jī)解碼算法采用20位二進(jìn)制數(shù)表示輸出信號(hào)，輸入信號(hào)為16位二進(jìn)制數(shù)。1°=216360≈18210=101101102；arctan(2－n)可表示為2202π·arctan(2－n)，當(dāng)?shù)螖?shù)n不少于16時(shí)，就能夠達(dá)到一定的精度。

4CORDIC自整角機(jī)解碼算法的實(shí)現(xiàn)及仿真

　　4.1CORDIC自整角機(jī)解碼算法的實(shí)現(xiàn)

　　基于CORDIC算法實(shí)現(xiàn)的設(shè)計(jì)有迭代結(jié)構(gòu)和流水線結(jié)構(gòu)［7］，流水線結(jié)構(gòu)運(yùn)算速度比迭代結(jié)構(gòu)快，采用流水線結(jié)構(gòu)可有效提高算法速度。在流水線結(jié)構(gòu)中，旋轉(zhuǎn)角度集的各個(gè)值均是直接聯(lián)到累加器的［6］ 。流水線結(jié)構(gòu)如圖3所示。

　　4.2FPGA實(shí)驗(yàn)仿真

　　采用VHDL語(yǔ)言描述并在FPGA上實(shí)現(xiàn)流水線結(jié)構(gòu)的CORDIC解碼算法，利用QuartuesII進(jìn)行仿真，驗(yàn)證其可行性與正確性。

　　設(shè)定系統(tǒng)時(shí)鐘為98 MHz,輸入一位時(shí)鐘信號(hào)clk,1位使能信號(hào)ena，16位輸入信號(hào)Xin、Yin，及20位角度解碼信號(hào)輸出Aout，仿真選取50°和260°進(jìn)行模擬，驗(yàn)證該解碼算法的正確性。

　　當(dāng)自整角機(jī)的角度為50°時(shí)，QuartuesII仿真圖及仿真數(shù)據(jù)如圖4和表2所示。

　　當(dāng)自整角機(jī)的角度為260°時(shí)，仿真圖及仿真數(shù)據(jù)如圖5和表3所示。

　　由上述數(shù)據(jù)可知，在角度一定、Eref變化的情況下，該算法可以正確地解碼θ，并且達(dá)到一定的精度；仿真中的冒險(xiǎn)競(jìng)爭(zhēng)不是發(fā)生在時(shí)鐘上升沿，不影響角度的正確解碼。從仿真圖上可以看出有一定的延時(shí)，這是由迭代運(yùn)算造成的效果，可以通過(guò)改變時(shí)鐘頻率進(jìn)行改善。

5結(jié)論

　　本文采用CORDIC算法在FPGA上實(shí)現(xiàn)自整角機(jī)輸出角度的解碼，并對(duì)自整角機(jī)的輸出信號(hào)進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算和角度的象限修正預(yù)處理，在可計(jì)算的范圍內(nèi)，通過(guò)QuartuesII驗(yàn)證其可行性與正確性，提升了運(yùn)行速度和精度，從而驗(yàn)證了該設(shè)計(jì)的正確可行。

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