??? 摘 要: 提出一種新的方法用于高精度數(shù)據(jù)采集" title="數(shù)據(jù)采集">數(shù)據(jù)采集片上系統(tǒng)" title="片上系統(tǒng)">片上系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能測(cè)試" title="性能測(cè)試">性能測(cè)試。該方法利用高維空間幾何矢量投影的思想，將正弦響應(yīng)信號(hào)向由其各次諧波組成的正交基投影來擬合測(cè)試數(shù)據(jù)，以殘差的負(fù)熵作為擬合結(jié)束的判據(jù)，使殘差最大限度接近白噪聲" title="白噪聲">白噪聲，避免了傳統(tǒng)以殘差最小為判據(jù)的過擬合問題。實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性。
??? 關(guān)鍵詞： 高維空間投影? 負(fù)熵? 白噪聲? 動(dòng)態(tài)性能

?

??? 集成電路進(jìn)入SoC時(shí)代，整個(gè)電子整機(jī)的功能被集成在一塊芯片上。TI公司推出的高精度數(shù)據(jù)采集片上系統(tǒng)MSC1200系列芯片就將數(shù)模轉(zhuǎn)換器、可編程增益放大器、高精度片上電壓參考或外部差分電壓參考、片上溫度傳感器、片上校準(zhǔn)、高精度多通道模擬開關(guān)等模擬電路和增強(qiáng)型8051處理器內(nèi)核、閃存、SRAM、I/O端口、累加器、UART、計(jì)數(shù)器/定時(shí)器等數(shù)字電路集成在一個(gè)芯片上。在設(shè)計(jì)分析這種片上系統(tǒng)時(shí)，需要測(cè)試芯片的模擬性能。此時(shí)要將數(shù)模轉(zhuǎn)換器(ADC)、放大器(Amplifier)、電壓參考源、模擬開關(guān)等的性能作為整體系統(tǒng)性能(包括靜態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能)進(jìn)行測(cè)試。靜態(tài)性能測(cè)試較為簡(jiǎn)單，測(cè)試方法亦很成熟，但動(dòng)態(tài)性能受很多因素影響，因此測(cè)試變得十分復(fù)雜。隨著模擬電路性能,ADC、DAC精度的提高，對(duì)測(cè)試的要求也越來越高,全面表征這些數(shù)據(jù)采集片上系統(tǒng)的參數(shù)多達(dá)數(shù)十項(xiàng)。例如信噪比(SNR)、信噪諧波比(SINAD)、有效位數(shù)(ENOB)、總諧波失真(THD)、無雜散動(dòng)態(tài)范圍(SFDR)、非線性等^[1]。
??? 傳統(tǒng)集成電路性能測(cè)試大多采用正弦激勵(lì)法。快速傅立葉變換(FFT)法是模擬集成電路性能測(cè)試中最常用的方法，其優(yōu)點(diǎn)是直觀、簡(jiǎn)便，但測(cè)試精度低^[2]。正弦擬合法常用在對(duì)ADC諧波失真的分析測(cè)量中，對(duì)高精度數(shù)據(jù)采集片上系統(tǒng)的性能測(cè)試不能試用,并且可能產(chǎn)生過擬合問題。本文利用高維空間幾何矢量投影方法研究測(cè)試數(shù)據(jù)的函數(shù)擬合問題，為高精度數(shù)據(jù)采集片上系統(tǒng)的性能測(cè)試提供新的方法。
1 基本思想
??? 高精度數(shù)據(jù)采集片上系統(tǒng)在正弦測(cè)試信號(hào)激勵(lì)下，經(jīng)過片上放大器、模擬開關(guān)、電壓參考源、模數(shù)轉(zhuǎn)換器組成的系統(tǒng)后，在輸出端得到離散的數(shù)字信號(hào)序列(y₁,y₂,…,y_N)。本文研究的測(cè)試限定在：(1)測(cè)試激勵(lì)信號(hào)為純正的正弦信號(hào)；(2)正弦測(cè)試信號(hào)頻率f₀和采樣頻率f_S滿足f₀=f_S·M/N，其中N為序列采樣點(diǎn)的數(shù)量，M為正整數(shù)。
??? 設(shè)正弦測(cè)試信號(hào)的頻率為f₀，在輸出端采用f_S的抽樣頻率進(jìn)行采樣，得到采樣序列Y=[y₁,y₂,…,y_N]^T，在實(shí)際系統(tǒng)中，Y不可能是理想的正弦信號(hào)，而是包含了一定的諧波分量、零漂及溫漂和白噪聲。記為：

???

式中，第一項(xiàng)為理想的正弦響應(yīng)的基頻項(xiàng)；第二項(xiàng)為諧波項(xiàng)。一般來說,N個(gè)采樣點(diǎn)最多包含N/2次諧波項(xiàng)，因?yàn)镹個(gè)采樣點(diǎn)組成一個(gè)N維空間矢量，而各次諧波的正余弦分量可以看作是N維空間的正交基，每次諧波包含兩個(gè)正交基，因此N個(gè)采樣點(diǎn)最多包含N/2次諧波項(xiàng)；第三項(xiàng)為非線性失真，它主要是由零點(diǎn)漂移和溫漂引起的，可以用自變量為時(shí)間的一次多項(xiàng)式來擬合;第四項(xiàng)n(t)為加性高斯白噪聲" title="高斯白噪聲">高斯白噪聲，包括量化噪聲、采樣時(shí)鐘抖動(dòng)引入的噪聲、系統(tǒng)的熱噪聲等，它是獨(dú)立于前幾項(xiàng)隨機(jī)產(chǎn)生的。
??? 為了表征片上系統(tǒng)的性能，本文采用高維空間幾何矢量投影的方法擬合出采樣序列的各個(gè)組成部分，使擬合誤差盡可能地接近白噪聲。各組成部分的計(jì)算方法如下。
1.1 均值和時(shí)間的一次項(xiàng)
??? 首先要去除觀測(cè)信號(hào)中由零點(diǎn)漂移和溫漂引起的均值和自變量為時(shí)間的一次項(xiàng)，也就是式(1)中的第三項(xiàng)。因?yàn)椴蓸狱c(diǎn)數(shù)為基頻周期的整數(shù)倍，所以可以通過計(jì)算均值得到B₀的初始值，通過計(jì)算過零點(diǎn)的斜率計(jì)算出一次項(xiàng)系數(shù)的初始估計(jì)值B₁，然后反復(fù)微調(diào)該值，使殘差中的均值和一次項(xiàng)系數(shù)均接近于零，即可確定精確的均值和一次項(xiàng)系數(shù)。
1.2 基頻和諧波分量
??? 記Y′為Y中去除溫漂和零點(diǎn)漂移后的部分，它包含了基頻f₀成分、諧波成分以及高斯白噪聲。由經(jīng)驗(yàn)可知，Y′中包含的基頻成分是最主要的成分，并且諧波分量的幅度是遞減的。頻率f₀的前N/2次諧波的正余弦分量可以看作是N維空間的正交基。由高維空間理論可知，任何N維的數(shù)據(jù)都可以由這N個(gè)正交基完全表示。在擬合過程中一般只取前m次諧波。關(guān)于確定m取值的方法，傳統(tǒng)方法是以殘差最小作為目標(biāo)函數(shù)，但是這一方法忽略了殘差為白噪聲這一性質(zhì)，將會(huì)產(chǎn)生過擬合問題。因?yàn)榘自肼曇脖槐硎境芍C波分量，同時(shí)也不符合實(shí)際物理意義。
??? 為了避免這個(gè)問題，本文采用殘差為白噪聲這一判據(jù)來確定諧波次數(shù)m的選取。首先將Y′在單位基向量sin(2πf₀t)和cos(2πf₀t)上投影，求出基頻的幅度和相位，然后從m=2逐次遞加地向其第m次諧波分量上投影。每增加一次諧波分量，計(jì)算Y′投影后的殘差r₁的負(fù)熵，直到r₁的負(fù)熵小于某個(gè)閾值時(shí)停止，即擬合出式(1)中的前兩項(xiàng)，記為Y_S。投影后Y的殘差記為Y=Y-Y_S，即為白噪聲項(xiàng)。
1.3 白噪聲的衡量
??? 本文提出的算法的目標(biāo)是使擬合的殘差最大限度地接近于高斯白噪聲，這樣也更符合真實(shí)的高精度數(shù)據(jù)采集片上系統(tǒng)的噪聲情況。前面提出判斷殘差Y為高斯白噪聲，可以采用負(fù)熵(negentropy)作為判斷的指標(biāo)^[3]。隨機(jī)變量的負(fù)熵定義為：

???

式中，y_gauss是和y具有相同方差的高斯隨機(jī)變量。最大化J(y)即是最大化非高斯性。因?yàn)閥的概率密度分布函數(shù)未知，嚴(yán)格計(jì)算它的熵比較困難。參考文獻(xiàn)[4]中指出可以采用近似逼近的方法來計(jì)算：

???

式中，G¹、G²為任意的非二次函數(shù)，G¹為奇函數(shù)，G²為偶函數(shù)；k₁、k₂為正常數(shù)；v為零均值單位方差的高斯變量。
2 仿真及實(shí)驗(yàn)結(jié)果
??? 為了驗(yàn)證該高維空間幾何矢量投影方法的準(zhǔn)確性，對(duì)高精度數(shù)據(jù)采集片上系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行如下仿真。假定：被測(cè)ADC的分辨率為14位,采樣頻率f_S=1MHz，輸入正弦信號(hào)頻率為10kHz。測(cè)試正弦信號(hào)的輸出Y包(含五次諧波，其幅度分別為0dB、-70dB、-84dB、-90dB、-100dB)，其總諧波失真THD（Total Harmonic Distortion）為-69.7848dB，并且用一次多項(xiàng)式來模擬正弦信號(hào)的零漂和溫漂;白噪聲項(xiàng)采用高斯分布的白噪聲,該項(xiàng)的信噪比(SNR)為-50.9134dB;輸出Y總的信噪諧波比SINAD(信號(hào)與噪聲+失真之比)為-34.6937dB。
??? 采用本文提出的高維空間投影的方法擬合Y中的各項(xiàng)，得到的結(jié)果如圖1所示。從圖1可以看出，本方法能夠有效地對(duì)ADC的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行模擬，模擬結(jié)果中的噪聲項(xiàng)最大限度地接近高斯白噪聲。

?

??? 本文還驗(yàn)證了對(duì)不同頻率、不同諧波失真的測(cè)試信號(hào)的模擬結(jié)果，計(jì)算并比較模擬前后諧波失真(THD)，白噪聲的信噪比(SNR)以及Y的總的信噪諧波比(SINAD)的變化，結(jié)果數(shù)據(jù)如表1所示。

?

??? 從表中的數(shù)據(jù)可以看出,該高維空間投影的方法能夠以較小的誤差模擬ADC動(dòng)態(tài)特性的各個(gè)參數(shù)，同時(shí)使余差的負(fù)熵接近于零（達(dá)到10^－4），最大限度地接近于高斯白噪聲，避免了過擬合。
??? 本文采用高維空間幾何矢量投影的方法，研究了高精度數(shù)據(jù)采集片上系統(tǒng)在測(cè)試正弦信號(hào)激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)性能，將正弦響應(yīng)信號(hào)向基頻及諧波組成的正交基投影。為了避免傳統(tǒng)以殘差最小為指標(biāo)的投影擬合方法會(huì)產(chǎn)生過擬合的缺點(diǎn)，本文以殘差的白噪聲性（負(fù)熵）作為擬合的判據(jù)，使最終擬合結(jié)果的殘差最大限度接近于白噪聲。經(jīng)實(shí)驗(yàn)證明，該方法能夠有效地對(duì)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的失真的各參數(shù)進(jìn)行評(píng)估，并且具有計(jì)算簡(jiǎn)便的優(yōu)點(diǎn)，具有一定的實(shí)用價(jià)值。
參考文獻(xiàn)
[1] ?邱兆坤，王偉，馬云,等. 一種新的高分辨率ADC有效位數(shù)測(cè)試方法[J].國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，26(4):1-5.
[2] ?高曉明，李春明，孫圣和. 動(dòng)態(tài)非線性失真測(cè)量的譜平均方法[J].計(jì)算機(jī)自動(dòng)測(cè)量與控制，1993，(2):11-14.
[3] ?HYV?魧RINEN A. Fast and robust ?fixed-point algorithms for independent component analysis[J]. IEEE Trans on Neural Network, 1999, 10(3):626-634.
[4] ?HYVARINEN A, KARHUNEN J, OJA E. Independent component analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc, 2001.