在做分類時(shí)常常需要估算不同樣本之間的相似性度量(Similarity Measurement)，這時(shí)通常采用的方法就是計(jì)算樣本間的“距離”(Distance)。采用什么樣的方法計(jì)算距離是很講究，甚至關(guān)系到分類的正確與否。

　　本文的目的就是對(duì)常用的相似性度量作一個(gè)總結(jié)。

　　1. 歐氏距離(Euclidean Distance)

　　歐氏距離是最易于理解的一種距離計(jì)算方法，源自歐氏空間中兩點(diǎn)間的距離公式。

　　(1)二維平面上兩點(diǎn)a(x1,y1)與b(x2,y2)間的歐氏距離：

　　(2)三維空間兩點(diǎn)a(x1,y1,z1)與b(x2,y2,z2)間的歐氏距離：

　　(3)兩個(gè)n維向量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的歐氏距離：

　　也可以用表示成向量運(yùn)算的形式：

　　(4)Matlab計(jì)算歐氏距離

　　Matlab計(jì)算距離主要使用pdist函數(shù)。若X是一個(gè)M×N的矩陣，則pdist(X)將X矩陣M行的每一行作為一個(gè)N維向量，然后計(jì)算這M個(gè)向量?jī)蓛砷g的距離。

　　例子：計(jì)算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)兩兩間的歐式距離

　　X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

　　D = pdist(X,'euclidean')

　　結(jié)果：

　　D =

　　1.0000    2.0000    2.2361

　　2. 曼哈頓距離(Manhattan Distance)

　　從名字就可以猜出這種距離的計(jì)算方法了。想象你在曼哈頓要從一個(gè)十字路口開車到另外一個(gè)十字路口，駕駛距離是兩點(diǎn)間的直線距離嗎？顯然不是，除非你能穿越大樓。實(shí)際駕駛距離就是這個(gè)“曼哈頓距離”。而這也是曼哈頓距離名稱的來源， 曼哈頓距離也稱為城市街區(qū)距離(City Block distance)。

　　(1)二維平面兩點(diǎn)a(x1,y1)與b(x2,y2)間的曼哈頓距離

　　(2)兩個(gè)n維向量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的曼哈頓距離

　　(3) Matlab計(jì)算曼哈頓距離

　　例子：計(jì)算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)兩兩間的曼哈頓距離

　　X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

　　D = pdist(X, 'cityblock')

　　結(jié)果：

　　D =

　　1     2     3

　　3. 切比雪夫距離 ( Chebyshev Distance )

　　國(guó)際象棋玩過么？國(guó)王走一步能夠移動(dòng)到相鄰的8個(gè)方格中的任意一個(gè)。那么國(guó)王從格子(x1,y1)走到格子(x2,y2)最少需要多少步？自己走走試試。你會(huì)發(fā)現(xiàn)最少步數(shù)總是max( | x2-x1 | , | y2-y1 | ) 步 。有一種類似的一種距離度量方法叫切比雪夫距離。

　　(1)二維平面兩點(diǎn)a(x1,y1)與b(x2,y2)間的切比雪夫距離

　　(2)兩個(gè)n維向量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的切比雪夫距離

　　這個(gè)公式的另一種等價(jià)形式是

　　看不出兩個(gè)公式是等價(jià)的？提示一下：試試用放縮法和夾逼法則來證明。

　　(3)Matlab計(jì)算切比雪夫距離

　　例子：計(jì)算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)兩兩間的切比雪夫距離

　　X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

　　D = pdist(X, 'chebychev')

　　結(jié)果：

　　D =

　　1     2     2

　　4. 閔可夫斯基距離(Minkowski Distance)

　　閔氏距離不是一種距離，而是一組距離的定義。

　　(1) 閔氏距離的定義

　　兩個(gè)n維變量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的閔可夫斯基距離定義為：

　　其中p是一個(gè)變參數(shù)。

　　當(dāng)p=1時(shí)，就是曼哈頓距離

　　當(dāng)p=2時(shí)，就是歐氏距離

　　當(dāng)p→∞時(shí)，就是切比雪夫距離

　　根據(jù)變參數(shù)的不同，閔氏距離可以表示一類的距離。

　　(2)閔氏距離的缺點(diǎn)

　　閔氏距離，包括曼哈頓距離、歐氏距離和切比雪夫距離都存在明顯的缺點(diǎn)。

　　舉個(gè)例子：二維樣本(身高,體重)，其中身高范圍是150~190，體重范圍是50~60，有三個(gè)樣本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。那么a與b之間的閔氏距離（無論是曼哈頓距離、歐氏距離或切比雪夫距離）等于a與c之間的閔氏距離，但是身高的10cm真的等價(jià)于體重的10kg么？因此用閔氏距離來衡量這些樣本間的相似度很有問題。

　　簡(jiǎn)單說來，閔氏距離的缺點(diǎn)主要有兩個(gè)：①將各個(gè)分量的量綱(scale)，也就是“單位”當(dāng)作相同的看待了。②沒有考慮各個(gè)分量的分布（期望，方差等)可能是不同的。

　　(3)Matlab計(jì)算閔氏距離

　　例子：計(jì)算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)兩兩間的閔氏距離（以變參數(shù)為2的歐氏距離為例）

　　X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

　　D = pdist(X,'minkowski',2)

　　結(jié)果：

　　D =

　　1.0000    2.0000    2.2361

　　5. 標(biāo)準(zhǔn)化歐氏距離 (Standardized Euclidean distance )

　　(1)標(biāo)準(zhǔn)歐氏距離的定義

　　標(biāo)準(zhǔn)化歐氏距離是針對(duì)簡(jiǎn)單歐氏距離的缺點(diǎn)而作的一種改進(jìn)方案。標(biāo)準(zhǔn)歐氏距離的思路：既然數(shù)據(jù)各維分量的分布不一樣，好吧！那我先將各個(gè)分量都“標(biāo)準(zhǔn)化”到均值、方差相等吧。均值和方差標(biāo)準(zhǔn)化到多少呢？這里先復(fù)習(xí)點(diǎn)統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)吧，假設(shè)樣本集X的均值(mean)為m，標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)為s，那么X的“標(biāo)準(zhǔn)化變量”表示為：

　　而且標(biāo)準(zhǔn)化變量的數(shù)學(xué)期望為0，方差為1。因此樣本集的標(biāo)準(zhǔn)化過程(standardization)用公式描述就是：

　　標(biāo)準(zhǔn)化后的值 =  ( 標(biāo)準(zhǔn)化前的值  － 分量的均值 ) /分量的標(biāo)準(zhǔn)差

　　經(jīng)過簡(jiǎn)單的推導(dǎo)就可以得到兩個(gè)n維向量a(x11,x12,…,x1n)與 b(x21,x22,…,x2n)間的標(biāo)準(zhǔn)化歐氏距離的公式：

　　如果將方差的倒數(shù)看成是一個(gè)權(quán)重，這個(gè)公式可以看成是一種加權(quán)歐氏距離(Weighted Euclidean distance)。

　　(2)Matlab計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化歐氏距離

　　例子：計(jì)算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)兩兩間的標(biāo)準(zhǔn)化歐氏距離 (假設(shè)兩個(gè)分量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.5和1)

　　X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

　　D = pdist(X, 'seuclidean',[0.5,1])

　　結(jié)果：

　　D =

　　2.0000    2.0000    2.8284

　　6. 馬氏距離(Mahalanobis Distance)

　?。?）馬氏距離定義

　　有M個(gè)樣本向量X1~Xm，協(xié)方差矩陣記為S，均值記為向量μ，則其中樣本向量X到u的馬氏距離表示為：

　　而其中向量Xi與Xj之間的馬氏距離定義為：

　　若協(xié)方差矩陣是單位矩陣（各個(gè)樣本向量之間獨(dú)立同分布）,則公式就成了：

　　也就是歐氏距離了。

　　若協(xié)方差矩陣是對(duì)角矩陣，公式變成了標(biāo)準(zhǔn)化歐氏距離。

　　(2)馬氏距離的優(yōu)缺點(diǎn)：量綱無關(guān)，排除變量之間的相關(guān)性的干擾。

　　(3) Matlab計(jì)算(1 2)，( 1 3)，( 2 2)，( 3 1)兩兩之間的馬氏距離

　　X = [1 2; 1 3; 2 2; 3 1]

　　Y = pdist(X,'mahalanobis')

　　結(jié)果：

　　Y =

　　2.3452    2.0000    2.3452    1.2247    2.4495    1.2247

　　7. 夾角余弦(Cosine)

　　有沒有搞錯(cuò)，又不是學(xué)幾何，怎么扯到夾角余弦了？各位看官稍安勿躁。幾何中夾角余弦可用來衡量?jī)蓚€(gè)向量方向的差異，機(jī)器學(xué)習(xí)中借用這一概念來衡量樣本向量之間的差異。

　　(1)在二維空間中向量A(x1,y1)與向量B(x2,y2)的夾角余弦公式：

　　(2) 兩個(gè)n維樣本點(diǎn)a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)的夾角余弦

　　類似的，對(duì)于兩個(gè)n維樣本點(diǎn)a(x11,x12,…,x1n)和b(x21,x22,…,x2n)，可以使用類似于夾角余弦的概念來衡量它們間的相似程度。

　　即：

　　夾角余弦取值范圍為[-1,1]。夾角余弦越大表示兩個(gè)向量的夾角越小，夾角余弦越小表示兩向量的夾角越大。當(dāng)兩個(gè)向量的方向重合時(shí)夾角余弦取最大值1，當(dāng)兩個(gè)向量的方向完全相反夾角余弦取最小值-1。

　　夾角余弦的具體應(yīng)用可以參閱參考文獻(xiàn)[1]。

　　(3)Matlab計(jì)算夾角余弦

　　例子：計(jì)算(1,0)、( 1,1.732)、( -1,0)兩兩間的夾角余弦

　　X = [1 0 ; 1 1.732 ; -1 0]

　　D = 1- pdist(X, 'cosine')  % Matlab中的pdist(X, 'cosine')得到的是1減夾角余弦的值

　　結(jié)果：

　　D =

　　0.5000   -1.0000   -0.5000

　　8. 漢明距離(Hamming distance)

　　(1)漢明距離的定義

　　兩個(gè)等長(zhǎng)字符串s1與s2之間的漢明距離定義為將其中一個(gè)變?yōu)榱硗庖粋€(gè)所需要作的最小替換次數(shù)。例如字符串“1111”與“1001”之間的漢明距離為2。

　　應(yīng)用：信息編碼（為了增強(qiáng)容錯(cuò)性，應(yīng)使得編碼間的最小漢明距離盡可能大）。

　　(2)Matlab計(jì)算漢明距離

　　Matlab中2個(gè)向量之間的漢明距離的定義為2個(gè)向量不同的分量所占的百分比。

　　例子：計(jì)算向量(0,0)、(1,0)、(0,2)兩兩間的漢明距離

　　X = [0 0 ; 1 0 ; 0 2];

　　D = PDIST(X, 'hamming')

　　結(jié)果：

　　D =

　　0.5000    0.5000    1.0000

　　9. 杰卡德相似系數(shù)(Jaccard similarity coefficient)

　　(1) 杰卡德相似系數(shù)

　　兩個(gè)集合A和B的交集元素在A，B的并集中所占的比例，稱為兩個(gè)集合的杰卡德相似系數(shù)，用符號(hào)J(A,B)表示。

　　杰卡德相似系數(shù)是衡量?jī)蓚€(gè)集合的相似度一種指標(biāo)。

　　(2) 杰卡德距離

　　與杰卡德相似系數(shù)相反的概念是杰卡德距離(Jaccard distance)。杰卡德距離可用如下公式表示：

　　杰卡德距離用兩個(gè)集合中不同元素占所有元素的比例來衡量?jī)蓚€(gè)集合的區(qū)分度。

　　(3) 杰卡德相似系數(shù)與杰卡德距離的應(yīng)用

　　可將杰卡德相似系數(shù)用在衡量樣本的相似度上。

　　樣本A與樣本B是兩個(gè)n維向量，而且所有維度的取值都是0或1。例如：A(0111)和B(1011)。我們將樣本看成是一個(gè)集合，1表示集合包含該元素，0表示集合不包含該元素。

　　p ：樣本A與B都是1的維度的個(gè)數(shù)

　　q ：樣本A是1，樣本B是0的維度的個(gè)數(shù)

　　r ：樣本A是0，樣本B是1的維度的個(gè)數(shù)

　　s ：樣本A與B都是0的維度的個(gè)數(shù)

　　那么樣本A與B的杰卡德相似系數(shù)可以表示為：

　　這里p+q+r可理解為A與B的并集的元素個(gè)數(shù)，而p是A與B的交集的元素個(gè)數(shù)。

　　而樣本A與B的杰卡德距離表示為：

　　(4)Matlab 計(jì)算杰卡德距離

　　Matlab的pdist函數(shù)定義的杰卡德距離跟我這里的定義有一些差別，Matlab中將其定義為不同的維度的個(gè)數(shù)占“非全零維度”的比例。

　　例子：計(jì)算(1,1,0)、(1,-1,0)、(-1,1,0)兩兩之間的杰卡德距離

　　X = [1 1 0; 1 -1 0; -1 1 0]

　　D = pdist( X , 'jaccard')

　　結(jié)果

　　D =

　　0.5000    0.5000    1.0000

　　10. 相關(guān)系數(shù) ( Correlation coefficient )與相關(guān)距離(Correlation distance)

　　(1) 相關(guān)系數(shù)的定義

　　相關(guān)系數(shù)是衡量隨機(jī)變量X與Y相關(guān)程度的一種方法，相關(guān)系數(shù)的取值范圍是[-1,1]。相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，則表明X與Y相關(guān)度越高。當(dāng)X與Y線性相關(guān)時(shí)，相關(guān)系數(shù)取值為1（正線性相關(guān)）或-1（負(fù)線性相關(guān)）。

　　(2)相關(guān)距離的定義

　　(3)Matlab計(jì)算(1, 2 ,3 ,4 )與( 3 ,8 ,7 ,6 )之間的相關(guān)系數(shù)與相關(guān)距離

　　X = [1 2 3 4 ; 3 8 7 6]

　　C = corrcoef( X' )   %將返回相關(guān)系數(shù)矩陣

　　D = pdist( X , 'correlation')

　　結(jié)果：

　　C =

　　1.0000    0.4781

　　0.4781    1.0000

　　D =

　　0.5219

　　其中0.4781就是相關(guān)系數(shù)，0.5219是相關(guān)距離。

　　11. 信息熵(Information Entropy)

　　信息熵并不屬于一種相似性度量。那為什么放在這篇文章中?。窟@個(gè)。。。我也不知道。(╯▽╰)

　　信息熵是衡量分布的混亂程度或分散程度的一種度量。分布越分散(或者說分布越平均)，信息熵就越大。分布越有序（或者說分布越集中），信息熵就越小。

　　計(jì)算給定的樣本集X的信息熵的公式：

　　參數(shù)的含義：

　　n：樣本集X的分類數(shù)

　　pi：X中第i類元素出現(xiàn)的概率

　　信息熵越大表明樣本集S分類越分散，信息熵越小則表明樣本集X分類越集中。。當(dāng)S中n個(gè)分類出現(xiàn)的概率一樣大時(shí)（都是1/n），信息熵取最大值log2(n)。當(dāng)X只有一個(gè)分類時(shí)，信息熵取最小值0