0 引言
    VTOL(Vertical Take-Off and Landing)飛行器是能夠垂直起降的典型欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，因具有對(duì)起降環(huán)境依賴小、機(jī)動(dòng)性強(qiáng)等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于軍事和民用領(lǐng)域，其控制研究引發(fā)了國內(nèi)外研究人員的廣泛關(guān)注[1-3]。VTOL飛行器屬于欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，具有高度非線性、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、控制輸入受限等特點(diǎn)，這給其控制研究帶來了極大的困難[4]。已有大量文獻(xiàn)對(duì)其進(jìn)行了深入研究，文獻(xiàn)[5]-文獻(xiàn)[7]在忽略飛行器滾動(dòng)控制輸入和橫向加速度間耦合關(guān)系的情況下，采用近似輸入-輸出線性化方法來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及輸出跟蹤問題。文獻(xiàn)[8]設(shè)計(jì)了VTOL全局鎮(zhèn)定控制律。文獻(xiàn)[9]研究了VTOL姿態(tài)穩(wěn)定控制問題。文獻(xiàn)[10]在考慮耦合存在的前提下，采用李雅普諾夫直接法設(shè)計(jì)了飛行器漸近穩(wěn)定跟蹤參考軌跡的控制器。
    目前，VTOL飛行器的跟蹤問題仍然是控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。作為一種具有完全魯棒性的變結(jié)構(gòu)控制方法，滑?？刂?/a>具有響應(yīng)迅速、對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化和外界擾動(dòng)不敏感、無需系統(tǒng)在線辨識(shí)、物理實(shí)現(xiàn)簡單等優(yōu)點(diǎn)[11]。因此可以用來控制VTOL飛行器。
    本文對(duì)具有3個(gè)自由度、2個(gè)控制輸入的VTOL飛行器的輸出跟蹤問題進(jìn)行了研究，提出了一種分層滑模控制方案，可以實(shí)現(xiàn)飛行器在考慮輸入耦合情況下的軌跡跟蹤。
1 VTOL飛行器動(dòng)力學(xué)模型
    根據(jù)文獻(xiàn)[5]，VTOL飛行器動(dòng)力學(xué)模型表示為：

2 分層滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
    本文解決的是欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸出跟蹤問題，模型有3個(gè)輸出、2個(gè)輸入，對(duì)于跟蹤問題，只能保證位置信號(hào)跟蹤指令，定義飛行器的橫、縱坐標(biāo)的期望軌跡指令為x_1d和y_1d，控制目標(biāo)為：系統(tǒng)(1)的x₁和y₁跟蹤指令信號(hào)x_1d和y_1d，滾轉(zhuǎn)角θ鎮(zhèn)定。通過對(duì)系統(tǒng)(2)的控制律進(jìn)行設(shè)計(jì)，可以完成控制目標(biāo)。定義z₁、z₂、z₃、z₄的跟蹤指令信號(hào)分別為z_1d、z_2d、z_3d、z_4d，跟蹤誤差為：e₁=z₁-z_1d，e₂=z₂-z_2d，e₃=z₃-z_3d，e₄=z₄-z_4d，則有。
    對(duì)于給定的指令信號(hào)z_1d、z_2d、z_3d、z_4d，通過設(shè)計(jì)合適的控制律h使得e₁→0，e₂→0，e₃→0，e₄→0，系統(tǒng)就能夠完成跟蹤任務(wù)。
    對(duì)兩個(gè)子系統(tǒng)分別定義滑模面：
    s₁=c₁e₁+e₂， s₂=c₂ e₃+e₄                       (5)
其中c1>0，c2>0。
    構(gòu)造系統(tǒng)的總滑模面為：
    S=c₂(e₃-z)+e₄                                      (6)
    這里z為中間變量，是s1的函數(shù)，定義為：

3 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析
    本節(jié)用Lyapunov穩(wěn)定性定理、Barbalat引理分別證明了各個(gè)滑模面的穩(wěn)定性及誤差子系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性。
    Barbalat引理^[12]：如果，則。
3.1 系統(tǒng)總滑模面穩(wěn)定性
    定理1 對(duì)于系統(tǒng)(2)，按式(5)和式(6)構(gòu)造系統(tǒng)的滑模面，采用控制律式(13)，則系統(tǒng)的總滑模面S是漸近穩(wěn)定的。

3.2 子系統(tǒng)滑模面穩(wěn)定性
    定理2 對(duì)于系統(tǒng)(2)，按式(5)和式(6)構(gòu)造系統(tǒng)的滑模面，采用控制律(13)，則兩個(gè)子系統(tǒng)的滑模面s1和s2是漸近穩(wěn)定的。
    證明：定義中間變量：
  

4 仿真結(jié)果
   

圖1  飛行器質(zhì)心的位置x1(t)跟蹤

圖2  飛行器質(zhì)心的位置y1(t)跟蹤

圖3  飛行器質(zhì)心的速度跟蹤

圖4  飛行器質(zhì)心的速度跟蹤

圖5  飛行器滾動(dòng)角度θ(t)的鎮(zhèn)定

圖6  飛行器底部推力控制輸入u₁

圖7  飛行器滾動(dòng)控制輸入u₂

    圖1～圖2表明，在控制器作用下，飛行器實(shí)際位置軌跡快速、穩(wěn)定地收斂于期望位置軌跡。由圖3～圖4可見，飛行器實(shí)際速度軌跡快速、穩(wěn)定地收斂于期望速度軌跡。圖5表明，滾轉(zhuǎn)角快速收斂到?茲=0。圖6和圖7為控制輸入曲線，可以看出控制器快速、平穩(wěn)地漸近收斂，控制效果很好。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出的滑?？刂破鞯挠行约扒懊娼o出的穩(wěn)定性分析的正確性。
5 結(jié)論
    對(duì)于VTOL飛行器的輸出跟蹤問題，本文提出了一種分層滑?？刂品桨福梢詫?shí)現(xiàn)飛行器在考慮輸入耦合情況下的軌跡跟蹤，并利用李亞普諾夫穩(wěn)定性理論和Barbalat引理詳細(xì)證明了各個(gè)滑模面的漸近穩(wěn)定性和誤差系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定性。與已有的控制方法相比，該方法提出的控制器設(shè)計(jì)簡單、響應(yīng)速度快，對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化和外界干擾具有魯棒性，能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)給定軌跡的漸近穩(wěn)定跟蹤。同時(shí)，給出的仿真結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了這種滑?？刂品椒ǖ挠行院涂尚行?。
參考文獻(xiàn)
[1] WANG X H，LIU J K，CAI K Y.Tracking control for a velocity-sensorless VTOL aircraft with delayed outputs[J].Automatica，2009，45(12)：2876-2882.
[2] ROBERTS A，TAYEBI A.A new position regulation strategy for VTOL UAVs using IMU and GPS measurements[J].Automatica，2013，49(2)：434-440.
[3] ABDESSAMEUD  A，TAYEBI A.Global trajectory tracking control of VTOL UAVs without linear velocity measurement[J].Automatica，2010，46(6)：1053-1059.
[4] ROBERTS A，TAYEBI A.Adaptive  position  tracking  of  VTOL UAVs[J].IEEE Transactions on Robotics，2011，27(1)：129-142.
[5] HAUSER J，SASTRY S，MEYER G.Nonlinear control design for slightly non-minimum phase systems[J].Automatica (S0005-1098)，1992，28(4)：665-679.
[6] MARTIN P,DEVASIA S,PADEN B.A different look at output tracking：control of a VTOL aircraft[J].Automatica(S0005-1098)，1996，32(1)：101-107.
[7] HUANG C S，YUAN K.Output tracking of a non-linear non-minimum phase PVTOL aircraft based on non-linear state feedback[J].International Journal of Control(S0020-7179)，2002，75(6)：466-473.
[8] OLFATI-SABER R.Global configuration for the VTOL aircraft with strong input coupling[J].IEEE Transactions on Automatic Control(S0018-9286)，2002，47(11)：1949-1952.
[9] TAYEBI A，MCGILVRAY S,Attitude stabilization of a VTOL quadrotor aircraft[J].IEEE Trans.Control Systems Technology，2006，14(3)：562-571.
[10] DO K D，JIANG Z P，PAN J.On global tracking control of a VTOL aircraft without velocity measurements[J].IEEE Transactions on Automatic Control(S0018-9286)，2003，48 (12)：2212-2217.
[11] HUNG J Y，GAO W，HUNG J C.Variable structure control：a survey[J].IEEE Transactions on Industrial Electronics，1993，40(1)：2-22.
[12] TAO G.A simple alternative to the barbalat lemma[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1997，42(5)：698.