余景鵬，李姣軍，陶金，賈智予

　　(重慶理工大學(xué) 電子信息與自動(dòng)化學(xué)院，重慶 400054)

       摘要：為了克服小波閾值去噪中硬閾值小波系數(shù)不連續(xù)和軟閾值估計(jì)小波系數(shù)與分解小波系數(shù)之間恒定偏差的缺點(diǎn)，改進(jìn)的閾值去噪方法被相繼提出。文章根據(jù)高斯白噪聲和信號(hào)在小波變換以后得到的小波系數(shù)呈現(xiàn)不同的特性，基于噪聲方差提出一種新算法。最后通過(guò)MATLAB仿真驗(yàn)證該算法在信噪比、均方根誤差、相關(guān)系數(shù)、信噪比增益4個(gè)去噪指標(biāo)的效果。

　　關(guān)鍵詞：小波閾值;小波變換；噪聲方差；去噪指標(biāo)

0引言

　　信息在采集傳輸過(guò)程中，由于各種人為或者非人為因素，獲得原始信號(hào)中不可避免地包含噪聲，而噪聲往往會(huì)影響信號(hào)質(zhì)量［1］，因此得到比較純凈的信號(hào)一直以來(lái)是人們追求的目標(biāo)。

　　隨著技術(shù)和社會(huì)的不斷進(jìn)步，各種不同去噪方法相繼出現(xiàn)，有純時(shí)域、純頻域、中值濾波、傅里葉變換、短時(shí)傅里葉變換等方法。小波理論［2］是最近幾十年興起的一門(mén)重要學(xué)科，小波變換具備良好的時(shí)頻局部特性、多分辨率、低熵性、去相關(guān)性和選基靈活性［3］ 等優(yōu)點(diǎn)而受到許多學(xué)者重視，小波分析在許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

　　目前小波去噪常用的方法有相關(guān)性去噪、模極大值去噪、平移不變量去噪和小波閾值去噪［4］，其中小波閾值去噪是一種實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、效果較好的去噪方法。

1去噪原理

　　有用信號(hào)一般是低頻或者是平穩(wěn)的，噪聲信號(hào)一般是高頻或者是非平穩(wěn)的［5］。小波變換得到高頻系數(shù)和低頻系數(shù)，通常認(rèn)為高頻系數(shù)來(lái)自于噪聲信號(hào)，所以一般閾值處理都是對(duì)高頻系數(shù)而言。

　　假設(shè)一維信號(hào)含噪模型為［6］：

　　式中,s(t)為含噪聲的信號(hào)，x(t)為原始信號(hào)，u(t)為標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，均值為0，方差為1。由于小波變換是線性變換，對(duì)含噪信號(hào)做離散小波變換，得到的小波系數(shù)由兩部分組成，低頻系數(shù)一般由有用信號(hào)貢獻(xiàn)，高頻系數(shù)一般由噪聲產(chǎn)生。

　　小波閾值去噪的一般步驟［7］：

　?。?）選定小波基和分解層數(shù)，然后對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行小波變換得到小波系數(shù)Wj,k。

　?。?）選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)拈撝挡?duì)得到的小波系數(shù)Wj,k進(jìn)行相應(yīng)的閾值處理，得到估計(jì)小波系數(shù)W~j,k。

　?。?）得到處理后的估計(jì)小波系數(shù)后進(jìn)行小波重構(gòu)，得到比較純凈的信號(hào)。

　　小波閾值去噪一般要注意的問(wèn)題是小波基的選擇、分解層數(shù)的確定、閾值函數(shù)、閾值規(guī)則確定閾值。其中較為關(guān)鍵的一步是閾值的選取。選擇合理的閾值可以得到良好的去噪效果，閾值選擇比較小，重構(gòu)得到的信號(hào)噪聲比較多；反之，重構(gòu)得到的信號(hào)會(huì)丟失一部分有用信號(hào)。

　　小波閾值收縮法是DONOHO D L和JOHNSTONE I M［2］在1992年提出的,其理論依據(jù)是,小波變換使信號(hào)的能量集中在一些大的小波系數(shù)中，而噪聲的能量卻分布于整個(gè)小波域內(nèi)。隨著分解層數(shù)的增加有用信號(hào)的小波系數(shù)增大，而噪聲的小波系數(shù)減小。有用信號(hào)的小波系數(shù)幅度一般要大于噪聲的系數(shù)幅度。所以在采用閾值去噪時(shí)可以把噪聲系數(shù)收縮或者置為零，從而達(dá)到去噪效果。

　　常見(jiàn)的硬閾值和軟閾值函數(shù)分別如式（2）和（3）：

　　其中，為閾值，噪聲高頻系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差為信號(hào)的長(zhǎng)度。

　　從上面的兩個(gè)分段函數(shù)可以看出，硬閾值函數(shù)在閾值點(diǎn)處是不連續(xù)的，重構(gòu)信號(hào)存在偽吉布斯現(xiàn)象［8］。軟閾值函數(shù)估計(jì)小波系數(shù)與原來(lái)的小波系數(shù)總存在著恒定的偏差,信號(hào)重構(gòu)逼近不能達(dá)到預(yù)期效果［9］。因此,許多研究者尋找新閾值函數(shù)（改進(jìn)閾值函數(shù)）都是基于上述硬閾值和軟閾值函數(shù)以及兩者缺點(diǎn)。

　　針對(duì)上述硬閾值和軟閾值函數(shù)的缺點(diǎn)，基于概率論知識(shí)以及小波變換后信號(hào)能量集中在少數(shù)幅度較大系數(shù)上，提出一種新算法。該算法的具體步驟如下：

　?。?）選定小波基和分解層數(shù)進(jìn)行小波分解，計(jì)算噪聲標(biāo)準(zhǔn)差和各層高頻系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

　?。?）首先判斷第1層的高頻系數(shù)與噪聲系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差大小，如果高頻系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差大于噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，選取高頻系數(shù)最大值并且置位零記下其相應(yīng)的下標(biāo)；如果高頻系數(shù)噪聲小于噪聲方差則執(zhí)行一步就跳出轉(zhuǎn)到步驟（5）。

　?。?）得到新的高頻系數(shù)繼續(xù)與噪聲方差作比較，重復(fù)第（2）步，直到高頻系數(shù)的方差小于或者等于噪聲方差則退出循環(huán)。得到每次的最大值組成一個(gè)新的高頻系數(shù)。

　?。?）第2層、3層…J層依次重復(fù)步驟（2）、（3），得到各層高頻系數(shù)。

　?。?）得到各層高頻系數(shù)和低頻系數(shù)后進(jìn)行小波重構(gòu)，然后計(jì)算去噪指標(biāo)。

2去噪評(píng)價(jià)

　　目前常用的去噪評(píng)價(jià)方法有兩種：主觀評(píng)價(jià)法和客觀評(píng)價(jià)法［3］。主觀評(píng)價(jià)法在噪聲差別很明顯的情況下很容易辨別出來(lái)，而在去噪以后差別不是很大的情況下會(huì)受人為的影響，得到的效果往往不如人意，結(jié)論往往會(huì)帶有一定的主觀色彩。客觀評(píng)價(jià)法具有一定質(zhì)量指標(biāo)體系，通過(guò)不同的指標(biāo)來(lái)判定去噪以后的效果，單個(gè)指標(biāo)很難衡量去噪效果，所以人們一般通過(guò)多個(gè)指標(biāo)來(lái)衡量，而不同的問(wèn)題實(shí)際情況不一樣所以指標(biāo)不一樣。因此在實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)常將主觀與客觀兩種方法相結(jié)合。常用的去噪性能評(píng)價(jià)指標(biāo)主要有以下幾種：

　　（1）信噪比（SNR）:原始信號(hào)的能量與噪聲能量之比。

　　其中，x(i)為原始信號(hào)，x~(i)為去噪以后的信號(hào)（以下均同），N為信號(hào)長(zhǎng)度。一般認(rèn)為信噪比越大去噪效果越好。

　?。?）均方根誤差（RMSE）［4］:是指去噪以后信號(hào)與原始信號(hào)差的平方和與信號(hào)長(zhǎng)度N比值的平方根。

　　均方根誤差越小表示去噪效果越好。

　?。?）互相關(guān)系數(shù)（ρ）［4］ : 表示信號(hào)之間相似度。

　　其中，cov（x(i),x~(i)）表示兩個(gè)信號(hào)之間的協(xié)方差， D(x(i))為原始信號(hào)的方差， D(x~(i))為去噪后信號(hào)的方差?；ハ嚓P(guān)系數(shù)越接近1表示去噪效果越好。

　?。?）信噪比增益（GSNR）［4］:指小波去噪后的信噪比與去噪前的原始信噪比的比值。

　　其中，SNRo表示輸出信噪比，SNRi表示輸入信噪比，一般認(rèn)為信噪比增益越大則去噪效果越好。

3仿真結(jié)果與分析

　　實(shí)驗(yàn)過(guò)程采取blocks信號(hào)信噪比(SNR)為15.424的含噪信號(hào)和doppler信號(hào)信噪比（SNR）為12.028的含噪信號(hào)，信號(hào)和噪聲是線性疊加的，高斯白噪聲方差為1、均值為0。用‘db2’小波對(duì)信號(hào)進(jìn)行3層分解。分別應(yīng)用本文算法、強(qiáng)制消噪（得到高頻系數(shù)全部置位零）、硬閾值和軟閾值4種方法進(jìn)行仿真，然后比較4個(gè)指標(biāo)結(jié)果。結(jié)果如圖1、圖2所示。

　　從圖1和圖2很容易看出，強(qiáng)制去噪效果不是很好，有用信號(hào)可能淹沒(méi)在噪聲中。而硬閾值和軟閾值與本文算法觀察圖形比較，不能很容易區(qū)分哪個(gè)去噪效果較好，主觀評(píng)價(jià)方法顯得有點(diǎn)無(wú)能為力。在此情況下只能用客觀評(píng)價(jià)法，通過(guò)信噪比、均方根誤差、相關(guān)系數(shù)、信噪比增益來(lái)比較去噪效果。由上述指標(biāo)介紹可知信噪比和信噪比增益越大、均方根誤差越小、相關(guān)系數(shù)越接近1則表示去噪效果越好，本文通過(guò)4個(gè)指標(biāo)的計(jì)算來(lái)驗(yàn)證不同去噪方法的效果，避免單個(gè)指標(biāo)衡量存在的偶然性，更具有一定的有效性。通過(guò)表1和表2可以看出，本文算法具有一定的優(yōu)越性。

4結(jié)束語(yǔ)

　　小波變換后低頻和高頻系數(shù)來(lái)源不同，依據(jù)高斯白噪聲正態(tài)分布來(lái)調(diào)整高頻系數(shù)，提出一種新的閾值去噪算法，仿真結(jié)果表明該算法優(yōu)于其他常用算法。

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