摘 要： 分析了變步長(zhǎng)LMS算法自適應(yīng)濾波器基本原理，使用MATLAB對(duì)其進(jìn)行仿真，并應(yīng)用SZ-EPP5402評(píng)估板進(jìn)行了DSP實(shí)現(xiàn)，結(jié)果表明，變步長(zhǎng)LMS算法能夠克服固定步長(zhǎng)LMS算法的矛盾，具有較快收斂速度與較小穩(wěn)態(tài)誤差。
??? 關(guān)鍵詞： LMS算法；自適應(yīng)濾波器；DSP

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?? 在數(shù)字信號(hào)處理中，濾波技術(shù)占有極其重要的地位。自適應(yīng)濾波器是利用前一時(shí)刻已獲得的濾波器參數(shù)，自動(dòng)地調(diào)節(jié)、更新現(xiàn)時(shí)刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號(hào)和噪聲未知的統(tǒng)計(jì)特性，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)濾波[1]。當(dāng)在未知統(tǒng)計(jì)特性的環(huán)境下處理觀測(cè)信號(hào)時(shí)，利用自適應(yīng)濾波器可以獲得令人滿意的效果，其性能遠(yuǎn)超過(guò)通用方法所設(shè)計(jì)的固定參數(shù)濾波器。在通信、雷達(dá)、聲納、控制工程及生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。
　　選擇DSP完成自適應(yīng)濾波器的設(shè)計(jì)，具有穩(wěn)定性好、精確度高、不受環(huán)境影響、靈活性好等優(yōu)點(diǎn)。固定步長(zhǎng)LMS算法濾波器在收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間存在矛盾，加快收斂速度的同時(shí)也會(huì)增大穩(wěn)態(tài)誤差。本文使用變步長(zhǎng)LMS算法對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，在TMS320C5402DSP芯片上實(shí)現(xiàn)了基于固定步長(zhǎng)與變步長(zhǎng)LMS算法的自適應(yīng)濾波器，結(jié)果表明，變步長(zhǎng)LMS算法自適應(yīng)濾波器性能得到明顯改善，在加大其收斂速度的同時(shí)也很好地減小了穩(wěn)態(tài)誤差。
1? 自適應(yīng)濾波器基本結(jié)構(gòu)和LMS算法???
1.1? 自適應(yīng)濾波器基本結(jié)構(gòu)
　　自適應(yīng)濾波器由2個(gè)分離的部分組成[2]：(1)濾波器，為完成期望的處理功能而設(shè)計(jì)；(2)自適應(yīng)算法，調(diào)節(jié)濾波器系數(shù)，以改進(jìn)性能。自適應(yīng)橫向型濾波器的結(jié)構(gòu)如圖1所示。圖1中x(n)為輸入信號(hào)，通過(guò)權(quán)系數(shù)可調(diào)的數(shù)字濾波器產(chǎn)生輸出信號(hào)y(n)，將y(n)與期望信號(hào)d(n)進(jìn)行比較，得到誤差信號(hào)e(n)。e(n)和x(n)通過(guò)自適應(yīng)算法對(duì)濾波器參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，按照某種算法準(zhǔn)則判斷誤差信號(hào)e(n)是否達(dá)到最小。重復(fù)以上過(guò)程，濾波器逐漸掌握了輸入信號(hào)與噪聲規(guī)律，以此為依據(jù)調(diào)節(jié)自身參數(shù)，達(dá)到最佳濾波效果。令W(n)為圖1中濾波器系數(shù)矢量，即W(n)=[W₀(n)，W₁(n)，…，W_N(n)]，則自適應(yīng)濾波器的輸出為：
　　

1.2? LMS算法
　　最常用的判斷e(n)的準(zhǔn)則為最小均方算法，即LMS算法。算法的目標(biāo)是通過(guò)調(diào)整系數(shù)，使輸出誤差序列e(n)=d(n)-y(n)的均方值最小化，并且根據(jù)這個(gè)判據(jù)來(lái)修改權(quán)系數(shù)[3]。其中誤差序列的均方值又叫“均方誤差”MSE(Mean Square Error)，即：

　　

　　目標(biāo)函數(shù)ε是W的二次函數(shù)，形成一個(gè)碗狀拋物面(性能曲面)，此曲面有唯一最低點(diǎn)即為碗底最小點(diǎn)，自適應(yīng)濾波系數(shù)的起始值位于曲面的某一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)自適應(yīng)調(diào)節(jié)，濾波系數(shù)變化，向碗底最小點(diǎn)移動(dòng)，最終到達(dá)最小點(diǎn)[4]。系數(shù)變化按照梯度負(fù)方向移動(dòng)達(dá)到最小點(diǎn)的速度最快，令▽(n)表示n時(shí)刻的N×1維梯度矢量，N是濾波器系數(shù)個(gè)數(shù)，自適應(yīng)濾波器系數(shù)矢量的變化與梯度的關(guān)系為：
???

將式(7)代入式(6)得到：

　　初始收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差是衡量自適應(yīng)濾波算法優(yōu)劣的2個(gè)重要技術(shù)指標(biāo)[5]。減小步長(zhǎng)μ可減小自適應(yīng)算法的穩(wěn)態(tài)誤差，但卻減慢了算法初始收斂速度；增大步長(zhǎng)μ可加快算法收斂速度，但卻增大了穩(wěn)態(tài)誤差。因此，固定步長(zhǎng)LMS算法在加快算法初始收斂速度與減小穩(wěn)態(tài)誤差之間存在矛盾。
2?變步長(zhǎng)LMS算法
??? 為了克服固定步長(zhǎng)LMS算法收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾，提出變步長(zhǎng)LMS自適應(yīng)算法。即在初始階段選用較大步長(zhǎng)，使算法有較快初始收斂速度，隨著收斂加深之后采用較小步長(zhǎng)來(lái)減小穩(wěn)態(tài)誤差。本文中變步長(zhǎng)μ公式為：
　　

　　在變步長(zhǎng)LMS算法中，由于，在此范圍內(nèi)，變步長(zhǎng)LMS算法得以收斂，而由于μ(n)是變化的，在初始階段選用較大步長(zhǎng)μ1，使得變步長(zhǎng)LMS算法比固定步長(zhǎng)LMS算法具有更快的收斂速度。當(dāng)算法逐漸進(jìn)入收斂穩(wěn)定時(shí)，選用較小步長(zhǎng)μ2，使穩(wěn)態(tài)誤差隨步長(zhǎng)減小而減小，因此，變步長(zhǎng)LMS算法具有比固定步長(zhǎng)LMS算法更小的穩(wěn)態(tài)誤差。
3?自適應(yīng)濾波器的MATLAB仿真
??? 實(shí)驗(yàn)中，設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單二階加權(quán)自適應(yīng)橫向?yàn)V波器，用單頻正弦信號(hào)與一個(gè)隨機(jī)噪聲進(jìn)行疊加作為系統(tǒng)輸入信號(hào)x(n)，選取1 000個(gè)采樣點(diǎn)，根據(jù)自適應(yīng)濾波器迭代方程設(shè)計(jì)自適應(yīng)濾波器，對(duì)輸入信號(hào)x(n)進(jìn)行濾波。固定步長(zhǎng)LMS算法選用步長(zhǎng)μ為0.002 6，變步長(zhǎng)LMS算法在算法初始300個(gè)采樣點(diǎn)時(shí)選取μ1為0.004 2，在算法初始收斂逐漸加深后，后面700個(gè)采樣點(diǎn)選取μ2為0.002 1。仿真結(jié)果如圖2所示。
??? 從圖2(b)中可以看出，固定步長(zhǎng)LMS算法濾波結(jié)果在開(kāi)始階段收斂速度比較慢，有較大穩(wěn)態(tài)誤差，算法有待改善。圖2(c)中變步長(zhǎng)LMS算法濾波結(jié)果比固定步長(zhǎng)LMS算法具有更快初始收斂速度與較小穩(wěn)態(tài)誤差，濾波效果得到明顯改善，濾波性能優(yōu)于固定步長(zhǎng)LMS算法。從仿真角度證明了變步長(zhǎng)LMS算法的優(yōu)越性與可行性。

4?自適應(yīng)濾波器的DSP實(shí)現(xiàn)
　　為了提高LMS算法的處理速度且減小系統(tǒng)硬件規(guī)模，采用TI公司的TMS320C5402芯片作為核心芯片實(shí)現(xiàn)該算法。該處理器采用程序與數(shù)據(jù)分開(kāi)的哈佛體系結(jié)構(gòu)，片上有16 KB存儲(chǔ)器，外部擴(kuò)展32 KB的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)器，64 KB的程序存儲(chǔ)器；具有高度并行性。用C語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)變步長(zhǎng)LMS算法子程序流程如圖3所示。其中，N為迭代次數(shù)；order為階數(shù)；μ₁、μ₂為步長(zhǎng)；count為當(dāng)前采樣點(diǎn)；NS為采樣點(diǎn)數(shù)。

　?? 從圖4(b)中可以看出，在濾波初始階段，濾波結(jié)果不明顯，輸入的疊加信號(hào)經(jīng)過(guò)自適應(yīng)濾波器后，在初始階段噪聲沒(méi)有得到明顯抑制，存在較大穩(wěn)態(tài)誤差，收斂速度比較慢，收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差都有待改善。從圖4(c)中可以看出，在濾波初始階段，穩(wěn)態(tài)誤差已得到明顯改善，有較小穩(wěn)態(tài)誤差，初始收斂速度也有所加快，輸入的疊加信號(hào)經(jīng)過(guò)自適應(yīng)濾波器后，噪聲得到明顯抑制，濾波性能明顯優(yōu)于固定步長(zhǎng)LMS算法，具有較快收斂速度與較小穩(wěn)態(tài)誤差，很好地克服了固定步長(zhǎng)存在的矛盾。
　　初始收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差是衡量自適應(yīng)濾波算法性能優(yōu)劣的2個(gè)重要技術(shù)指標(biāo)。本文通過(guò)對(duì)固定步長(zhǎng)和變步長(zhǎng)LMS算法自適應(yīng)濾波器進(jìn)行MATLAB仿真與DSP實(shí)現(xiàn)，比較二者結(jié)果，證明了變步長(zhǎng)LMS算法能夠保證較快的收斂速度與較小的穩(wěn)態(tài)誤差，并能有效去除不相關(guān)的獨(dú)立噪聲干擾，克服固定步長(zhǎng)在增大初始收斂速度與減小穩(wěn)態(tài)誤差之間存在的矛盾，優(yōu)化了自適應(yīng)濾波器的性能，濾波效果明顯。

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