摘  要： 構造出了一個新的只含有一個非線性項的四維非線性動力學系統(tǒng)，研究了該系統(tǒng)的超混沌吸引子、Lyapunov指數、龐加萊映射圖等復雜動力學特征，然后以Multisim電路仿真軟件為平臺進行了仿真實驗，驗證了超混沌系統(tǒng)的混沌現象。
關鍵詞： 一個非線性項；混沌；四維超混沌系統(tǒng)；電路仿真

    混沌是指確定的宏觀的非線性系統(tǒng)在一定條件下所呈現的不確定的或不可預測的隨機現象，是非線性動力系統(tǒng)所特有的一種復雜動力系統(tǒng)，混沌理論是20世紀繼相對論和量子力學之后的第三次科學革命。自20世紀60年代Lorenz在一個三維自治系統(tǒng)首次發(fā)現混沌吸引子[1]以來，混沌的研究者越來越多，使得混沌理論得到了迅速發(fā)展。特別是20世紀90年代計算機科學的運用和發(fā)展以來，人們對混沌的認識逐漸加深，其中代表性的有1999年陳關榮等發(fā)現的混沌吸引子Chen系統(tǒng)[2]，2002年呂金虎等[3]進一步發(fā)現的Lü系統(tǒng)以及2004年劉崇新等[4]提出的三維自治系統(tǒng)。
    近年來，研究者構造了許多超混沌系統(tǒng)[5-7]，但對只含有一個非線性項的超混沌系統(tǒng)的研究不多，對這種超混沌系統(tǒng)的控制的研究更少。本文首先構造了一個只有一個非線性項的四維超混沌系統(tǒng)，對其進行了復雜的動力學分析，同時，給出了此超混沌系統(tǒng)的電路實現原理圖，用Multisim電路仿真軟件進行了仿真實驗，證實了混沌系統(tǒng)的存在性。
1 新超混沌系統(tǒng)的分析
1.1 超混沌系統(tǒng)數據模型
    混沌是非線性動力系統(tǒng)所特有的復雜動力系統(tǒng)，而含有非線性項是非線性動力系統(tǒng)的必要條件，故非線性項對能否出現混沌起著至關重要的作用。構造出的只含有一個非線性項的新四維動力系統(tǒng)方程式為：
   
其中a=0.58，其他所有狀態(tài)變量均為實數?？梢娤到y(tǒng)(1)只有一個非線性項，通過Matlab仿真得到其三維相圖及各平面相圖如圖1～圖4所示。

    觀察圖1～圖4的相軌跡圖可以推測系統(tǒng)(1)可能具有混沌的動力學特征。
1.2 系統(tǒng)的Lyapunov指數
    Lyapunov指數是定量描述混沌吸引子的相鄰軌線收縮或擴張的量，混沌系統(tǒng)和超混沌系統(tǒng)很難區(qū)分,可以通過系統(tǒng)的Lyapunov指數來區(qū)分。由參考文獻[7]可知，對于一個四維自治的系統(tǒng),在它的4個Lyapunov指數中，當最大Lyapunov指數為零，其他Lyapunov指數為負時，系統(tǒng)是周期的；當2個最大的Lyapunov指數都為零，其他Lyapunov指數為負時,系統(tǒng)是偽周期的；當最大的Lyapunov指數為正，其他3個Lyapunov指數中有1個為零，其余為負時，系統(tǒng)是混沌的；當有2個最大的Lyapunov指數為正，其他2個Lyapunov指數中有1個為零，有1個為負時，系統(tǒng)是超混沌的。運用Matlab計算出系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數，當t→∞時，系統(tǒng)(1)的4個Lyapunov指數為：λL1=0.101 4，λL2=0.014 0，λL3=0，λL4=-0.646 2。由此可知系統(tǒng)(1)是一個超混沌動力系統(tǒng)。
1.3 超混沌系統(tǒng)Poincare映射圖
    Poincare映射是一種經典的分析動力系統(tǒng)的技術，可以通過Poincare截面上截點的情況判斷是否發(fā)生混沌：當Poincare截面上有且僅有一個不動點或少數離散點時，運動是周期的；當Poincare截面上是一封閉曲線時，運動是準周期的；當Poincare截面上是一些成片的具有分形結構的密集點時，運動是混沌的。系統(tǒng)（1）在z=0截面的Poincare映射圖如圖5所示。

    從圖5中可以觀察到截面上是一些成片的具有分形結構的密集點，可以明確知道系統(tǒng)是混沌的，從而也驗證了1.2中的判斷。
2 系統(tǒng)混沌模型電路仿真
    對超混沌系統(tǒng)(1)的電路進行了詳細推導，得到超混沌的電路數學模型為：
       

    該超混沌系統(tǒng)的實現電路如圖6所示。

    分別在輸出端口處接入示波器，得到系統(tǒng)對應圖2～圖4各相面的仿真相圖，如圖7(a)～圖7(c)所示。
    通過觀察可以發(fā)現，圖7(a)～圖7(c)與圖2～圖4各相面的Matlab仿真圖一致。

    本文構造了一個四維只含一個非線性項的動力系統(tǒng)，對該系統(tǒng)的相軌跡圖、Poincare映射圖、Lyapunov指數等復雜動力學特征進行分析和電路仿真實驗驗證，證實了只含一個非線性項超混沌系統(tǒng)的存在性。
參考文獻
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[2] CHEN G R，UETA T.Yet another chaotic attractor[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，1999，9(7)：1465-1466.
[3] LV J H，CHEN G R.A new chaotic attractor coined[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos，2002，12(3)：659-661.
[4] LIU C X，LIU L，LIU T，et al.A new butterfly-shaped attractor of Lorenz-like system[J].Chaos，Solitons and Fractals，2006，28(5)：1196-1203.
[5] 王光義，丘水生，許志益.一個新的三維二次混沌系統(tǒng)及其電路實現[J].物理學報，2006，55(7)：3295-3301.
[6] 賈紅艷，陳增強，袁著祉.一個大范圍超混沌系統(tǒng)的生成和電路實現[J].物理學報，2009，58(7)：4469-4476.
[7] 周平，危麗佳，程雪峰.只有一個非線性項的超混沌系統(tǒng)[J].物理學報，2009，58(8)：5201-5208.