噪聲的重要特性之一就是其頻譜密度。電壓噪聲頻譜密度是指每平方根赫茲的有效(RMS) 噪聲電壓（通常單位為nV/rt-Hz）。功率譜密度" title="功率譜密度">功率譜密度的單位為W/Hz。在上一篇文章中，我們了解到電阻的熱噪聲" title="熱噪聲">熱噪聲可用方程式 2.1 計算得出。該算式經(jīng)過修改也可適用于頻譜密度。熱噪聲的重要特性之一就在于頻譜密度圖較平坦（也就是說所有頻率的能量相同）。因此，熱噪聲有時也稱作寬帶噪聲" title="寬帶噪聲">寬帶噪聲。運算放大器也存在寬帶噪聲。寬帶噪聲即為頻譜密度圖較平坦的噪聲。?

方程式 2.1：頻譜密度——經(jīng)修改后的熱噪聲方程式?

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圖 2.1：運算放大器噪聲頻譜密度?

除了寬帶噪聲之外，運算放大器常還有低頻噪聲區(qū)，該區(qū)的頻譜密度圖并不平坦。這種噪聲稱作 1/f 噪聲，或閃爍噪聲，或低頻噪聲。通常說來，1/f 噪聲的功率譜以 1/f 的速率下降。這就是說，電壓譜會以 1/f^{(1/2 )} 的速率下降。不過實際上，1/f 函數(shù)的指數(shù)會略有偏差。圖 2.1 顯示了典型運算放大器在 1/f 區(qū)及寬帶區(qū)的頻譜情況。請注意，頻譜密度圖還顯示了電流噪聲情況（單位為 fA/rt-Hz）。?

我們還應(yīng)注意到另一點重要的情況，即 1/f 噪聲還能用正態(tài)分布曲線表示，因此第一部分中介紹的數(shù)學(xué)原理仍然適用。圖 2.2 顯示了1/f 噪聲的時域情況。請注意，本圖的 X 軸單位為秒，隨時間發(fā)生較慢變化是1/f 噪聲的典型特征。?

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圖 2.2：時域所對應(yīng)的 1/f 噪聲及統(tǒng)計學(xué)分析結(jié)果?

圖 2.3 描述了運算放大器噪聲的標(biāo)準(zhǔn)模型，其包括兩個不相關(guān)的電流噪聲源" title="噪聲源">噪聲源與一個電壓噪聲源，連接于運算放大器的輸入端。我們可將電壓噪聲源視為隨時間變化的輸入偏移電壓分量，而電流噪聲源則可視為隨時間變化的偏置電流分量。?

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圖 2.3：運算放大器的噪聲模型?

運算放大器噪聲分析方法?

運算放大器噪聲分析方法是根據(jù)運放數(shù)據(jù)表上的數(shù)據(jù)計算出運放電路峰峰值輸出噪聲。在介紹有關(guān)方法的時候，我們所用的算式適用于最簡單的運算放大器電路。就更復(fù)雜的電路而言，這些算式也有助于我們大致了解可預(yù)見的噪聲輸出情況。我們也可針對這些更復(fù)雜的電路提供較準(zhǔn)確的計算公式，但其中涉及的數(shù)學(xué)計算將更為復(fù)雜。對更復(fù)雜的電路而言，或許我們最好應(yīng)采用三步走的辦法。首先，用算式進行粗略的估算；然后，采用 spice 仿真程序進行更準(zhǔn)確的估算；最后通過測量來確認結(jié)果。?

我們將以 TI OPA277 的簡單非反向放大器為例來說明有關(guān)電路的情況（見圖 2.4）。我們的目標(biāo)是測定峰峰值輸出噪聲。為了實現(xiàn)這一目的，我們應(yīng)考慮運算放大器的電流噪聲、電壓噪聲以及電阻熱噪聲。我們將根據(jù)產(chǎn)品說明書中的頻譜密度曲線來確定上述噪聲源的大小。此外，我們還要考慮電路增益與帶寬問題。?

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??????????????????? 圖 2.4：噪聲分析電路示例?

首先，我們應(yīng)了解如何將噪聲頻譜密度曲線轉(zhuǎn)換為噪聲源。為了實現(xiàn)這一目的，我們需進行微積分運算。簡單提醒一句，積分函數(shù)確定曲線下方的面積。圖 2.5 顯示，我們只須將長寬相乘（即矩形區(qū)域面積），便能獲得常數(shù)函數(shù)的積分。這種轉(zhuǎn)換頻譜密度曲線為噪聲源的關(guān)系比較簡單。

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????????????????????????????????????????? 圖 2.5：通過積分計算曲線下方面積?

人們通常會說，只有將電壓頻譜密度曲線進行積分計算，才能得到總噪聲值。事實上，我們必須對功率譜密度曲線進行積分計算。該曲線實際反映的是電壓或電流頻譜密度的平方（請記住：P = V²/R 且 P=I²R）。圖 2.6 顯示了對電壓頻譜密度曲線進行積分計算所得的奇怪結(jié)果。圖 2.7 顯示，您可將功率譜密度進行積分計算，再通過求結(jié)果的平方根將其轉(zhuǎn)換回電壓。請注意，我們由此可獲得合理結(jié)果。?

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?????????????????????????????????????? 圖 2.6：計算噪聲的不正確方法?

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?????????????????????????????????????????????????????? 圖 2.7：計算噪聲的正確方法?

通過對電壓與電流頻譜的功率譜密度曲線進行積分計算，我們可得到運算放大器模型信號源的 RMS 幅度（圖 2.3）。不過，頻譜密度曲線將分布在 1/f 區(qū)與帶低通濾波器" title="低通濾波器">低通濾波器的寬帶區(qū)（見圖 2.8）。如計算上述兩個區(qū)域的總噪聲，我們要采用微積分計算推導(dǎo)出的算式。再根據(jù)第一部分所討論的處理非相關(guān)信號源的方法，對上述兩個計算的結(jié)果做和的平方根 (RSS) 運算，對應(yīng)第一部分中提到的非相關(guān)信號源。?

首先，我們要對帶低通濾波器的寬帶區(qū)域進行積分計算。理想情況下，曲線的低通濾波器部分是一條縱向直線，我們稱之為磚墻式濾波器 (brick wall filter)。由于磚墻式濾波器情況下的曲線下方區(qū)域為矩形，因此這一區(qū)域的問題比較好解決，長乘寬即可。在實際情況下，我們不能實現(xiàn)磚墻式濾波器。不過，我們可用一組常量來將實際情況下的濾波器帶寬轉(zhuǎn)換為等效的磚墻式濾波器帶寬，以滿足噪聲計算的需要。圖 2.9 將理論磚墻式濾波器與一階、二階及三階濾波器進行了對比。?

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?????????????????????????????? 圖 2.8：帶濾波器的寬帶區(qū)?

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圖 2.9：磚墻式濾波器與實際濾波器相比較?

我們可用方程式 2.2 用于轉(zhuǎn)換實際濾波器或做磚墻式濾波器等效。表 2.1 列出了各階濾波器的換算系數(shù) (K_n)。舉例來說，一階濾波器帶寬乘以 1.57 即為磚墻式濾波器帶寬。調(diào)節(jié)后的帶寬有時也稱作噪聲帶寬。請注意，換算系數(shù)隨著濾波器階數(shù)的提升將越來越接近于1。換言之，濾波器階數(shù)越高，就越接近于磚墻式濾波器。?

方程式 2.2：寬帶區(qū)域上簡單濾波器的噪聲帶寬?

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表 2.1：磚墻式濾波器校正系數(shù)?

既然我們有了將實際濾波器轉(zhuǎn)換為磚墻式濾波器的算式，那么我們就能很方便地進行功率頻譜的積分運算了。請記住，功率的積分運算為電壓頻譜的平方。我們需將積分結(jié)果進行平方根運算轉(zhuǎn)換回電壓。方程式 2.3 即由此得出（見附錄 2.1）。因此，根據(jù)產(chǎn)品說明書中的數(shù)據(jù)套用方程式 2.2 、方程式 2.3便可計算出寬帶噪聲。?

方程式 2.3：寬帶噪聲方程式?

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我們需記住，我們的目標(biāo)是測定圖 2.3 中噪聲源 Vn 的幅度。該噪聲源包括寬帶噪聲與 1/f 噪聲。我們用方程式 2.2 與 2.3 可計算出寬帶噪聲。現(xiàn)在我們應(yīng)計算 1/f 噪聲，這就需求對噪聲頻率密度圖 1/f 區(qū)域的功率頻譜進行積分計算（如圖 2.10所示）。我們可用方程式 2.4 和 2.5 獲得有關(guān)積分結(jié)果。方程式 2.4 將 1/f 區(qū)的噪聲測量結(jié)果歸一化為 1Hz 時的噪聲。某些情況下，我們可從圖中直接讀出該數(shù)值，有時用方程式更方便求得（見圖 2.11）。方程式2.5用歸一化噪聲、上部噪聲帶寬與下部噪聲帶寬來計算 1/f 噪聲。附錄 2.2 給出了整個演算過程。

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?????????????????????????????? 圖 2.10：1/f 區(qū)域?

方程式 2.4：頻率為 1Hz 時的噪聲 （歸一化）?

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???????????????????????????????????????????? 圖 2.11：兩個 1/f 歸一化示例?

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方程式 2.5：1/f 噪聲計算?

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在考慮 1/f 噪聲時，我們必須選擇低頻截止點。這是因為 1/f 函數(shù)分母為零時無意義（即 1/0 無意義）。事實上，理論上 0 赫茲時噪聲趨近于無窮。但我們應(yīng)當(dāng)考慮到，頻率極低時，其相應(yīng)的時間也非常長。舉例來說，0.1Hz 對應(yīng)于 10 秒，而 0.001Hz則對應(yīng)于 1000 秒。對極低的頻率而言，對應(yīng)的時間有可能為數(shù)年（如 10nHz 對應(yīng)于 3 年）。頻率間隔越大，積分計算所得的噪聲就越大。不過我們也要記住，極低頻噪聲檢測需要很長時間。我們在以后的文章中將更詳細地探討此問題。目前，我們暫且記住這一點，1/f 計算時通常用 0.1Hz 作為低頻截止點。?

既然我們已得到了寬帶與 1/f 噪聲的幅度，現(xiàn)在就用第一部分給出的無相關(guān)噪聲源算式來疊加噪聲源 （見如下方程式 2.6 與本系列文章的第一部分中的方程式 1.8）。?

方程式 2.6： 1/f 與寬帶噪聲疊加結(jié)果?

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工程師考慮分析方法時通常會擔(dān)心，1/f 噪聲與寬帶噪聲是否應(yīng)在兩個不同的區(qū)域進行積分計算。換言之，他們認為，由于 1/f 噪聲與寬帶噪聲相加后會超出 1/f 區(qū)域，從而出現(xiàn)錯誤。實際上，1/f 區(qū)域與寬帶區(qū)域一樣，都涵蓋所有頻率。我們必須記住，當(dāng)噪聲頻譜顯示在對數(shù)圖上，1/f 區(qū)在降至寬帶曲線以下后影響極小。兩條曲線結(jié)合明顯的唯一區(qū)域就在 1/f 半功率頻點處。在此區(qū)域中，我們看到兩區(qū)域結(jié)合部的情況與數(shù)學(xué)模型相同。圖 2.12 顯示了兩區(qū)實際重疊的情況，并給出了相應(yīng)的幅度。?

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?????????????????? 圖 2.12：1/f 噪聲區(qū)與寬帶區(qū)重疊?

現(xiàn)在，我們已得到了將噪聲頻譜密度曲線轉(zhuǎn)換為噪聲源所需的全部方程式。請注意，現(xiàn)在我們已推算出了電壓噪聲所需的方程式，不過相同的方法也可運用于電流噪聲的計算。在本系列隨后的文章中，我們將討論用有關(guān)方程式來解決運算放大器電流的噪聲分析問題。?

本文總結(jié)與下一篇文章簡介?

在噪聲系列文章中，本文介紹了運算放大器的噪聲模型與噪聲頻譜密度曲線。此外，我們還介紹了基本的噪聲計算方程式。本系列的第三部分將用實例說明實際電路中的噪聲計算過程。?

致謝！?

特別感謝以下人員提供的技術(shù)意見?

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?TIBurr-Brown 產(chǎn)品部：?

Rod Bert，高級模擬 IC 設(shè)計經(jīng)理?

Bruce Trump，線性產(chǎn)品經(jīng)理

Tim Green，應(yīng)用工程設(shè)計經(jīng)理

Neil Albaugh，高級應(yīng)用工程師

參考書目

Robert V. Hogg 與 Elliot A Tanis 共同編著的《概率與統(tǒng)計推斷》，第三版，麥克米蘭出版公司 (Macmillan Publishing Co.)出版；?

C. D. Motchenbacher 與 J. A. Connelly 共同編著的《低噪聲電子系統(tǒng)設(shè)計》，Wiley-Interscience Publication 出版。?

關(guān)于作者：

Arthur Kay是 TI 的高級應(yīng)用工程師。他專門負責(zé)傳感器信號調(diào)節(jié)器件的支持工作。他于 1993 年畢業(yè)于佐治亞理工學(xué)院 (Georgia Institute of Technology)并獲得電子工程碩士學(xué)位。他曾在 Burr-Brown與 Northrop Grumman 公司擔(dān)任過半導(dǎo)體測試工程師。?

附錄 2.1：?

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附錄 2.2：?

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一階濾波器“磚墻”校正系數(shù)的演算過程。?

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