??? 摘 要： 回顧了多分辨率多方向性圖像表示，分析了其存在的問題，介紹了新型方向濾波器組" title="濾波器組">濾波器組即均勻方向?yàn)V波器組" title="方向?yàn)V波器組">方向?yàn)V波器組和非均勻方向?yàn)V波器組，證明了濾波器通帶條件,討論了相關(guān)的設(shè)計(jì)和實(shí)施問題，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)仿真。
??? 關(guān)鍵詞： 方向?yàn)V波器組? 虛自由支撐? 濾波器設(shè)計(jì)
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??? 在人類視覺系統(tǒng)的研究中，已證明在人類視覺感知過程中方向信息起到重要作用。因此，圖像的方向表示將是提取和理解視覺信息的第一步。景物圖像包含許多集合特征，如邊緣和紋理，而基于方向基能很好地表示這些特征。另一方面，在圖像分解中以分層方式用多分辨離散變換表示圖像數(shù)據(jù)，每層均能達(dá)到較好的效果，為由粗分辨率到細(xì)分辨率有效算法的構(gòu)造提供了有利條件。因此，多尺度和多方向性是圖像處理的重要特性。
??? 在過去的20年里，小波" title="小波">小波和濾波器組已經(jīng)有效地運(yùn)用到許多信號(hào)處理中。濾波器組及其應(yīng)用的論題在信號(hào)處理領(lǐng)域[１-２]已進(jìn)行了廣泛研究。小波應(yīng)用到圖像處理需要設(shè)計(jì)二維小波基，這種二維濾波器在逼近點(diǎn)奇異時(shí)（點(diǎn)在一個(gè)圖像中）還有效，但在逼近線奇異時(shí)（線在圖像中）就無(wú)能為力了。這是因?yàn)樾〔◤埩糠e基函數(shù)的同向性不適合處理邊界(或邊緣)。這個(gè)事實(shí)在許多研究中已得到證實(shí)，因此，尋找基于景物圖像較有效的基是當(dāng)前最具吸應(yīng)力的研究領(lǐng)域。近幾年，Candes和Donoho構(gòu)建了曲波變換，被證明它是兩變量函數(shù)的一種本質(zhì)上的最佳表示，除了在非連續(xù)C2（二階可微）曲線，該變換是平滑的。改進(jìn)的關(guān)鍵是曲波的基函數(shù)遵循類似拋物線的尺度規(guī)則，使得它能很好地適應(yīng)平滑的邊緣。由于平滑函數(shù)的空間具有C2曲線奇異，類似于景物圖像具有連續(xù)亮度值和不連續(xù)平滑曲線（邊緣），這樣一來(lái)，在離散域中尋找同樣的變換變得更為迫切。Contourlet變換是在2002年由M.N.Do和Martin Vetterli提出的。二維小波變換僅對(duì)零維或不連續(xù)的點(diǎn)有稀疏的表示，而對(duì)于輪廓線，它卻無(wú)能為力。Contourlet變換就是為了克服小波變換的這種不足而提出的，其濾波器結(jié)構(gòu)是拉普拉斯金字塔和方向?yàn)V波器組的聯(lián)合，不僅具有小波的多分辨率特性和時(shí)頻局域特性，還具有很強(qiáng)的方向性和各向異性，因此，它對(duì)輪廓等紋理線的表示很稀疏。因?yàn)閳D像是由很多短的輪廓線組合而成，Contourlet變換對(duì)圖像進(jìn)行變換后得到的系數(shù)也要比小波稀疏。因此，Contourlet變換能很好地應(yīng)用于圖像的壓縮、去噪和特征提取。但該變換盡管從方向成分中分離了低頻成分，而分離過程是在低頻段完成的不具有最大抽樣特性。針對(duì)這一問題，本文介紹一種具有最大抽樣特性的新型方向?yàn)V波器組即均勻方向?yàn)V波器組和非均勻方向?yàn)V波器組。具體介紹了最大抽樣特性所要滿足的濾波器組的虛自由支撐（可容許性）和兩種新型濾波器組及其設(shè)計(jì)方案，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)仿真。
1 濾波器組的虛自由支撐(可容許性)
??? 對(duì)于一個(gè)完全重構(gòu)(PR)濾波器組，要實(shí)現(xiàn)最大抽樣其抽樣矩陣的虛自由支撐特性（AFS）是必須具備的。如果一個(gè)二維信號(hào)x(n)以采樣矩陣M向下采樣，則向下采樣信號(hào)y(n)=x(Mn)的離散傅立葉變換[2]是：
??? 
式中，N(MT)是由矩陣MT產(chǎn)生的屬于對(duì)稱平行六面體(SPD)的所有整數(shù)格子點(diǎn)的集合。
??? 如果濾波器是理想的，又可以證明該濾波器滿足AFS特性，則濾波器是PR濾波器組。一個(gè)關(guān)于濾波器通帶條件即當(dāng)抽樣系數(shù)Ｍ抽樣時(shí)沒有混淆現(xiàn)象的定理是：
??? 定理：在[-π，π)2支撐S的區(qū)域稱為關(guān)于矩陣M的AFS，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列條件：每個(gè)點(diǎn)x∈SPD(πM-T)，存在惟一點(diǎn)y∈S、m∈Z2，則X-Y=2πM-Tm。
??? 證明：該定理是濾波器虛自由抽樣理論[2]的推廣，支撐是SPD(πM-T)的復(fù)制轉(zhuǎn)移。當(dāng)式（1）的主成分和混淆圖像間沒有重疊時(shí)，一個(gè)理想濾波器支撐在區(qū)域S關(guān)于抽樣矩陣Ｍ，滿足其AFS特性。
??? 假設(shè)式（１）的主項(xiàng)和混淆項(xiàng)間有一個(gè)重疊區(qū)域，定義區(qū)域S0={MTω|ω∈S}和S1={MTω+2πk|ω∈S，k≠0}是重疊的，則存在ω0，ω1∈S有：
??? MTω0=MTω1+2πk?????????????????????????????????????????? (2)
??? 因?yàn)?/FONT>
由定理，存在惟一的
分別與ω0和ω1對(duì)應(yīng)，則有
由SPD(πMT)映射到S的惟一性，
由式（2）可得：
??? 
??? 簡(jiǎn)而言之：
??? 
??? 由SPD(πM-T)定義和式(4)，則有(k+m1-m0)∈(-1，1)2。但所有的k、m1、m0都屬于整數(shù)格子，因此(k+m1-m0)＝０，它使得
導(dǎo)致矛盾。如果理論條件不滿足，同理可證明AFS條件將不滿足。
??? 根據(jù)上述理論，對(duì)于一個(gè)任意形狀的關(guān)于矩陣Ｍ的濾波器的一個(gè)簡(jiǎn)單虛自由抽樣測(cè)試如下：如果能找到一個(gè)支撐形狀濾波器的分區(qū)即存在mk∈Z2，以便此時(shí)分區(qū)的kth元素被2πM-Tmk所搬移，則分區(qū)搬移集合就擬合在SPD(πM-T)。這里標(biāo)注mk可以不同于分區(qū)的每個(gè)元素。
2 均勻方向?yàn)V波器組
??? 傳統(tǒng)的DFB和新的DFB對(duì)頻域的分割分別如圖1(a)、(b)、(c)所示。新的頻率分割方法來(lái)自于景物圖像的幾何特征。圖像通常有邊緣平滑區(qū)域和紋理平滑區(qū)域，紋理平滑區(qū)域在一幅圖像中方向高通子帶能提取方向信息，而低通" title="低通">低通子帶提供一個(gè)粗糙的逼近。
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??? 為了實(shí)現(xiàn)圖1(b)中八通道濾波器組的頻率分割，本文采用了一個(gè)均衡八通道濾波器組，如圖2(a)所示。該濾波器組稱為均勻方向?yàn)V波器組,該框架有許多優(yōu)點(diǎn)：(1)濾波器設(shè)計(jì)具有高度的規(guī)律性。(2)整個(gè)八通道濾波器能直接實(shí)施比二進(jìn)制樹更為緊湊的結(jié)構(gòu)。(3)方向子帶中濾波器組無(wú)直流泄漏。
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??? 圖3展示了一個(gè)測(cè)試示例，說明在新的DFB中方向子帶1滿足AFS條件?？梢钥闯?，一個(gè)兩通道組滿足容許特性。由前述定理說明新的DFB是具有最大抽樣特性的。
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3 利用非均勻DFB進(jìn)行多分辨率方向分解
??? 利用濾波器組進(jìn)行多分辨率圖像分解，是按低通系數(shù)重復(fù)同樣的濾波器組。對(duì)于一維倍頻帶多分辨率，低通濾波器的通帶支持(帶寬)是整個(gè)頻率空間的1/2。因此，二維倍頻帶多分辨率，低通濾波器的通帶支持(帶寬)是整個(gè)頻率空間的1/4。均勻DFB有兩個(gè)低頻子帶（0和4），聯(lián)合起來(lái)可獲得1/4的采樣因子。一個(gè)最好的方法是使用一個(gè)非均勻?yàn)V波器組，該濾波器具有1/4采樣因子和采樣矩陣D2的一個(gè)低通成分，如圖2(b)所示。其他的六個(gè)方向子帶采用相同的方法。非均勻DFB的頻率劃分如圖1（c）所示，其優(yōu)點(diǎn)有：類似于DWT有同樣的低通頻率支撐(-π/2，π/2)2，圖像分解代之以更加精細(xì)的水平、垂直和對(duì)角子帶。非均勻DFB使用了六個(gè)方向子帶，在分解中提供了更多的靈活性：
??? (1)要獲得一幅圖像的一個(gè)(方向的)多分辨率，可以將整個(gè)濾波器組在低通通道上重復(fù)。
??? (2)要成倍提高方向解析度，可以在高通通道的每個(gè)輸出端疊加一個(gè)具有扇形通帶的兩通道濾波器組。
4 空域優(yōu)化濾波器設(shè)計(jì)
??? 設(shè)計(jì)非分離多分辨率濾波器組是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題，通常的方法是變量轉(zhuǎn)換[3-4]?；谝痪SPR濾波器組的二維濾波器設(shè)計(jì)方法" title="設(shè)計(jì)方法">設(shè)計(jì)方法應(yīng)用到兩個(gè)以上通道較為困難。目前，還沒有系統(tǒng)的方法設(shè)計(jì)具有規(guī)則性和某種頻率特性(阻帶衰減，通帶波紋等)的二維PR濾波器組。
??? 本文中所用的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)不使用樹結(jié)構(gòu)。與其他濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)方法不同，重構(gòu)錯(cuò)誤的計(jì)算即分析和合成濾波器系數(shù)的雙線性函數(shù)是在時(shí)域進(jìn)行的，設(shè)計(jì)過程是計(jì)算過后設(shè)法減少在每步中的重構(gòu)錯(cuò)誤。該方法只通過解迭代的線性方程組設(shè)計(jì)一個(gè)PR正交或雙正交的濾波器組，就可以實(shí)現(xiàn)均勻DFB和非均勻DFB兩種情況的濾波器組的設(shè)計(jì)，并且設(shè)計(jì)很靈活。設(shè)s={1，2，3，5，6，7}是非均勻DFB情況下的方向子帶索引的集合，子帶數(shù)量M=8，則該設(shè)計(jì)能夠表示為一個(gè)優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)為：
??? 
或：
??? 
??? 式(5)和式(6)分別是均勻DFB和非均勻DFB的目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)主要由兩部分組成，構(gòu)成了PR或雙正交特性。其中，第一項(xiàng)
符合歸一化條件，只有當(dāng)兩個(gè)濾波器
??? 
??? 另外，當(dāng)分析和合成濾波器時(shí)有等同的規(guī)則性度量，具有下列線性約束[1]：
??? 
式中，r1、r2是非負(fù)整數(shù)，r1+r2
??? 迭代期間，每個(gè)濾波器組是相應(yīng)分析濾波器的時(shí)間反轉(zhuǎn)，即fj(n)=hj(-n)，由此可獲得濾波器組的正交性。為了使濾波器收斂到一個(gè)正交解，需要更新濾波器系數(shù)，即：
??? 
5 仿真實(shí)驗(yàn)
??? 本次實(shí)驗(yàn)是比較小波和非均勻?yàn)V波器組的逼近性能，將512×512大小的芭芭拉圖像分解為三層，低層用DWT，兩個(gè)高層用非均勻DFB對(duì)Barbara圖像進(jìn)行分解(該圖像同時(shí)也被“9-7”小波分解)，然后用同樣數(shù)量的最高幅度系數(shù)重構(gòu)，如圖4所示。重構(gòu)圖像使用了6 144個(gè)系數(shù)(整個(gè)圖像系數(shù)的2.3%)，結(jié)果非均勻?yàn)V波器組信噪比略高于小波，而且可以看出，前者視覺質(zhì)量要好于后者。
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??? 本文介紹了新型DFB即均勻DFB和非均勻DFB，討論了相關(guān)的設(shè)計(jì)和實(shí)施問題。這兩種DFB可以用于二維信號(hào)的多方向多分辨率表示。根據(jù)樹形結(jié)構(gòu)的頻率特性和規(guī)則性約束設(shè)計(jì)要求，得到了DFB的直接設(shè)計(jì)方法,在較高的計(jì)算代價(jià)要求下，該方法允許在高通帶設(shè)計(jì)性能較高的方向?yàn)V波器。該設(shè)計(jì)方法首次給出了多分辨率多方向二維PR濾波器保持最大分樣的特性，并且用簡(jiǎn)單的兩通道濾波器組，方向解析度就能夠得到增加，簡(jiǎn)單的設(shè)計(jì)就服從近似正交DFB，其設(shè)計(jì)結(jié)果經(jīng)圖像非線性逼近。實(shí)驗(yàn)表明，該方向?yàn)V波器組具有一定的應(yīng)用潛力。
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