??? 摘 要： 介紹了傳統(tǒng)模擬Costas環(huán)路存在的問題，通過對Costas環(huán)路原理的分析，利用連續(xù)時間域與離散時間域之間的變換關(guān)系，推導(dǎo)出Costas環(huán)路的離散模型，據(jù)此闡述了環(huán)路各模塊參數(shù)的計算及電路設(shè)計。最后利用FPGA對Costas環(huán)載波恢復(fù)電路進行了實現(xiàn)，并給出了所實現(xiàn)的RTL原理圖。
??? 關(guān)鍵詞： Costas環(huán)? 載波恢復(fù)? FPGA
?
??? Costas環(huán)路作為一種通用的BPSK載波恢復(fù)方法，其實質(zhì)是一個負反饋電路，從而決定了它具有使本地載波的相位或頻率與信號載波保持一致的能力。Costas環(huán)有許多優(yōu)良的特性，如：載波跟蹤特性、調(diào)制跟蹤特性等[1]。但是傳統(tǒng)模擬Costas環(huán)路因為存在同相支路和正交支路不平衡性及不可避免的零點漂移，均使環(huán)路的性能受到影響，同時模擬的Costas環(huán)路調(diào)試困難，而采用全數(shù)字的實現(xiàn)方式可以很好地解決以上問題。
1 二階Costas環(huán)的連續(xù)域模型
??? 圖1所示為一個二階Costas環(huán)路。其中輸入信號為：
??? 
?????????????????? 
??? 壓控振蕩器(VCO)的輸出信號分別為：
??? 
????
??? 可以證明鑒相器的輸出信號為：
??? 
?
??? 式中kd為鑒相器的靈敏度。
??? 既然是恢復(fù)本地載波，必然要使VCO輸出波形的相位同發(fā)送端波形的相位一致。由此可以建立整個環(huán)路方程[2]：
??? 
?式中：k0是VCO的靈敏度，p是微分算子，F(xiàn)(p)是環(huán)路濾波器" title="環(huán)路濾波器">環(huán)路濾波器(LF)的傳輸算子。
????因為在經(jīng)過幾個周期之后，θe將會變得很小，即有：
??? 
?
??? 所以式(5)可以改寫為：
??? 
?
??? 將式(7)進行拉氏變換以后可得到：
??? 
?
??? 由此可知Costas環(huán)的連續(xù)域模型如圖2所示。
?????????????
??? 為了達到較好的穩(wěn)態(tài)誤差及動態(tài)響應(yīng)，環(huán)路濾波器一般采用有源RC積分濾波器，其傳遞函數(shù)" title="傳遞函數(shù)">傳遞函數(shù)為：
??? 
?
??? 所以二階Costas環(huán)路在連續(xù)域中的開環(huán)傳遞函數(shù)為：
??? 
?
??? 通過引入環(huán)路固有頻率ωn和阻尼系數(shù)ξ，環(huán)路的開環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為：
??? 
?
2 二階Costas環(huán)的離散域模型
??? 利用后向差分法可以將連續(xù)時間域的數(shù)學模型變換為穩(wěn)定的離散時間域模型，即用
代替開環(huán)傳遞函數(shù)中的s，可以得到離散的開環(huán)傳遞函數(shù)：
??? 
?
???
??? 二階Costas環(huán)路的開環(huán)離散模型如圖3所示。
????????????????????? 
??? 因為VCO的離散形式就是數(shù)控振蕩器(NCO)，其數(shù)學模型為
，所以可以推導(dǎo)出環(huán)路濾波器的離散傳遞函數(shù)為：
??? 
??? 環(huán)路濾波器的數(shù)學模型如圖4所示，據(jù)此可以對環(huán)路濾波器進行設(shè)計。
????????????????????????? 
3 Costas環(huán)路的設(shè)計與仿真" title="設(shè)計與仿真">設(shè)計與仿真
??? 設(shè)計中系統(tǒng)時鐘為48MHz，作為NCO、LPF的控制時鐘。載波頻率為240kHz，在一個周期內(nèi)采樣20個點，所以采樣時鐘為4.8MHz，同時也作為乘法器" title="乘法器">乘法器的時鐘。本文所有的設(shè)計都是基于Xilinx ISE7.1i的集成開發(fā)環(huán)境與ModelSim6.1b仿真軟件。
3.1 NCO的設(shè)計
??? 數(shù)控振蕩器采用直接數(shù)字頻率合成DDFS(簡稱DDS技術(shù))設(shè)計。DDS是從相位概念出發(fā)直接合成所需波形的一種新的頻率合成技術(shù)[3]。一個直接數(shù)字頻率合成器一般由一個相位累加器、ROM波形表組成。其中相位累加器由一個N位全加器和一個N位累加寄存器級聯(lián)而成，對頻率控制字" title="控制字">控制字的二進制碼進行累加運算。在每個系統(tǒng)時鐘沿fclk的控制下，N位加法器將頻率控制字X與累加寄存器輸出的相位數(shù)據(jù)相加，把相加后的結(jié)果再送至累加寄存器，累加寄存器中新的相位數(shù)據(jù)即反饋到加法器的輸入端，以使加法器在下一個fclk時鐘周期中繼續(xù)與頻率控制字X相加，同時累加寄存器的高M位數(shù)值將作為查找ROM表中取樣數(shù)據(jù)的地址值。ROM查找表中儲存著一個完整周期的正弦波幅度信息，通過取得的采樣地址值進行查表，從ROM表中輸出相應(yīng)的波形采樣數(shù)據(jù)fout。可以證明：
????
?
??? 用VHDL對NCO進行設(shè)計時，可以分為三個子模塊，第一個是頻率控制字的載入模塊，第二個是相位累加模塊，第三個是查表模塊。
3.2 乘法器設(shè)計與仿真
??? 數(shù)字乘法器有各種實現(xiàn)方式，如Booth乘法器、Baugh-Wooley乘法器、串行并行乘法器等。各種實現(xiàn)算法的速度、資源占用情況都不一樣[4]。此處直接調(diào)用了Xilinx公司的IP Core。該乘法器是一個有符號數(shù)乘法器，且是一級流水。對于本設(shè)計兩個輸入都是8位的，輸出結(jié)果是16位。由于兩個輸入都是介于-1與+1之間的數(shù)，而在FPGA設(shè)計中采用整數(shù)定點運算，所以乘法器的最終輸出應(yīng)該除以128。圖5是乘法器的仿真輸出結(jié)果。
?????????????????????? 
3.3 低通濾波器的設(shè)計與仿真
??? 通過分析可知：低通濾波器應(yīng)該將乘法器輸出信號中480kHz的高頻濾去。由于該FIR數(shù)字濾波器的階數(shù)比較高，直接設(shè)計困難較大，所以利用Matlab中Simulink的FDAtool工具箱來設(shè)計。設(shè)計中的參數(shù)選擇如下：fs=4.8MHz，fpass=48kHz，fstop=456kHz，低通段的增益為1db，截止段的增益為-40db。按以上參數(shù)設(shè)計完成后得到一個17階的數(shù)字濾波器，其系數(shù)分別為：2、3、4、6、8、9、11、12、12、12、11、9、8、6、4、3、2，然后將這些系數(shù)下載到一個ROM存儲器中。最終的仿真輸出結(jié)果如圖6所示，由圖可知濾波效果非常好。
?????????????????????? 
3.4 環(huán)路濾波器的設(shè)計
??? 根據(jù)圖4所示環(huán)路濾波器的離散模型，可以直接用VHDL進行描述。離散域內(nèi)的IIR濾波器由一個帶反饋的一級流水線的累加器和一個一級流水線的加法器組成。兩個和系數(shù)相乘的乘法器將簡化為數(shù)據(jù)寄存器的左移和右移，設(shè)計關(guān)鍵點是對k1、k2兩個參數(shù)進行計算?？紤]到整個環(huán)路的增益、量化、擴位以及進一步的計算，最終取k1=64，k2=2。具體推導(dǎo)見參考文獻[5]。
??? 圖7是整個Costas環(huán)在FPGA上實現(xiàn)以后的頂層RTL原理圖。
?????????????????????? 
??? 圖8為載波跟蹤的仿真輸出。由圖可見在經(jīng)過有限個載波周期之后，本地恢復(fù)波形就與載波的相位對準，由于載波頻率為240kHz，可以知道即使在經(jīng)過240周期之后二者相位才對準，載波恢復(fù)的時間仍然能夠達到1ms，所以具有很好的快速跟蹤性能。
???????????????????????? 
??? 利用現(xiàn)代EDA技術(shù)將原先用分立元件實現(xiàn)的模擬Costas環(huán)集成在一塊Xilinx Spartan-3 XC3S400 FPGA器件上面，不僅提高了系統(tǒng)的可靠性，而且由于FPGA自身的可重配置性，使得采用FPGA進行設(shè)計具有設(shè)計靈活性，用戶可以在不改變外部設(shè)計的情況下，根據(jù)需要非常方便地改變Costas環(huán)路的跟蹤頻率帶寬，隨時優(yōu)化、擴展電路的功能，系統(tǒng)整體柔性得到提高。
參考文獻
[1] Roland E Best．Phase-Locked Loops?Design，Simulation and Applications．北京：清華大學出版社，2003.
[2] 王福昌，魯昆生.鎖相技術(shù).武漢：華中科技大學出版社，1997.
[3] MORELLI D．Modulating Direct Digital Synthesizer in a?Quciklogic FPGA.http：//www.ieechina.com
[4] 張欣．VLSI數(shù)字信號處理——設(shè)計與實現(xiàn)．北京：科學出版社，2003.
[5] 張欣．擴頻通信數(shù)字基帶信號處理算法及其VLSI實現(xiàn).北京：科學出版社，2004.