0 引言

    三維集成技術(shù)主要利用芯片之間的硅通孔(Through Silicon Via，TSV)垂直互連來實(shí)現(xiàn)立體堆疊芯片間的互連，以降低互連延遲、提高電路性能，從而使集成電路和系統(tǒng)集成度不斷提升的發(fā)展趨勢得以延續(xù)^[1-3]，成為拓展摩爾定律并實(shí)現(xiàn)微系統(tǒng)集成的主要方式^[4-5]。

    隨著三維集成技術(shù)的發(fā)展，芯片疊層內(nèi)的TSV數(shù)量越來越多，鄰近效應(yīng)對TSV電阻的影響越來越大，進(jìn)而使TSV上的信號衰減變大，影響系統(tǒng)性能。因此，對TSV導(dǎo)體陣列交流電阻的分析成為三維集成電互連設(shè)計與分析技術(shù)領(lǐng)域的重要課題。

    國內(nèi)外學(xué)者對鄰近效應(yīng)下導(dǎo)體交流電阻進(jìn)行了研究。FILIPOVIC D等對帶有屏蔽層的三相線間的鄰近效應(yīng)進(jìn)行了研究^[6]，利用級數(shù)展開法和點(diǎn)匹配法計算了三相線的交直流電阻比以及屏蔽層的功率損耗。趙文生等利用部分元等效電路法對高密度硅通孔陣列的交流電阻進(jìn)行了求解，得到硅通孔陣列的阻抗矩陣^[7]。

    本文提出了一種計算TSV陣列交流電阻的方法，該方法在對TSV橫截面剖分和確定剖分節(jié)點(diǎn)電流強(qiáng)度的基礎(chǔ)上，利用三角單元插值來計算TSV的交流功耗，通過交直流功耗比計算TSV的交直流電阻比，進(jìn)而得出鄰近效應(yīng)下TSV的交流電阻。該方法可以實(shí)現(xiàn)對任意規(guī)模、任意排布方式、不同電流頻率及電流強(qiáng)度激勵下的TSV陣列的交流電阻的計算。利用MATLAB編程對算法進(jìn)行仿真，并將數(shù)值結(jié)果與商用求解器ANSYS Q3D的結(jié)果進(jìn)行對比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法的結(jié)果是可信的，且算法性能較好。

1 電流分布的計算及圖形剖分介紹

    計算TSV導(dǎo)體陣列電流分布示意圖如圖1所示。

    圖1中，M為待求電流強(qiáng)度的點(diǎn)，O點(diǎn)為TSV圓心，P點(diǎn)為待求電流分布的TSV內(nèi)任意一點(diǎn)。假定陣列中TSV的間距足夠大，所以外部TSV的電流分布對目標(biāo)TSV電流分布的影響，可以等效為其中心處總電流對目標(biāo)TSV電流分布的影響，則TSV內(nèi)部的電流分布為^[8]：

式中其中σ為TSV的電導(dǎo)率，f為電流的頻率，μ₀為真空磁導(dǎo)率；I_k、r_wk、S_k、r_k分別為編號為k的TSV的總電流大小、導(dǎo)體半徑、橫截面面積、待求點(diǎn)到圓心的距離；J_n(x)為n階貝塞爾函數(shù)；j代表復(fù)數(shù)的虛部；θ為待求點(diǎn)相對水平方向的夾角；為TSV中心連線與水平方向的夾角。

    TSV橫截面的三角剖分單元采用網(wǎng)格剖分工具DistMesh^[9]生成，DistMesh剖分后返回三角單元的頂點(diǎn)連接關(guān)系及頂點(diǎn)的坐標(biāo)信息。對TSV橫截面采用均勻剖分的結(jié)果如圖2所示。

2 交流電阻的計算

    鄰近效應(yīng)可以導(dǎo)致TSV電阻的增長，從而增加其功率損耗。電阻的增長可以通過交直流電阻比來衡量，如式(2)所示：

其中r為TSV半徑，S為積分區(qū)域，i(x，y)為TSV的電流密度分布。從式(2)的形式可以看出交直流電阻比即交直流功耗比，與電流分布相關(guān)。由于對電流強(qiáng)度i(x，y)直接做積分運(yùn)算比較困難，因此，將計算區(qū)域進(jìn)行離散，分別計算每個剖分單元的值，然后將所有單元的值求和進(jìn)而得到分子、分母積分表達(dá)式的近似值，如式(3)所示：

式中n為三角單元的個數(shù)，S_Δk為第k個三角單元的積分區(qū)域，單元內(nèi)部的電流強(qiáng)度分布利用插值法計算。

    以圖3所示的三角單元為例，設(shè)A、B、C三點(diǎn)的電流強(qiáng)度分別為i_A、i_B、i_C，則P點(diǎn)的電流強(qiáng)度值為^[10]：

    由于面積表達(dá)式中包含絕對值符號，因此對上述積分表達(dá)式進(jìn)行處理，推導(dǎo)其可積的變換形式。以三角單元ΔPAB為例，其三個頂點(diǎn)構(gòu)成的行列式為二元初等函數(shù)為：

    上式在定義域R內(nèi)處處可微，且S_ΔPAB的值大于0。假設(shè)上式值的符號在ΔABC中有變化，根據(jù)處處可微可知，在ΔABC內(nèi)部存在一點(diǎn)P使得S_ΔPAB的值為0，這與S_ΔPAB>0相悖，因此式(10)在ΔABC內(nèi)部符號不變，有如下積分關(guān)系：

    對ΔABC內(nèi)動點(diǎn)P做積分運(yùn)算時需對單元進(jìn)行區(qū)域劃分，取頂點(diǎn)中x坐標(biāo)值為中間值的頂點(diǎn)為起始點(diǎn)，做與水平方向垂直的線段，線段將三角單元劃分為左右兩個積分區(qū)域，如圖4所示。

    三角單元中邊AB、AC、BC在平面直角坐標(biāo)系中表達(dá)式分別為：

    因此有：

    當(dāng)所有積分項(xiàng)的值確定后，即可得到TSV的交直流功耗比，進(jìn)而得出其交直流電阻比，已知TSV的直流電阻為：

3 算法的實(shí)現(xiàn)

    利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)了計算導(dǎo)體的交直流電阻比的算法。

    計算TSV陣列交直流電阻比的算法偽代碼如下：

    這里假設(shè)所有的輸入?yún)?shù)都是合法的，輸入?yún)?shù)中R為TSV半徑的集合，I為TSV的激勵電流大小的集合，f為激勵電流的頻率，O(x，y)為TSV中心坐標(biāo)的集合。輸出參數(shù)Ratio為交直流電阻比集合。代碼中第(3)步為對TSV橫截面的三角剖分，剖分完畢后返回頂點(diǎn)坐標(biāo)矩陣q和頂點(diǎn)編號矩陣t，q中每一行記錄了頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)x和縱坐標(biāo)y，t中每一行記錄了三角單元的頂點(diǎn)序號，該序號與q中的行號一一對應(yīng)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

    本節(jié)針對均勻排布的TSV陣列的交流電阻進(jìn)行分析，在同頻同相的激勵電流下，分別給出了趨膚效應(yīng)下的交直流電阻比及趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)共同影響下的交直流電阻比，并對不同位置的TSV的交直流電阻比之間的差異進(jìn)行了分析，陣列模型示意圖如圖5所示。

    陣列的基本參數(shù)為：導(dǎo)體半徑15 μm，金屬材料為銅，電流大小0.01 mA，電流頻率1 GHz。

    首先設(shè)定陣列的間距為100 μm，利用上一節(jié)推導(dǎo)的結(jié)果，計算陣列交直流電阻比，結(jié)果如圖6所示。

    圖6(a)為考慮趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)下的交直流電阻比，圖中橫軸下的數(shù)字代表TSV的編號。

    圖6(b)為只考慮趨膚效應(yīng)時的交直流電阻比，由于是均勻陣列，因此趨膚效應(yīng)下的電阻比相同；但在考慮鄰近效應(yīng)時，由于不同位置的導(dǎo)體受到總的影響不同，因此交直流電阻比值不同。從圖6中可以看出，圖6(a)中間導(dǎo)體的電阻比值與圖6(b)中的相當(dāng)，這是因?yàn)橛捎趯?dǎo)體陣列的對稱性，中間導(dǎo)體所受鄰近效應(yīng)的影響互相抵消；而處在邊角處的1、3、7、9號導(dǎo)體受到鄰近效應(yīng)相疊加，其影響相對顯著，電流分布集中在外側(cè)的角落中，所以交直流電阻比是陣列中最高的。

    現(xiàn)將TSV的間距縮小為50 μm，以觀察交直流電阻比的變化，結(jié)果如圖7所示。

    圖7(a)為考慮趨膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng)下的交直流電阻比，圖7(b)為只考慮趨膚效應(yīng)時的交直流電阻比。從圖中可以看出，由于間距的縮小，鄰近效應(yīng)更加顯著，陣列四角處導(dǎo)體的交直流電阻比增大。然而趨膚效應(yīng)不受間距的影響。圖7(a)中，由于導(dǎo)體陣列的對稱性，中央的導(dǎo)體所受到的鄰近效應(yīng)相互抵消，因此其交直流電阻比基本沒有上升，而其余導(dǎo)體的交直流電阻比值有所增加。

5 算法有效性的驗(yàn)證

    本節(jié)以鄰近的兩個TSV為例，將本文算法的解和有限元法商用電磁場求解軟件ANSYS Q3D的仿真結(jié)果進(jìn)行對比，來驗(yàn)證算法求解的可信性。

    圖8給出了不同頻率下交直流電阻比值的對比。求解參數(shù)為：TSV半徑15 μm，TSV間距100 μm，TSV高度200 μm，電流激勵0.01 mA，電流頻率1 GHz~5 GHz，TSV金屬材料為銅。圖中結(jié)果誤差小于3%，曲線基本擬合。

    圖9給出了不同TSV間距下交直流電阻比值的對比。求解參數(shù)為：TSV半徑15 μm，TSV高度200 μm，TSV間距100 μm~200 μm，電流激勵0.01 mA，電流頻率1 GHz，TSV金屬材料為銅。圖中結(jié)果誤差小于4%，曲線走勢基本相同。

    誤差的主要來源為本文采用插值法計算TSV的功耗，功耗為一近似值，而TSV的交直流電阻比由交直流功耗比計算得出，因此結(jié)果存在一定的偏差。

6 求解時間及內(nèi)存使用情況對比

    為檢驗(yàn)算法的求解效率及資源消耗情況，將本文算法的求解時間和內(nèi)存使用情況與ANSYS Q3D進(jìn)行對比。求解參數(shù)為：TSV半徑15 μm，TSV間距100 μm，電流激勵0.01 mA，電流頻率1 GHz，TSV金屬材料為銅， ANSYS Q3D中TSV高度200 μm。求解時間對比見表1。

    從對比結(jié)果來看，本文算法的求解效率較高于商業(yè)求解器ANSYS Q3D。

    求解時內(nèi)存使用情況對比見表2。

    對比結(jié)果表明，本文算法的內(nèi)存使用量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于商用求解器ANSYS Q3D的結(jié)果。這主要是因?yàn)楸疚乃惴ㄊ窃诙S平面內(nèi)進(jìn)行求解，且只需計算并存儲剖分單元頂點(diǎn)處的電流強(qiáng)度，內(nèi)存空間的消耗比較小。

7 結(jié)束語

    本文提出了一種基于重心插值法計算TSV陣列交流電阻的方法，推導(dǎo)出了三角單元交流功耗計算表達(dá)式，從而將交直流電阻比表達(dá)式中的積分運(yùn)算簡化為代數(shù)運(yùn)算，進(jìn)而使TSV交流電阻的計算成為可能。利用該方法研究了鄰近效應(yīng)對TSV陣列交流電阻的影響，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在同頻同相的激勵電流下，陣列邊緣處的TSV交流電阻最大?；诖硇运憷瑢⒈疚乃惴ǖ慕Y(jié)果與商用軟件的分析結(jié)果對比，二者結(jié)果的誤差在5%內(nèi)，證明算法求解結(jié)果是可信的。最后，將本文算法的求解時間和內(nèi)存使用情況與商用求解器進(jìn)行了對比，結(jié)果表明本文算法的性能優(yōu)于商用求解器。基于該算法，可構(gòu)建三維系統(tǒng)級封裝設(shè)計平臺中的設(shè)計快速驗(yàn)證專用模塊。

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作者信息:

趙景龍，繆  旻

（北京信息科技大學(xué) 信息微系統(tǒng)研究所，北京100101）