熊濤

　　(南京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京 210023)

       摘要：基于非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論，以非完整移動(dòng)機(jī)器人為研究對象，研究多剛體系統(tǒng)的一致性問題，提出了一種新的分布式控制器。通過引入持續(xù)激勵(lì)擾動(dòng)項(xiàng)，驗(yàn)證了無論參考信號(hào)是否為持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，所提出的控制器都能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)一致性的目的，且能一致到期望的參考值。利用李雅普諾夫方法對系統(tǒng)進(jìn)行了穩(wěn)定性分析。最后，對所提控制器進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)果驗(yàn)證了所提出的控制器的有效性。

　　關(guān)鍵詞：非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)；多剛體系統(tǒng)；持續(xù)激勵(lì)；非完整移動(dòng)機(jī)器人

0引言

　　多剛體系統(tǒng)的一致性控制在多機(jī)器人合作控制、交通車輛控制、無人機(jī)編隊(duì)和網(wǎng)絡(luò)資源分配等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。多剛體系統(tǒng)姿態(tài)同步的控制方法主要包括：主從式控制法、基于行為的控制法以及虛擬結(jié)構(gòu)控制法。文獻(xiàn)［1］中，WANG P K和HADAEGH F Y提出了主從式（LeaderFollower）控制法，該控制方法將同步問題轉(zhuǎn)化為一般的跟蹤問題，優(yōu)點(diǎn)是可以單獨(dú)分析某個(gè)剛體的跟蹤性能，而缺點(diǎn)是一旦Leader發(fā)生故障或失效，其他剛體將失去參考信號(hào)，無法完成同步目標(biāo)，造成系統(tǒng)混亂。文獻(xiàn)［1］作為該領(lǐng)域的開創(chuàng)性成果，研究了多領(lǐng)導(dǎo)者情況下的多剛體姿態(tài)協(xié)調(diào)控制，運(yùn)用了近鄰控制器的概念，使系統(tǒng)達(dá)到了全局漸近穩(wěn)定。BALCH T和ARKIN R C提出了基于行為（Behaviourbased）的控制法［2］，根據(jù)相鄰剛體的姿態(tài)變化來調(diào)整自身的變化，優(yōu)點(diǎn)是某個(gè)剛體的故障或失效并不會(huì)影響到整個(gè)剛體群的運(yùn)動(dòng)，而只是影響相鄰剛體的運(yùn)動(dòng)。文獻(xiàn)［3］憑借局部信息交換，設(shè)計(jì)有效的控制律，解決了一隊(duì)剛體的姿態(tài)對齊問題。 REN W和BEARD R W提出了虛擬結(jié)構(gòu)（Virtual Structure）控制法［4］，假設(shè)剛體群中存在虛擬的單個(gè)剛體，每個(gè)剛體都根據(jù)該虛擬剛體調(diào)整自身的姿態(tài)。文獻(xiàn)［4］中提出的集中式虛擬結(jié)構(gòu)法使剛體群依賴于唯一的虛擬剛體，容易使其成為單個(gè)失效點(diǎn)，而文獻(xiàn)［5-7］提出的分布式虛擬結(jié)構(gòu)法則避免了該缺點(diǎn)。因此，后來的姿態(tài)同步問題多運(yùn)用分布式控制法。本文針對平面二維多剛體系統(tǒng)，基于圖論、非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論和非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論等方法，對多剛體系統(tǒng)的一致性控制問題進(jìn)行探討。

　　符號(hào)說明:令R表示實(shí)數(shù)集合，Rn表示n維實(shí)數(shù)列向量集合，Rm×n表示m×n實(shí)數(shù)矩陣集合，xT表示實(shí)數(shù)向量x的轉(zhuǎn)置，diag{x1,x2,…,xN}表示對角元素為x1,x2,…,xN的對角矩陣，IN表示N階單位矩陣，G表示圖。

1問題描述

　　本文以非完整移動(dòng)機(jī)器人為研究對象，考慮由N個(gè)具有相同機(jī)械結(jié)構(gòu)的非完整移動(dòng)機(jī)器人組成的系統(tǒng)，運(yùn)動(dòng)方程由以下方程組表示：

　　其中，i=1,2,…,N。當(dāng)i=d時(shí)，表示移動(dòng)機(jī)器人組的期望參考軌跡，ud、ωd是已知的時(shí)變函數(shù)。根據(jù)相關(guān)圖論知識(shí)，這N個(gè)移動(dòng)機(jī)器人可以表示為圖G=(V,E)的N個(gè)節(jié)點(diǎn)。通過輸入和狀態(tài)的轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)(1)可被轉(zhuǎn)化為如下級(jí)聯(lián)形式：

　　其中，xi1=θi，xi2=xi，xi3=yi，ui1=ωi，ui2=uicosθi。當(dāng)i=d時(shí)，表示參考機(jī)器人方程的級(jí)聯(lián)形式。

　　根據(jù)上述系統(tǒng)模型，控制目標(biāo)可以概括為：對于每一個(gè)追隨者，基于其本身及其鄰居的狀態(tài)，設(shè)計(jì)一個(gè)控制器，使系統(tǒng)中的機(jī)器人狀態(tài)達(dá)到一致，且都一致于期望狀態(tài)。但是在實(shí)際情況中，由于外部干擾、通信時(shí)延等因素的影響，要達(dá)到理想的一致是比較困難的，因此，實(shí)際的控制目標(biāo)為：在合適的控制器和通信拓?fù)湎?，系統(tǒng) (1) 中所有機(jī)器人的狀態(tài)收斂到期望值的一個(gè)鄰域內(nèi)，即對系統(tǒng)(2)設(shè)計(jì)控制律使得：

　　其中，i，j=1,2,…,N，ε是一個(gè)大于0的常數(shù)，代表誤差范圍。

　　系統(tǒng)(1)寫成矩陣形式為：

　　根據(jù)李代數(shù)相關(guān)秩的條件［8］，很容易證明系統(tǒng) (5) 是可控的。然而，一個(gè)無漂移常規(guī)系統(tǒng)光滑穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)輸入的數(shù)量等于狀態(tài)的數(shù)量，因此，找不到靜態(tài)光滑或連續(xù)的反饋控制器來穩(wěn)定系統(tǒng) (1) 。查閱文獻(xiàn)［9］可知，運(yùn)用線性時(shí)不變連續(xù)狀態(tài)反饋可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的一致性。本節(jié)接下來將會(huì)研究已知期望參考軌跡的多剛體系統(tǒng)的一致性問題。

2控制律設(shè)計(jì)

　　基于前述級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的形式及前期工作中已有的控制律：

　　其中，k0>0,k1>0是正常數(shù)，aij是系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖的鄰接矩陣的元素，aij=1表示剛體i可以接收剛體j的狀態(tài)信息，ai0=1表示剛體i可以接收參考剛體的狀態(tài)信息；相反地，aij=0和ai0=0表示剛體i和剛體j以及參考剛體之間沒有通信，無法得知它們的狀態(tài)信息。

　　結(jié)合協(xié)調(diào)控制律ui2：

　　其中，k2>0，k3>0是正常數(shù)。

　　通過仿真研究可以看到，所有狀態(tài)無法都達(dá)到一致，這說明基于積分器系統(tǒng)或線性系統(tǒng)的一致性結(jié)果不能直接沿用到非完整移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)中?；诖耍疚尼槍煞N不同期望的參考信號(hào)重新設(shè)計(jì)了控制律。

　　定義1［10］：存在正常數(shù)α1、α2和δ使以下不等式對所有t>0成立：

　　則稱ud為持續(xù)激勵(lì)。

　　(1)控制律ui1的設(shè)計(jì)

　　當(dāng)ud1是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)時(shí)，顯然，系統(tǒng)(1)的所有狀態(tài)都是可控的。仍然采用控制器(6)來控制(1)的第一個(gè)子系統(tǒng)。

　　當(dāng)ud1→0（或甚至ud1=0）時(shí)，首先定義剛體i與其鄰居之間的平均距離為：

　　構(gòu)造控制律ui1如下：

　　(2)控制律ui2的設(shè)計(jì)

　　首先，定義矩陣,…基于非完整移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)控制方面的研究結(jié)果，無論ui1收斂到持續(xù)激勵(lì)信號(hào)或者是零，構(gòu)造如下控制律：

　　其中，L∈Rn×n是系統(tǒng)無向連通圖的Laplacian矩陣。

　　從公式(11)的結(jié)構(gòu)可以看出，如果ud1→0（或甚至ud1=0），那么所有xi1達(dá)到一致的速度快于Z2和Z3的一致速度，所以狀態(tài)xi3將達(dá)不到一致。但由于控制律ui1設(shè)計(jì)時(shí)引入的持續(xù)激勵(lì)擾動(dòng)項(xiàng)ksin(t)，使系統(tǒng)保持可控，此時(shí)，運(yùn)用所提出的控制律ui2可以使所有狀態(tài)變量都達(dá)到一致。

3穩(wěn)定性分析

　　定理1如果φ(t)是一個(gè)持久激勵(lì)信號(hào)，k2>0和k3>0是常數(shù)，且是系統(tǒng)無向連通圖的Laplacian矩陣，那么系統(tǒng)：

　　將達(dá)到指數(shù)一致。

　　證明：考慮無向圖G的Laplacian勢能相關(guān)函數(shù)作為Lyapunov函數(shù)：

　　當(dāng)G是連通圖時(shí)，上式為半正定，對其求導(dǎo)得：

　　可以看出，其導(dǎo)數(shù)為負(fù)半定。

　　由于φ(t)是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，因此易得到LZ3=0。所以，的最大不變集為：

　　根據(jù)LaSalle不變集原理以及穩(wěn)定性理論，［Z2,Z3］T指數(shù)收斂到將達(dá)到指數(shù)一致。

　　定理2(當(dāng)ud1是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)時(shí)的一致性定理)假設(shè)系統(tǒng)通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是無向連通的，且至少有一個(gè)剛體能接收參考信號(hào)xd1的信息，則系統(tǒng)(1)在控制器(8)和(13)的控制下能達(dá)到一致。

　　證明：在控制器(6) 和(11)的控制下，閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成如下形式：

　　將系統(tǒng)(16)中的ui1用ud1來替代，則系統(tǒng)(16)可視作系統(tǒng)：

　　被

　　級(jí)聯(lián)，級(jí)聯(lián)項(xiàng)為：

　　(1)如果系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是連通的，且至少有一個(gè)剛體可以接收參考信號(hào)系統(tǒng)(2)的信息，則子系統(tǒng)將指數(shù)一致到ud1。

　　(2)根據(jù)定理1，當(dāng)ud1是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)時(shí)，子系統(tǒng)(18)將達(dá)到指數(shù)一致。

　　(3)級(jí)聯(lián)項(xiàng)(20)滿足［Z2,Z3］T的線性增長條件。

　　那么，基于以上3個(gè)條件，并根據(jù)非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)的理論［10-12］，系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是聯(lián)通的，且至少有一個(gè)剛體可以接收參考信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)中的N個(gè)剛體在控制器(6)和(11)的控制下能夠達(dá)到期望的一致。

　　定理3（當(dāng)ud1→0（或ud1=0）時(shí)的一致性定理）假設(shè)系統(tǒng)通信拓?fù)涫菬o向連通的，且至少有一個(gè)剛體能接收xd1的信息，則系統(tǒng)(1)在控制器(10)和(11)的控制下達(dá)到一致。

　　證明:

　　(1)當(dāng)ρi≥ε時(shí)

　　這種情況下，在控制器ui1的設(shè)計(jì)中引入持久激勵(lì)信號(hào)來保證整個(gè)系統(tǒng)的可控性，例如控制器(10)中的ksin(t)。對于子系統(tǒng)(19)，在連通通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下，ui1將收斂到ksin(t)。對于子系統(tǒng)，在控制器(10)的控制下，根據(jù)非自治系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)理論，以及φ(t)=ksin(t)時(shí)定理1的指數(shù)一致結(jié)果，可得出ρi<ε。

　　(2)當(dāng)ρi<ε時(shí)

　　在這種情況下，系統(tǒng)的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是連通的，且至少有一個(gè)剛體能接收參考信號(hào)，當(dāng)ρi在ε領(lǐng)域內(nèi)自由取值時(shí)，系統(tǒng)(19)能收斂到原始的參考信號(hào)。那么，在控制器(10)和(11)控制下，多剛體系統(tǒng)的實(shí)際一致性問題得到解決。

　　基于定理2和定理3，通過證明可知，在重新設(shè)計(jì)的控制器中，無論ud1是否是持續(xù)激勵(lì)信號(hào)，多剛體系統(tǒng)都能達(dá)到一致性。

4仿真結(jié)果

　　本節(jié)將所提出的控制器與前期工作所設(shè)計(jì)的控制器進(jìn)行比較。在現(xiàn)有的控制律(6)和(7)下，基于無向連通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，k0=1,k1=1,k2=5,k3=6。從圖1中可以看到，無法讓第三個(gè)狀態(tài)達(dá)到一致。

　　由于參考信號(hào)趨于零的情況下非完整移動(dòng)機(jī)器人系統(tǒng)的一致性研究較少，為了闡述本文所提出的控制器的有效性，以下將進(jìn)行兩種不同參考信號(hào)的仿真。

　?。?）ud1=0

　　選取系數(shù)：k0=1,k1=1,k2=5,k3=6，誤差范圍為：ε=0.000 01。系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

　　基于定理3中提出的一致性協(xié)議，仿真結(jié)果顯示如圖2~圖5，從圖中可以看到，每個(gè)機(jī)器人狀態(tài)都能達(dá)到一致。

　?。?）ud1=3sin (0.2t)

　　這種情況下，參考信號(hào)為一個(gè)持久曲線信號(hào)，取k0=8,k1=1,k2=5,k3=6，系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

　　仿真結(jié)果如圖6~圖9，基于定理2中的一致性協(xié)議，仿真結(jié)果表明每個(gè)剛體都能達(dá)到一致，從運(yùn)動(dòng)軌跡圖中可以看到，所有的剛體最后都收斂到一起，并呈一定的曲線運(yùn)動(dòng)，從仿真圖中可以看出本文所提控制器能有效實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)一致性。

5結(jié)論

　　本文利用非自治級(jí)聯(lián)系統(tǒng)理論，提出了一種具備無論系統(tǒng)參考信號(hào)是否為持續(xù)激勵(lì)信號(hào)都能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)一致性的分布式控制器。該控制器的設(shè)計(jì)通過在控制律中引入持續(xù)激勵(lì)擾動(dòng)項(xiàng)，改善了前期工作的缺點(diǎn)，在參考信號(hào)不為持續(xù)激勵(lì)信號(hào)時(shí)，也能讓系統(tǒng)達(dá)到一致性。最后，將所提控制方法應(yīng)用到兩種不同參考信號(hào)的情況中，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提出的控制方法的有效性。

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