熊濤

　　(南京郵電大學 自動化學院，江蘇 南京 210023)

       摘要：基于非自治級聯(lián)系統(tǒng)理論，以非完整移動機器人為研究對象，研究多剛體系統(tǒng)的一致性問題，提出了一種新的分布式控制器。通過引入持續(xù)激勵擾動項，驗證了無論參考信號是否為持續(xù)激勵信號，所提出的控制器都能實現(xiàn)系統(tǒng)一致性的目的，且能一致到期望的參考值。利用李雅普諾夫方法對系統(tǒng)進行了穩(wěn)定性分析。最后，對所提控制器進行數(shù)值仿真，結果驗證了所提出的控制器的有效性。

　　關鍵詞：非自治級聯(lián)系統(tǒng)；多剛體系統(tǒng)；持續(xù)激勵；非完整移動機器人

0引言

　　多剛體系統(tǒng)的一致性控制在多機器人合作控制、交通車輛控制、無人機編隊和網(wǎng)絡資源分配等領域有著廣泛的應用。多剛體系統(tǒng)姿態(tài)同步的控制方法主要包括：主從式控制法、基于行為的控制法以及虛擬結構控制法。文獻［1］中，WANG P K和HADAEGH F Y提出了主從式（LeaderFollower）控制法，該控制方法將同步問題轉化為一般的跟蹤問題，優(yōu)點是可以單獨分析某個剛體的跟蹤性能，而缺點是一旦Leader發(fā)生故障或失效，其他剛體將失去參考信號，無法完成同步目標，造成系統(tǒng)混亂。文獻［1］作為該領域的開創(chuàng)性成果，研究了多領導者情況下的多剛體姿態(tài)協(xié)調控制，運用了近鄰控制器的概念，使系統(tǒng)達到了全局漸近穩(wěn)定。BALCH T和ARKIN R C提出了基于行為（Behaviourbased）的控制法［2］，根據(jù)相鄰剛體的姿態(tài)變化來調整自身的變化，優(yōu)點是某個剛體的故障或失效并不會影響到整個剛體群的運動，而只是影響相鄰剛體的運動。文獻［3］憑借局部信息交換，設計有效的控制律，解決了一隊剛體的姿態(tài)對齊問題。 REN W和BEARD R W提出了虛擬結構（Virtual Structure）控制法［4］，假設剛體群中存在虛擬的單個剛體，每個剛體都根據(jù)該虛擬剛體調整自身的姿態(tài)。文獻［4］中提出的集中式虛擬結構法使剛體群依賴于唯一的虛擬剛體，容易使其成為單個失效點，而文獻［5-7］提出的分布式虛擬結構法則避免了該缺點。因此，后來的姿態(tài)同步問題多運用分布式控制法。本文針對平面二維多剛體系統(tǒng)，基于圖論、非自治級聯(lián)系統(tǒng)理論和非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論等方法，對多剛體系統(tǒng)的一致性控制問題進行探討。

　　符號說明:令R表示實數(shù)集合，Rn表示n維實數(shù)列向量集合，Rm×n表示m×n實數(shù)矩陣集合，xT表示實數(shù)向量x的轉置，diag{x1,x2,…,xN}表示對角元素為x1,x2,…,xN的對角矩陣，IN表示N階單位矩陣，G表示圖。

1問題描述

　　本文以非完整移動機器人為研究對象，考慮由N個具有相同機械結構的非完整移動機器人組成的系統(tǒng)，運動方程由以下方程組表示：

　　其中，i=1,2,…,N。當i=d時，表示移動機器人組的期望參考軌跡，ud、ωd是已知的時變函數(shù)。根據(jù)相關圖論知識，這N個移動機器人可以表示為圖G=(V,E)的N個節(jié)點。通過輸入和狀態(tài)的轉化，系統(tǒng)(1)可被轉化為如下級聯(lián)形式：

　　其中，xi1=θi，xi2=xi，xi3=yi，ui1=ωi，ui2=uicosθi。當i=d時，表示參考機器人方程的級聯(lián)形式。

　　根據(jù)上述系統(tǒng)模型，控制目標可以概括為：對于每一個追隨者，基于其本身及其鄰居的狀態(tài)，設計一個控制器，使系統(tǒng)中的機器人狀態(tài)達到一致，且都一致于期望狀態(tài)。但是在實際情況中，由于外部干擾、通信時延等因素的影響，要達到理想的一致是比較困難的，因此，實際的控制目標為：在合適的控制器和通信拓撲下，系統(tǒng) (1) 中所有機器人的狀態(tài)收斂到期望值的一個鄰域內，即對系統(tǒng)(2)設計控制律使得：

　　其中，i，j=1,2,…,N，ε是一個大于0的常數(shù)，代表誤差范圍。

　　系統(tǒng)(1)寫成矩陣形式為：

　　根據(jù)李代數(shù)相關秩的條件［8］，很容易證明系統(tǒng) (5) 是可控的。然而，一個無漂移常規(guī)系統(tǒng)光滑穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)輸入的數(shù)量等于狀態(tài)的數(shù)量，因此，找不到靜態(tài)光滑或連續(xù)的反饋控制器來穩(wěn)定系統(tǒng) (1) 。查閱文獻［9］可知，運用線性時不變連續(xù)狀態(tài)反饋可以實現(xiàn)系統(tǒng)的一致性。本節(jié)接下來將會研究已知期望參考軌跡的多剛體系統(tǒng)的一致性問題。

2控制律設計

　　基于前述級聯(lián)系統(tǒng)的形式及前期工作中已有的控制律：

　　其中，k0>0,k1>0是正常數(shù)，aij是系統(tǒng)通信拓撲結構圖的鄰接矩陣的元素，aij=1表示剛體i可以接收剛體j的狀態(tài)信息，ai0=1表示剛體i可以接收參考剛體的狀態(tài)信息；相反地，aij=0和ai0=0表示剛體i和剛體j以及參考剛體之間沒有通信，無法得知它們的狀態(tài)信息。

　　結合協(xié)調控制律ui2：

　　其中，k2>0，k3>0是正常數(shù)。

　　通過仿真研究可以看到，所有狀態(tài)無法都達到一致，這說明基于積分器系統(tǒng)或線性系統(tǒng)的一致性結果不能直接沿用到非完整移動機器人系統(tǒng)中?；诖耍疚尼槍煞N不同期望的參考信號重新設計了控制律。

　　定義1［10］：存在正常數(shù)α1、α2和δ使以下不等式對所有t>0成立：

　　則稱ud為持續(xù)激勵。

　　(1)控制律ui1的設計

　　當ud1是持續(xù)激勵信號時，顯然，系統(tǒng)(1)的所有狀態(tài)都是可控的。仍然采用控制器(6)來控制(1)的第一個子系統(tǒng)。

　　當ud1→0（或甚至ud1=0）時，首先定義剛體i與其鄰居之間的平均距離為：

　　構造控制律ui1如下：

　　(2)控制律ui2的設計

　　首先，定義矩陣,…基于非完整移動機器人系統(tǒng)控制方面的研究結果，無論ui1收斂到持續(xù)激勵信號或者是零，構造如下控制律：

　　其中，L∈Rn×n是系統(tǒng)無向連通圖的Laplacian矩陣。

　　從公式(11)的結構可以看出，如果ud1→0（或甚至ud1=0），那么所有xi1達到一致的速度快于Z2和Z3的一致速度，所以狀態(tài)xi3將達不到一致。但由于控制律ui1設計時引入的持續(xù)激勵擾動項ksin(t)，使系統(tǒng)保持可控，此時，運用所提出的控制律ui2可以使所有狀態(tài)變量都達到一致。

3穩(wěn)定性分析

　　定理1如果φ(t)是一個持久激勵信號，k2>0和k3>0是常數(shù)，且是系統(tǒng)無向連通圖的Laplacian矩陣，那么系統(tǒng)：

　　將達到指數(shù)一致。

　　證明：考慮無向圖G的Laplacian勢能相關函數(shù)作為Lyapunov函數(shù)：

　　當G是連通圖時，上式為半正定，對其求導得：

　　可以看出，其導數(shù)為負半定。

　　由于φ(t)是持續(xù)激勵信號，因此易得到LZ3=0。所以，的最大不變集為：

　　根據(jù)LaSalle不變集原理以及穩(wěn)定性理論，［Z2,Z3］T指數(shù)收斂到將達到指數(shù)一致。

　　定理2(當ud1是持續(xù)激勵信號時的一致性定理)假設系統(tǒng)通信拓撲結構是無向連通的，且至少有一個剛體能接收參考信號xd1的信息，則系統(tǒng)(1)在控制器(8)和(13)的控制下能達到一致。

　　證明：在控制器(6) 和(11)的控制下，閉環(huán)系統(tǒng)可以寫成如下形式：

　　將系統(tǒng)(16)中的ui1用ud1來替代，則系統(tǒng)(16)可視作系統(tǒng)：

　　被

　　級聯(lián)，級聯(lián)項為：

　　(1)如果系統(tǒng)的通信拓撲結構是連通的，且至少有一個剛體可以接收參考信號系統(tǒng)(2)的信息，則子系統(tǒng)將指數(shù)一致到ud1。

　　(2)根據(jù)定理1，當ud1是持續(xù)激勵信號時，子系統(tǒng)(18)將達到指數(shù)一致。

　　(3)級聯(lián)項(20)滿足［Z2,Z3］T的線性增長條件。

　　那么，基于以上3個條件，并根據(jù)非自治級聯(lián)系統(tǒng)的理論［10-12］，系統(tǒng)的通信拓撲結構是聯(lián)通的，且至少有一個剛體可以接收參考信號時，系統(tǒng)中的N個剛體在控制器(6)和(11)的控制下能夠達到期望的一致。

　　定理3（當ud1→0（或ud1=0）時的一致性定理）假設系統(tǒng)通信拓撲是無向連通的，且至少有一個剛體能接收xd1的信息，則系統(tǒng)(1)在控制器(10)和(11)的控制下達到一致。

　　證明:

　　(1)當ρi≥ε時

　　這種情況下，在控制器ui1的設計中引入持久激勵信號來保證整個系統(tǒng)的可控性，例如控制器(10)中的ksin(t)。對于子系統(tǒng)(19)，在連通通信拓撲結構下，ui1將收斂到ksin(t)。對于子系統(tǒng)，在控制器(10)的控制下，根據(jù)非自治系統(tǒng)的級聯(lián)理論，以及φ(t)=ksin(t)時定理1的指數(shù)一致結果，可得出ρi<ε。

　　(2)當ρi<ε時

　　在這種情況下，系統(tǒng)的通信拓撲結構是連通的，且至少有一個剛體能接收參考信號，當ρi在ε領域內自由取值時，系統(tǒng)(19)能收斂到原始的參考信號。那么，在控制器(10)和(11)控制下，多剛體系統(tǒng)的實際一致性問題得到解決。

　　基于定理2和定理3，通過證明可知，在重新設計的控制器中，無論ud1是否是持續(xù)激勵信號，多剛體系統(tǒng)都能達到一致性。

4仿真結果

　　本節(jié)將所提出的控制器與前期工作所設計的控制器進行比較。在現(xiàn)有的控制律(6)和(7)下，基于無向連通拓撲結構，k0=1,k1=1,k2=5,k3=6。從圖1中可以看到，無法讓第三個狀態(tài)達到一致。

　　由于參考信號趨于零的情況下非完整移動機器人系統(tǒng)的一致性研究較少，為了闡述本文所提出的控制器的有效性，以下將進行兩種不同參考信號的仿真。

　?。?）ud1=0

　　選取系數(shù)：k0=1,k1=1,k2=5,k3=6，誤差范圍為：ε=0.000 01。系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

　　基于定理3中提出的一致性協(xié)議，仿真結果顯示如圖2~圖5，從圖中可以看到，每個機器人狀態(tài)都能達到一致。

　?。?）ud1=3sin (0.2t)

　　這種情況下，參考信號為一個持久曲線信號，取k0=8,k1=1,k2=5,k3=6，系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

　　仿真結果如圖6~圖9，基于定理2中的一致性協(xié)議，仿真結果表明每個剛體都能達到一致，從運動軌跡圖中可以看到，所有的剛體最后都收斂到一起，并呈一定的曲線運動，從仿真圖中可以看出本文所提控制器能有效實現(xiàn)系統(tǒng)一致性。

5結論

　　本文利用非自治級聯(lián)系統(tǒng)理論，提出了一種具備無論系統(tǒng)參考信號是否為持續(xù)激勵信號都能實現(xiàn)系統(tǒng)一致性的分布式控制器。該控制器的設計通過在控制律中引入持續(xù)激勵擾動項，改善了前期工作的缺點，在參考信號不為持續(xù)激勵信號時，也能讓系統(tǒng)達到一致性。最后，將所提控制方法應用到兩種不同參考信號的情況中，仿真結果驗證了所提出的控制方法的有效性。

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