0 引言

    隨著人們對(duì)于高速率、高質(zhì)量無(wú)線通信需求的飛速增長(zhǎng)，盡可能高的頻譜效率和能量效率成為新一代無(wú)線通信系統(tǒng)的核心競(jìng)爭(zhēng)指標(biāo)。2008年首次提出并不斷發(fā)展成熟的非正弦時(shí)域正交調(diào)制方法^[1]（Nonsinusoidal Orthogonal Modulation in Time and Domain，NOTDM），利用橢圓球面波函數(shù)的高時(shí)頻能量聚集性來(lái)提高系統(tǒng)的功率利用率，采用時(shí)域正交、頻域混疊的正交脈沖組實(shí)現(xiàn)多路信息傳輸，進(jìn)而提高了系統(tǒng)的頻譜效率，是極具應(yīng)用前景的非正弦波通信新體制。

    橢圓球面波函數(shù)（Prolate Spheroid Wave Function，PSWF）已經(jīng)被證明是時(shí)頻域能量聚集性最佳的信號(hào)形式^[2-4]，但其高能量聚集性是以系統(tǒng)頻帶利用率的降低為代價(jià)的，時(shí)間帶寬積c越大，λ越大，PSWF能量聚集性越好，系統(tǒng)頻帶利用率越低^[5-8]，如何優(yōu)化設(shè)計(jì)正交橢圓球面波函數(shù)脈沖組參數(shù)是決定系統(tǒng)性能的重要因素。文獻(xiàn)[9]給出了基于PSWF的正交脈沖設(shè)計(jì)的詳細(xì)方法，但是只給出了頻譜交疊度為50%的情況。文獻(xiàn)[10]討論了不同頻譜交疊度時(shí)系統(tǒng)頻帶利用率提升的速度，但是缺少對(duì)不同頻譜交疊度情況下調(diào)制信號(hào)能量聚集性和頻譜特性的討論。另外，時(shí)間帶寬積是影響脈沖組性能的另一個(gè)典型參數(shù)，但是尚未發(fā)現(xiàn)國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)對(duì)不同時(shí)間帶寬積條件下系統(tǒng)性能變化進(jìn)行詳細(xì)的討論和分析。

    本文在非正弦時(shí)域正交調(diào)制方法的基礎(chǔ)上，著眼于如何確定合適的PSWF脈沖組參數(shù)，重點(diǎn)分析了頻譜交疊度和時(shí)間帶寬積等典型脈沖參數(shù)對(duì)時(shí)域正交PSWF脈沖組的正交性、時(shí)頻能量聚集性，以及用于信息傳輸時(shí)，已調(diào)信號(hào)的功率譜特征、系統(tǒng)的頻帶利用率等方面的影響，進(jìn)而以脈沖組的功率利用率和頻帶利用率為主要指標(biāo)，提出了時(shí)域正交PSWF脈沖組的參數(shù)優(yōu)選方案。仿真結(jié)果表明，綜合各項(xiàng)性能指標(biāo)所設(shè)計(jì)的時(shí)域正交PSWF脈沖組參數(shù)優(yōu)選方案，在保證調(diào)制信號(hào)具有高能量聚集度的同時(shí)，系統(tǒng)保持較高的頻帶利用率和較低的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度。

1 頻譜交疊度對(duì)正交PSWF脈沖組的影響分析

    非正弦時(shí)域正交調(diào)制方法利用一組時(shí)域正交、頻譜交疊且時(shí)頻能量聚集性較優(yōu)的PSWF脈沖并行調(diào)制后疊加成一路信號(hào)進(jìn)行傳輸，可以少量脈沖實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)頻帶利用率的快速提高。接收端依靠脈沖間的良好正交性，通過(guò)相關(guān)解調(diào)和檢測(cè)完成多脈沖的分離和調(diào)制信息的獲取。

    當(dāng)多路PSWF信號(hào)并行傳輸時(shí)，由于PSWF滿足雙正交性^[11]，可以在不引入脈沖間干擾的前提下，允許各路PSWF信號(hào)在時(shí)域上相互疊加，在頻域上頻譜相互交疊。為探究頻譜交疊度對(duì)正交PSWF脈沖組的影響，在頻譜交疊度分別為45%、50%、55%、60%條件下，定性分析了時(shí)域正交PSWF脈沖組的性能指標(biāo)，并比較了用于信息傳輸時(shí)通信系統(tǒng)的性能指標(biāo)。

1.1 頻譜交疊度對(duì)脈沖組時(shí)域特性的影響分析

    選取頻帶范圍劃分的子頻段個(gè)數(shù)k=4，每個(gè)子頻帶帶寬B₀=100 Hz，時(shí)間帶寬積為c=4π，脈沖的持續(xù)時(shí)間為T(mén)_s=40 ms。具體參數(shù)設(shè)置如表1所示。

    根據(jù)時(shí)域正交PSWF脈沖組設(shè)計(jì)的一般方法可知，PSWF的時(shí)間帶寬積c與脈沖個(gè)數(shù)m滿足關(guān)系式：m=因此在同一子頻段內(nèi)，所取PSWF脈沖的個(gè)數(shù)為m=4，脈沖組的正交脈沖個(gè)數(shù)為N=m×k=16。

    這里以正交PSWF脈沖組的最大互相關(guān)值作為檢驗(yàn)脈沖組正交性能的標(biāo)準(zhǔn)，按照表1的參數(shù)設(shè)計(jì)在不同頻譜交疊度下脈沖組的正交性能如表2所示。

    從表2中可以看出，頻譜交疊度的大小基本不影響脈沖組的最大互相關(guān)值，即不影響脈沖組的正交性能?？梢?jiàn)，依據(jù)表1的參數(shù)設(shè)置得到的正交PSWF脈沖組都具有較好的正交性能。

1.2 頻譜交疊度對(duì)脈沖組頻域特性的影響分析

    下面利用表1的參數(shù)設(shè)置設(shè)計(jì)的正交PSWF脈沖組傳輸信息時(shí)，對(duì)已調(diào)信號(hào)的功率譜特性進(jìn)行分析。已調(diào)信號(hào)的歸一化功率譜如圖1所示。

    已調(diào)信號(hào)的歸一化功率譜特性如表3所示。

    從圖1及表3中可以看出，當(dāng)頻譜交疊度ρ較小時(shí)，調(diào)制信號(hào)的帶內(nèi)能量聚集性較大，功率譜旁瓣功率和截止帶外衰減都較高；隨著頻譜交疊度的增大，調(diào)制信號(hào)的帶內(nèi)能量聚集性逐漸降低，功率譜旁瓣功率和截止帶外衰減也在頻譜交疊度較大時(shí)大幅降低，在交疊度為ρ=70%的情況下，帶內(nèi)能量聚集性下降到92%，功率譜旁瓣衰減降到-12.5 dB，而截止帶外衰減甚至降到-3.5 dB，極大地降低了系統(tǒng)的功率利用率?？梢?jiàn)，隨著頻譜交疊度ρ的增大，調(diào)制信號(hào)的帶內(nèi)能量聚集性逐漸變差，其功率譜特性也急劇變差。

1.3 頻譜交疊度對(duì)系統(tǒng)特性的影響

    下面對(duì)不同頻譜交疊度時(shí)的頻段劃分方式下所設(shè)計(jì)的時(shí)域正交PSWF脈沖組采用非正弦時(shí)域正交調(diào)制，用于信息傳輸時(shí)，對(duì)通信系統(tǒng)無(wú)碼間干擾條件下的單位頻帶利用率進(jìn)行理論分析。

    在子頻段時(shí)間帶寬積為c時(shí)，同一子頻段選用的PSWF脈沖個(gè)數(shù)m==T_sB₀，子頻段劃分個(gè)數(shù)為k、子頻段帶寬為B₀時(shí)，則采用非正弦時(shí)域正交調(diào)制，利用時(shí)域正交PSWF脈沖組實(shí)現(xiàn)信息的多路并行傳輸時(shí)，信息傳輸?shù)目偹俾蕿椋?/p>

    按照表1的參數(shù)設(shè)置得到的正交PSWF脈沖組用于信息傳輸時(shí)，系統(tǒng)的單位頻帶利用率和峰均功率比如表4所示。

    從表4中可以看出，當(dāng)頻譜交疊度較小時(shí)，系統(tǒng)的頻帶利用率較低，隨著頻譜交疊度的增大，系統(tǒng)的單位頻帶利用率不斷增大。在頻譜交疊度不小于50%時(shí)，系統(tǒng)的頻帶利用率可已達(dá)到2 Baud/Hz。另外，隨著頻譜交疊度的增大，系統(tǒng)的峰均功率比不斷減小。

    綜合考慮各性能指標(biāo)，頻譜交疊度50%時(shí)，所設(shè)計(jì)的時(shí)域正交PSWF脈沖組在保證已調(diào)信號(hào)具有較好的能量聚集性(即具有較好的功率利用率)的前提下，正交PSWF脈沖信號(hào)具有較小的邊值幅度，隨著子頻段劃分?jǐn)?shù)的增加，系統(tǒng)的單位頻帶利用率可達(dá)2 B/Hz，同時(shí)不會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)較高的復(fù)雜度。

2 時(shí)間帶寬積對(duì)正交PSWF脈沖組的影響分析

    由上一節(jié)的分析可知，在頻譜交疊度為50%或55%的情況下，正交PSWF脈沖組的性能較好，因此，下面在頻譜交疊度為50%時(shí)，針對(duì)時(shí)間帶寬積c分別為3π、4π、5π、6π的情況，通過(guò)仿真分析所設(shè)計(jì)時(shí)域正交PSWF脈沖組的性能指標(biāo)，并根據(jù)低復(fù)雜度、高頻帶利用率和高功率利用率的系統(tǒng)特點(diǎn)，確定正交脈沖組的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

2.1 時(shí)間帶寬積對(duì)脈沖組頻域特性的影響分析

    為了便于分析比較，下面給出仿真實(shí)例。在通信頻段1 000 Hz~1 250 Hz、帶寬250 Hz內(nèi)設(shè)計(jì)時(shí)域正交PSWF脈沖組，劃分的子頻段個(gè)數(shù)k=4，每個(gè)子頻帶帶寬B₀=100 Hz，頻譜交疊度為ρ=50%，其他具體參數(shù)設(shè)置如表5所示。

    在子頻段時(shí)間帶寬積不同時(shí)的已調(diào)信號(hào)的功率譜如圖2所示。

    子頻段時(shí)間帶寬積不同時(shí)的功率譜特性如表6所示。

    如表6所示，當(dāng)時(shí)間帶寬積c=2π時(shí)，僅有92.20%的能量集中在頻段1 000 Hz~1 250 Hz內(nèi)；當(dāng)時(shí)間帶寬積c=3π時(shí)，僅有99.04%的能量集中在頻段1 000 Hz~1 250 Hz內(nèi)；而當(dāng)時(shí)間帶寬積c分別為4π、5π、6π時(shí)，分別有99.74%、99.85%、99.95%的能量集中在給定的頻段范圍內(nèi)。可見(jiàn)隨時(shí)間帶寬積的增大，調(diào)制信號(hào)的帶內(nèi)能量聚集性不斷提高，系統(tǒng)的功率利用率也不斷提高。

    從圖2及表6中可以發(fā)現(xiàn)，在時(shí)間帶寬積c較小時(shí)，調(diào)制信號(hào)功率譜旁瓣功率較低，且其截止帶外衰減也較低，僅為-2.5 dB，極大地影響了系統(tǒng)的功率利用率。隨著時(shí)間帶寬積c的增大，功率譜旁瓣功率及其截止帶外衰減功率逐漸提高，系統(tǒng)的功率利用率也不斷提高。

2.2 時(shí)間帶寬積對(duì)系統(tǒng)性能的影響分析

    下面采用非正弦時(shí)域正交調(diào)制，對(duì)不同時(shí)間帶寬積條件下所設(shè)計(jì)的時(shí)域正交PSWF脈沖組用于信息傳輸時(shí)，對(duì)通信系統(tǒng)無(wú)碼間干擾條件下的單位頻帶利用率進(jìn)行分析。

    交疊度50%時(shí)，系統(tǒng)的單位頻帶利用率為：

其中，k為子頻段數(shù)，m為每個(gè)子頻段的脈沖個(gè)數(shù)，T_s為脈沖持續(xù)時(shí)間，f_b為單個(gè)脈沖的信息傳輸速率。在頻譜范圍和劃分子頻帶個(gè)數(shù)相同的情況下，子頻段的時(shí)間帶寬積c越小，每個(gè)子頻段選取的脈沖數(shù)m越少，系統(tǒng)的復(fù)雜度越小。

    依據(jù)表5的參數(shù)設(shè)置得到的正交PSWF脈沖組用于信息傳輸時(shí)，系統(tǒng)的單位頻帶利用率和峰均功率比如表7所示。

    從表7中可以看出，當(dāng)時(shí)間帶寬積c較小時(shí)，系統(tǒng)的峰均功率比很小，而且正交脈沖的數(shù)量較少，因此用于時(shí)域正交調(diào)制時(shí)，系統(tǒng)的復(fù)雜度較小，但隨著時(shí)間帶寬積的增大，每個(gè)子頻帶選取的正交脈沖個(gè)數(shù)增多，導(dǎo)致系統(tǒng)的峰均功率比急劇增大，并大大增加了時(shí)域正交調(diào)制系統(tǒng)的復(fù)雜度。

    從各項(xiàng)性能指標(biāo)綜合考慮來(lái)看，當(dāng)時(shí)間帶寬積為c=4π時(shí)，所設(shè)計(jì)的時(shí)域正交PSWF脈沖組在保證已調(diào)信號(hào)具有較好的能量聚集性(即具有較好的功率利用率)的前提下，脈沖信號(hào)具有較小的邊值幅度，同時(shí)不會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)較高的復(fù)雜度。

3 基于參數(shù)優(yōu)選的功率譜特性優(yōu)化研究

    由分析可知，隨著子頻段時(shí)間帶寬積c的增大，脈沖調(diào)制信號(hào)的旁瓣衰減功率逐漸降低，其功率譜特性逐漸變好。同時(shí)，正交化后單階脈沖的頻譜范圍有所擴(kuò)大，且隨著脈沖數(shù)的增加，脈沖旁瓣高度逐漸增大。因此，可以通過(guò)增大總時(shí)間帶寬積c，同時(shí)減少參與正交化的脈沖個(gè)數(shù)N的方式來(lái)優(yōu)化調(diào)制信號(hào)的功率譜特性。

    設(shè)計(jì)帶寬B=250 Hz，頻譜范圍為1 000~1 250 Hz，碼元時(shí)間寬度T_s=40 ms，總時(shí)間帶寬積為c=πBT=10π，子頻帶劃分?jǐn)?shù)k=4，頻譜交疊度ρ=50%。

    為了方便比較不同脈沖個(gè)數(shù)時(shí)的調(diào)制信號(hào)功率譜特性，每個(gè)子頻帶上的脈沖個(gè)數(shù)分別選取m=2、3、4，這樣參與正交的脈沖個(gè)數(shù)分別為N=8、12、16，因此可以得到的脈沖組參數(shù)設(shè)置如表8所示。

    按照表8中的參數(shù)設(shè)置，在總時(shí)間帶寬積c=10π的情況下，N=8、12、16時(shí)的調(diào)制信號(hào)的功率譜在給定頻段內(nèi)分布較均勻，其旁瓣功率分別為-33.5 dB、-27.5 dB和-25 dB，其截止帶外衰減功率分別為-30 dB、-24 dB、-22 dB。仿真結(jié)果顯示，在此參數(shù)設(shè)置下，分別有99.95%、99.81%和99.74%的能量集中在給定的頻段范圍內(nèi)?？梢?jiàn)隨著脈沖個(gè)數(shù)的減少，功率譜旁瓣和截止帶外衰減逐漸減小，調(diào)制信號(hào)的能量聚集性有所提高。

    另外，經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，在N=16時(shí)系統(tǒng)的單位頻帶利用率為η=1.6 Baud/Hz，N=12時(shí)為η=1.2 Baud/Hz，N=8時(shí)為η=0.8 Baud/Hz。可見(jiàn)雖然上述仿真通過(guò)減少正交脈沖個(gè)數(shù)可以改善調(diào)制信號(hào)的功率譜，但這是以降低系統(tǒng)的頻帶利用率為代價(jià)的，是在功率譜特性和系統(tǒng)性能之間折衷權(quán)衡的一種參數(shù)設(shè)置方法。

    依然按照上節(jié)的基本參數(shù)設(shè)置：設(shè)計(jì)帶寬B=250 Hz，頻譜范圍為1 000~1 250 Hz，子頻帶劃分?jǐn)?shù)k=4，頻譜交疊度ρ=50%。

    為了方便比較不同脈沖個(gè)數(shù)時(shí)的調(diào)制信號(hào)功率譜特性，碼元持續(xù)時(shí)間分別取T_s=40 ms、44 ms、48 ms，這樣總時(shí)間帶寬積為c=πBT=10π、11π、12π。在正交脈沖個(gè)數(shù)N=16的情況下，總時(shí)間帶寬積分別為c=10π、11π、12π時(shí)，調(diào)制信號(hào)的功率譜旁瓣為-25 dB、-33 dB和-37.5 dB，其截止帶外衰減分別為-22 dB、-26 dB、-29 dB，且此時(shí)調(diào)制信號(hào)的帶內(nèi)能量聚集性分別為0.997 4、0999 95和0.999 9，可見(jiàn)隨著時(shí)間帶寬積的增大，調(diào)制信號(hào)的截止帶外衰減功率逐漸降低，帶內(nèi)能量聚集性增高，系統(tǒng)的功率利用率明顯提高。

    但在此情況下，c=10π時(shí)的系統(tǒng)單位頻帶利用率為η=1.6 Baud/Hz，c=11π時(shí)為η=1.45 Baud/Hz，c=12π時(shí)為η=1.33 Baud/Hz，可見(jiàn)雖然增大時(shí)間帶寬積可以降低調(diào)制信號(hào)的截止帶外衰減，改善其功率譜特性，提高系統(tǒng)的功率利用率，但這種方法也是以犧牲系統(tǒng)的單位頻帶利用率為代價(jià)，是在脈沖組功率譜特性和系統(tǒng)特性實(shí)現(xiàn)折衷的參數(shù)設(shè)置方法。

    綜上所述，通過(guò)脈沖組的參數(shù)優(yōu)選，增大時(shí)間帶寬積c和減少正交脈沖個(gè)數(shù)N，都可以優(yōu)化調(diào)制信號(hào)功率譜特性，但同時(shí)降低了單位頻帶利用率，是以犧牲系統(tǒng)特性為代價(jià)的折衷措施。

4 結(jié)論

    本文以頻譜交疊度和時(shí)間帶寬積為典型參量，分析脈沖參數(shù)對(duì)信號(hào)正交性和用于信息傳輸時(shí)對(duì)已調(diào)信號(hào)的帶內(nèi)能量聚集性和功率譜旁瓣的影響，以及對(duì)系統(tǒng)的頻帶利用率、峰均功率比和復(fù)雜度的影響。綜合考慮系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度、頻帶利用率和功率利用率，給出了ρ=50%和c=4以及ρ=55%和c=4π這兩種時(shí)域正交PSWF脈沖組的參數(shù)優(yōu)選措施。仿真結(jié)果表明，綜合各項(xiàng)性能指標(biāo)所設(shè)計(jì)的時(shí)域正交PSWF脈沖組參數(shù)優(yōu)選方案在調(diào)制信號(hào)能量聚集度達(dá)到99.7%的同時(shí)，系統(tǒng)極限頻帶利用率達(dá)到2 Baud/Hz，且保持了較小的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度。該優(yōu)選方案取得了功率利用率和頻帶利用率的良好折衷，在固體系統(tǒng)中可以根據(jù)實(shí)際需求對(duì)參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，以達(dá)到系統(tǒng)性能最優(yōu)化。

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