王妃,熊繼平,蔡麗桑

　　（浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院，浙江 金華 321004）

　　摘要：壓縮感知" title="單比特壓縮感知" target="_blank">單比特壓縮感知是量化壓縮感知的極限形式，該方法采集的是觀測(cè)值的符號(hào)，僅需要1個(gè)比特單元來(lái)記錄這個(gè)值，因此在硬件實(shí)施上成本低，運(yùn)行速度快。目前，單比特壓縮感知技術(shù)已經(jīng)成為一個(gè)研究熱點(diǎn)。本文首先介紹了單比特壓縮感知的發(fā)展和研究現(xiàn)狀，然后從檢測(cè)和不檢測(cè)觀測(cè)符號(hào)兩個(gè)方面對(duì)重構(gòu)算法進(jìn)行了分析，接著從單比特壓縮感知的成像領(lǐng)域、無(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域、醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域和信號(hào)傳輸領(lǐng)域四個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域進(jìn)行分析，最后對(duì)單比特壓縮感知技術(shù)進(jìn)行了總結(jié)和展望。

　　關(guān)鍵詞：?jiǎn)伪忍貕嚎s感知；壓縮感知；重構(gòu)算法；應(yīng)用

0引言

　　壓縮感知是一種新興的采集、處理信號(hào)的理論。該理論表明，通過(guò)采集少量的測(cè)量值就可以實(shí)現(xiàn)精確重構(gòu)稀疏或可壓縮信號(hào)。在這一過(guò)程中使用了隨機(jī)化、線性、非自適應(yīng)測(cè)量，然后通過(guò)非線性的方法恢復(fù)原始信號(hào)。

　　在實(shí)際應(yīng)用中，壓縮傳感的測(cè)量值必須量化，這是數(shù)字化的必經(jīng)階段。量化是一個(gè)不可逆的過(guò)程，不可避免地引入了量化誤差。處理量化誤差的方法之一是把它當(dāng)作加性測(cè)量噪聲，并采用適當(dāng)?shù)闹貥?gòu)算法減小其影響。除此之外，一個(gè)恰當(dāng)?shù)臏y(cè)量模型可以明顯改善量化對(duì)恢復(fù)效果的影響。在壓縮感知的體系中，文獻(xiàn)［1］首次詳細(xì)地描述了量化框架。

　　研究表明，當(dāng)測(cè)量值量化至一個(gè)比特，即只用一位二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示測(cè)量值的符號(hào)時(shí)，仍然可以精確、穩(wěn)定地恢復(fù)原始信號(hào)［1］。這一特性在實(shí)際應(yīng)用中有很多好處：

　?。?)大大減少了傳輸和存儲(chǔ)過(guò)程中所需的比特?cái)?shù)。許多場(chǎng)合的優(yōu)化目標(biāo)是減少總的比特?cái)?shù)，而不僅僅是總的測(cè)量數(shù)。

　?。?)一比特量化器可以用一個(gè)簡(jiǎn)單、高速的比較器實(shí)現(xiàn)。因此，降低采樣復(fù)雜度可以通過(guò)減少表示每個(gè)測(cè)量值的比特?cái)?shù)，而不是測(cè)量數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

　?。?)一比特量化對(duì)非線性失真不敏感，魯棒性能好。

1單比特壓縮感知

　　2008年，Petros T.Boufounos 第一次系統(tǒng)地闡述了壓縮感知體系中的一個(gè)全新的測(cè)量模型［1］——單比特壓縮感知模型。

　　在單比特壓縮感知中，觀測(cè)得到的測(cè)量值被量化到單比特，即只用一個(gè)二進(jìn)制比特位來(lái)表示測(cè)量值大于零還是小于零，然后從這些正負(fù)號(hào)中恢復(fù)原信號(hào)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在能量限定的條件下，僅僅依靠測(cè)量值的符號(hào)，就可以完全恢復(fù)出原始信號(hào)［1］。

　　后來(lái)，Laurent Jacques等人在2011年對(duì)單比特壓縮感知從數(shù)學(xué)上進(jìn)行了證明，奠定了單比特壓縮傳感的理論基礎(chǔ)。

　　2013年Jacques等人提出了單比特壓縮感知的理論框架，主要得到了兩個(gè)結(jié)論：（1）在無(wú)噪聲情況下單比特壓縮感知的重構(gòu)誤差界。（2）通過(guò)構(gòu)造“二值ε穩(wěn)定嵌入”（Binary εStable Embeddings, BεSE）,證明了當(dāng)觀測(cè)矩陣Φ滿足類似RIP的特點(diǎn)性質(zhì)時(shí)，即使觀測(cè)噪聲使得觀測(cè)符號(hào)發(fā)生了變化，該重構(gòu)方法仍然穩(wěn)定。

　　1.1壓縮感知

　　假設(shè)一長(zhǎng)度為N的實(shí)信號(hào)x，如果它是K稀疏的，即至多有K個(gè)元素非零，那么該向量可以通過(guò)包含它的M<<N個(gè)線性投影的測(cè)量向量y獲得精確重構(gòu)，即

　　y=Φx

　　上式中，Φ是M×N維測(cè)量矩陣。

　　信號(hào)稀疏恢復(fù)可通過(guò)如下問(wèn)題求解：

　　=argminx0且y=Φx

　　上式中，*0表示非零元素的個(gè)數(shù)，可以稱為l0范數(shù)。然而求解最小化l0范數(shù)問(wèn)題是一個(gè)NP難問(wèn)題，可以考慮運(yùn)用基于最小化l1范數(shù)的等價(jià)凸優(yōu)化模型：

　　=argminx1s.t. y=Φx

　　限制等容量條件（Restricted Isometry Property, RIP）為利用上式重構(gòu)信號(hào)提高了理論保證。

　　定義1（限制等容量條件）稱一測(cè)量矩陣Φ滿足具有參數(shù)（K,δ），δ∈(0,1)的限制等容量條件（RIP），如果對(duì)所有的K稀疏向量x，有下列式子成立：

　　(1－δ)x22≤Φx22≤(1+δ)x22

　　凸優(yōu)化是一種有效的壓縮感知恢復(fù)方法，除此之外，還有其他一些恢復(fù)算法，貪婪追蹤算法就是最常用的一種。RIP條件也為貪婪追蹤算法恢復(fù)信號(hào)提供了理論保證。

　　1.2單比特壓縮感知

　　在單比特壓縮感知中，測(cè)量值量化至單比特，即只保留測(cè)量值的符號(hào)：

　　y=sign(Φx)

　　上式中，sign(yi)=yi/|yi|。由于每個(gè)測(cè)量值只用了一個(gè)比特，所以M不僅是測(cè)量值個(gè)數(shù)，還是獲得的比特個(gè)數(shù)。為了獲得更好的恢復(fù)效果，可以取更多的比特?cái)?shù)，甚至多于信號(hào)的長(zhǎng)度N，此時(shí)的M/N可認(rèn)為是原信號(hào)的“比特?cái)?shù)/系數(shù)”。

　　可以利用一致性恢復(fù)概念重構(gòu)信號(hào)，因此，單比特壓縮感知要解決以下問(wèn)題：

　　=argminx0且ys=sign(Φx)

　　然而求解最小化l0范數(shù)問(wèn)題也是一個(gè)NP難問(wèn)題，因此可以利用等價(jià)的l1范數(shù)并通過(guò)凸優(yōu)化方法實(shí)現(xiàn)一致性恢復(fù)，從而重構(gòu)出信號(hào)。

　　2基于單比特壓縮感知的重構(gòu)算法

　　本文對(duì)基于單比特壓縮感知的重構(gòu)算法進(jìn)行了調(diào)查研究并總結(jié)。從單比特壓縮感知的重構(gòu)算法的發(fā)展來(lái)看，算法大致可以分為兩個(gè)大類。

　　（1）不檢測(cè)觀測(cè)符號(hào)翻轉(zhuǎn)情況的重構(gòu)算法

　　文獻(xiàn)［1］中提出了單比特壓縮感知的概念，并提出一種單比特壓縮感知的重構(gòu)算法——1bit FPC算法，并利用此算法進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在僅知道測(cè)量值符號(hào)的情況下，此算法仍能準(zhǔn)確地恢復(fù)出原始信號(hào)。

　　文獻(xiàn)［2］中提出一個(gè)名為Soft Consistency Reconstructions（SCRs）的新算法。該算法是基于一致性標(biāo)準(zhǔn)的軟決策方法，而且優(yōu)于BIHT算法。該算法不需要噪聲的先驗(yàn)知識(shí)，即不管有無(wú)噪聲的情況下都能夠精確地重構(gòu)出原始信號(hào)。

　　由于文獻(xiàn)［2］中的算法并不能保證得出的解為全局最優(yōu)解，所以，文獻(xiàn)［3］提出了一種基于CoSamp的匹配符號(hào)追蹤算法——Matching Sign Pursuit（MSP）, 這種方法在稀疏度K已知的情況下重構(gòu)信號(hào)。該算法通過(guò)貪婪迭代算法，不斷尋找包含原始信號(hào)支撐集的指標(biāo)集，進(jìn)而求解一個(gè)小規(guī)模的優(yōu)化問(wèn)題，最終獲得重構(gòu)信號(hào)。實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)于恢復(fù)單位長(zhǎng)度的稀疏信號(hào)，該方法無(wú)論是重構(gòu)誤差還是符號(hào)一致性，都明顯優(yōu)于FPC和CoSamp。但是，在含有噪聲時(shí)，該算法卻不能精確地重構(gòu)出原始信號(hào)。

　　文獻(xiàn)［4］提出了一種新的算法——Restricted Step Shrinkage。這個(gè)算法的收斂性在數(shù)學(xué)上可以得到證明，并且優(yōu)于MSP算法，擁有更好的抗噪聲性能。這是一種類似于置信域的凸優(yōu)化算法，且該算法的收斂性不依賴于初始值的選取。

　　(2)檢測(cè)觀測(cè)符號(hào)翻轉(zhuǎn)位置的重構(gòu)算法

　　在單比特壓縮感知中，如果有一個(gè)觀測(cè)符號(hào)發(fā)生翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)觀測(cè)符號(hào)將會(huì)對(duì)整個(gè)重構(gòu)過(guò)程帶來(lái)較大的影響，如果能探測(cè)到發(fā)生翻轉(zhuǎn)的觀測(cè)符號(hào)，那么就能更正它們，從而大幅度提高重構(gòu)精確度。

　　針對(duì)上述問(wèn)題，文獻(xiàn)［5］提出了一種穩(wěn)定的單比特壓縮感知方法自適應(yīng)異常值追蹤——Adaptive Outlier Pursuit（AOP）。該算法在稀疏度K已知的情況下，能夠探測(cè)到符號(hào)翻轉(zhuǎn)，并且當(dāng)發(fā)生大量觀測(cè)符號(hào)翻轉(zhuǎn)時(shí)，能夠以很高的精確度恢復(fù)信號(hào)。AOP的原理與傳統(tǒng)壓縮感知中處理脈沖噪聲類似，通過(guò)一系列的迭代過(guò)程自適應(yīng)地探測(cè)符號(hào)翻轉(zhuǎn)位置，同時(shí)不斷地更新觀測(cè)符號(hào)，求相應(yīng)子優(yōu)化問(wèn)題的解，直到收斂。然而，在稀疏度K未知的情況下，AOP的表現(xiàn)不穩(wěn)定。

　　基于上述問(wèn)題，文獻(xiàn)［6］提出了一種全新的重構(gòu)算法NARFPI。該方法與AOP不同之處在于：NARFPI方法在子優(yōu)化問(wèn)題的罰函數(shù)中添加了l1范數(shù)，以加強(qiáng)其稀疏性。該方法對(duì)觀測(cè)符號(hào)翻轉(zhuǎn)的表現(xiàn)穩(wěn)定，更重要的是不需要稀疏度K的先驗(yàn)知識(shí)。

　　文獻(xiàn)［7］中針對(duì)許多觀測(cè)符號(hào)同時(shí)發(fā)生翻轉(zhuǎn)的情況，提出了一種新的算法——Robust Binary Iterative Threshold（RBIHT）。此算法通過(guò)計(jì)算不一致符號(hào)的數(shù)量，可檢測(cè)出符號(hào)翻轉(zhuǎn)的位置，從而通過(guò)“corrected”測(cè)量矩陣重構(gòu)原始信號(hào)。該算法不需要關(guān)于噪聲的先驗(yàn)知識(shí)，在測(cè)量噪聲和傳輸噪聲同時(shí)存在的情況下，也能擁有較高的精確度。

　　文獻(xiàn)［8］中提出了NARSS（NoiseAdaptive Restricted Step Shrinkage)算法。在稀疏度K未知、時(shí)間是變量和二進(jìn)制測(cè)量矩陣存在噪聲的情況下，此算法都有很好的表現(xiàn)。在重構(gòu)表現(xiàn)、算法的復(fù)雜度和算法的收斂速度等方面，與其他的算法相比，該算法都有一定的優(yōu)勢(shì)。

3單比特壓縮感知的應(yīng)用

　　單比特壓縮感知技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域比較廣泛［9］，本文對(duì)此進(jìn)行了分析與總結(jié)。

　?。?）成像領(lǐng)域

　　文獻(xiàn)［10］中，在合成孔徑雷達(dá)成像（SAR）領(lǐng)域中使用了單比特壓縮感知技術(shù)。在最大后驗(yàn)估計(jì)的框架中［11］，作者提出了SAR圖像重構(gòu)問(wèn)題，并且此問(wèn)題在運(yùn)用了單比特壓縮感知技術(shù)后得到了很好的解決［12］。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，此種方法可以提高信號(hào)重構(gòu)算法的信噪比，同時(shí)可以有效地抑制噪聲的影響。

　　（2）無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域

　　文獻(xiàn)［11］中，將單比特壓縮感知技術(shù)運(yùn)用于無(wú)線傳感網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)收集。在此文中，作者還提出了一種新穎的算法——Blind 1bit CS。在WSN的環(huán)境中，該算法與其他算法相比擁有一定的優(yōu)勢(shì)。在真實(shí)的傳感數(shù)據(jù)庫(kù)中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)此算法效率很高，且能夠大幅度地減少每個(gè)傳感節(jié)點(diǎn)的負(fù)擔(dān)，從而提高工作效率。

　?。?）醫(yī)學(xué)圖像領(lǐng)域

　　臨床醫(yī)學(xué)上可通過(guò)EEG（腦電圖）檢查進(jìn)行腦部診斷，而EEG可以通過(guò)單比特壓縮感知技術(shù)獲得。文獻(xiàn)［13］中，在單比特壓縮感知的基礎(chǔ)上建立了一個(gè)全新的模擬信息轉(zhuǎn)換器的體系結(jié)構(gòu)，用于醫(yī)學(xué)上的EEG檢查。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，這個(gè)新結(jié)構(gòu)能提高EEG的效率和質(zhì)量。

　?。?）信號(hào)傳輸領(lǐng)域

　　文獻(xiàn)［14］中，在單比特壓縮感知的基礎(chǔ)上建立了一個(gè)名為Turbo CS 的編解碼模型用于信號(hào)的傳輸，Turbo CS是迭代方法的一種。本文是在高斯白噪聲信道的環(huán)境下進(jìn)行傳輸信號(hào)實(shí)驗(yàn)的，結(jié)果證明Turbo CS的抗噪聲性能強(qiáng)，重構(gòu)精確度高。

　　總的來(lái)說(shuō)，關(guān)于單比特壓縮感知應(yīng)用研究的論文并不是很多。

4總結(jié)

　　目前單比特壓縮感知算法的研究較多，但是還存在繼續(xù)研究的空間。比如，高信噪比和高精確度同時(shí)擁有并且不需要稀疏度K的先驗(yàn)知識(shí)，這樣的算法較少。而且對(duì)單比特壓縮感知技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域的研究并不多，因此，此應(yīng)用領(lǐng)域的研究可能是將來(lái)的一個(gè)重要研究方向。

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