王妃,熊繼平,蔡麗桑

　?。ㄕ憬瓗煼洞髮W 數(shù)理與信息工程學院，浙江 金華 321004）

　　摘要：壓縮感知" title="單比特壓縮感知" target="_blank">單比特壓縮感知是量化壓縮感知的極限形式，該方法采集的是觀測值的符號，僅需要1個比特單元來記錄這個值，因此在硬件實施上成本低，運行速度快。目前，單比特壓縮感知技術(shù)已經(jīng)成為一個研究熱點。本文首先介紹了單比特壓縮感知的發(fā)展和研究現(xiàn)狀，然后從檢測和不檢測觀測符號兩個方面對重構(gòu)算法進行了分析，接著從單比特壓縮感知的成像領(lǐng)域、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域、醫(yī)學圖像領(lǐng)域和信號傳輸領(lǐng)域四個應(yīng)用領(lǐng)域進行分析，最后對單比特壓縮感知技術(shù)進行了總結(jié)和展望。

　　關(guān)鍵詞：單比特壓縮感知；壓縮感知；重構(gòu)算法；應(yīng)用

0引言

　　壓縮感知是一種新興的采集、處理信號的理論。該理論表明，通過采集少量的測量值就可以實現(xiàn)精確重構(gòu)稀疏或可壓縮信號。在這一過程中使用了隨機化、線性、非自適應(yīng)測量，然后通過非線性的方法恢復原始信號。

　　在實際應(yīng)用中，壓縮傳感的測量值必須量化，這是數(shù)字化的必經(jīng)階段。量化是一個不可逆的過程，不可避免地引入了量化誤差。處理量化誤差的方法之一是把它當作加性測量噪聲，并采用適當?shù)闹貥?gòu)算法減小其影響。除此之外，一個恰當?shù)臏y量模型可以明顯改善量化對恢復效果的影響。在壓縮感知的體系中，文獻［1］首次詳細地描述了量化框架。

　　研究表明，當測量值量化至一個比特，即只用一位二進制數(shù)來表示測量值的符號時，仍然可以精確、穩(wěn)定地恢復原始信號［1］。這一特性在實際應(yīng)用中有很多好處：

　　（1)大大減少了傳輸和存儲過程中所需的比特數(shù)。許多場合的優(yōu)化目標是減少總的比特數(shù)，而不僅僅是總的測量數(shù)。

　?。?)一比特量化器可以用一個簡單、高速的比較器實現(xiàn)。因此，降低采樣復雜度可以通過減少表示每個測量值的比特數(shù)，而不是測量數(shù)來實現(xiàn)。

　?。?)一比特量化對非線性失真不敏感，魯棒性能好。

1單比特壓縮感知

　　2008年，Petros T.Boufounos 第一次系統(tǒng)地闡述了壓縮感知體系中的一個全新的測量模型［1］——單比特壓縮感知模型。

　　在單比特壓縮感知中，觀測得到的測量值被量化到單比特，即只用一個二進制比特位來表示測量值大于零還是小于零，然后從這些正負號中恢復原信號。實驗結(jié)果表明，在能量限定的條件下，僅僅依靠測量值的符號，就可以完全恢復出原始信號［1］。

　　后來，Laurent Jacques等人在2011年對單比特壓縮感知從數(shù)學上進行了證明，奠定了單比特壓縮傳感的理論基礎(chǔ)。

　　2013年Jacques等人提出了單比特壓縮感知的理論框架，主要得到了兩個結(jié)論：（1）在無噪聲情況下單比特壓縮感知的重構(gòu)誤差界。（2）通過構(gòu)造“二值ε穩(wěn)定嵌入”（Binary εStable Embeddings, BεSE）,證明了當觀測矩陣Φ滿足類似RIP的特點性質(zhì)時，即使觀測噪聲使得觀測符號發(fā)生了變化，該重構(gòu)方法仍然穩(wěn)定。

　　1.1壓縮感知

　　假設(shè)一長度為N的實信號x，如果它是K稀疏的，即至多有K個元素非零，那么該向量可以通過包含它的M<<N個線性投影的測量向量y獲得精確重構(gòu)，即

　　y=Φx

　　上式中，Φ是M×N維測量矩陣。

　　信號稀疏恢復可通過如下問題求解：

　　=argminx0且y=Φx

　　上式中，*0表示非零元素的個數(shù)，可以稱為l0范數(shù)。然而求解最小化l0范數(shù)問題是一個NP難問題，可以考慮運用基于最小化l1范數(shù)的等價凸優(yōu)化模型：

　　=argminx1s.t. y=Φx

　　限制等容量條件（Restricted Isometry Property, RIP）為利用上式重構(gòu)信號提高了理論保證。

　　定義1（限制等容量條件）稱一測量矩陣Φ滿足具有參數(shù)（K,δ），δ∈(0,1)的限制等容量條件（RIP），如果對所有的K稀疏向量x，有下列式子成立：

　　(1－δ)x22≤Φx22≤(1+δ)x22

　　凸優(yōu)化是一種有效的壓縮感知恢復方法，除此之外，還有其他一些恢復算法，貪婪追蹤算法就是最常用的一種。RIP條件也為貪婪追蹤算法恢復信號提供了理論保證。

　　1.2單比特壓縮感知

　　在單比特壓縮感知中，測量值量化至單比特，即只保留測量值的符號：

　　y=sign(Φx)

　　上式中，sign(yi)=yi/|yi|。由于每個測量值只用了一個比特，所以M不僅是測量值個數(shù)，還是獲得的比特個數(shù)。為了獲得更好的恢復效果，可以取更多的比特數(shù)，甚至多于信號的長度N，此時的M/N可認為是原信號的“比特數(shù)/系數(shù)”。

　　可以利用一致性恢復概念重構(gòu)信號，因此，單比特壓縮感知要解決以下問題：

　　=argminx0且ys=sign(Φx)

　　然而求解最小化l0范數(shù)問題也是一個NP難問題，因此可以利用等價的l1范數(shù)并通過凸優(yōu)化方法實現(xiàn)一致性恢復，從而重構(gòu)出信號。

　　2基于單比特壓縮感知的重構(gòu)算法

　　本文對基于單比特壓縮感知的重構(gòu)算法進行了調(diào)查研究并總結(jié)。從單比特壓縮感知的重構(gòu)算法的發(fā)展來看，算法大致可以分為兩個大類。

　?。?）不檢測觀測符號翻轉(zhuǎn)情況的重構(gòu)算法

　　文獻［1］中提出了單比特壓縮感知的概念，并提出一種單比特壓縮感知的重構(gòu)算法——1bit FPC算法，并利用此算法進行了仿真實驗。實驗結(jié)果表明，在僅知道測量值符號的情況下，此算法仍能準確地恢復出原始信號。

　　文獻［2］中提出一個名為Soft Consistency Reconstructions（SCRs）的新算法。該算法是基于一致性標準的軟決策方法，而且優(yōu)于BIHT算法。該算法不需要噪聲的先驗知識，即不管有無噪聲的情況下都能夠精確地重構(gòu)出原始信號。

　　由于文獻［2］中的算法并不能保證得出的解為全局最優(yōu)解，所以，文獻［3］提出了一種基于CoSamp的匹配符號追蹤算法——Matching Sign Pursuit（MSP）, 這種方法在稀疏度K已知的情況下重構(gòu)信號。該算法通過貪婪迭代算法，不斷尋找包含原始信號支撐集的指標集，進而求解一個小規(guī)模的優(yōu)化問題，最終獲得重構(gòu)信號。實驗證明，對于恢復單位長度的稀疏信號，該方法無論是重構(gòu)誤差還是符號一致性，都明顯優(yōu)于FPC和CoSamp。但是，在含有噪聲時，該算法卻不能精確地重構(gòu)出原始信號。

　　文獻［4］提出了一種新的算法——Restricted Step Shrinkage。這個算法的收斂性在數(shù)學上可以得到證明，并且優(yōu)于MSP算法，擁有更好的抗噪聲性能。這是一種類似于置信域的凸優(yōu)化算法，且該算法的收斂性不依賴于初始值的選取。

　　(2)檢測觀測符號翻轉(zhuǎn)位置的重構(gòu)算法

　　在單比特壓縮感知中，如果有一個觀測符號發(fā)生翻轉(zhuǎn)，那么這個觀測符號將會對整個重構(gòu)過程帶來較大的影響，如果能探測到發(fā)生翻轉(zhuǎn)的觀測符號，那么就能更正它們，從而大幅度提高重構(gòu)精確度。

　　針對上述問題，文獻［5］提出了一種穩(wěn)定的單比特壓縮感知方法自適應(yīng)異常值追蹤——Adaptive Outlier Pursuit（AOP）。該算法在稀疏度K已知的情況下，能夠探測到符號翻轉(zhuǎn)，并且當發(fā)生大量觀測符號翻轉(zhuǎn)時，能夠以很高的精確度恢復信號。AOP的原理與傳統(tǒng)壓縮感知中處理脈沖噪聲類似，通過一系列的迭代過程自適應(yīng)地探測符號翻轉(zhuǎn)位置，同時不斷地更新觀測符號，求相應(yīng)子優(yōu)化問題的解，直到收斂。然而，在稀疏度K未知的情況下，AOP的表現(xiàn)不穩(wěn)定。

　　基于上述問題，文獻［6］提出了一種全新的重構(gòu)算法NARFPI。該方法與AOP不同之處在于：NARFPI方法在子優(yōu)化問題的罰函數(shù)中添加了l1范數(shù)，以加強其稀疏性。該方法對觀測符號翻轉(zhuǎn)的表現(xiàn)穩(wěn)定，更重要的是不需要稀疏度K的先驗知識。

　　文獻［7］中針對許多觀測符號同時發(fā)生翻轉(zhuǎn)的情況，提出了一種新的算法——Robust Binary Iterative Threshold（RBIHT）。此算法通過計算不一致符號的數(shù)量，可檢測出符號翻轉(zhuǎn)的位置，從而通過“corrected”測量矩陣重構(gòu)原始信號。該算法不需要關(guān)于噪聲的先驗知識，在測量噪聲和傳輸噪聲同時存在的情況下，也能擁有較高的精確度。

　　文獻［8］中提出了NARSS（NoiseAdaptive Restricted Step Shrinkage)算法。在稀疏度K未知、時間是變量和二進制測量矩陣存在噪聲的情況下，此算法都有很好的表現(xiàn)。在重構(gòu)表現(xiàn)、算法的復雜度和算法的收斂速度等方面，與其他的算法相比，該算法都有一定的優(yōu)勢。

3單比特壓縮感知的應(yīng)用

　　單比特壓縮感知技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域比較廣泛［9］，本文對此進行了分析與總結(jié)。

　?。?）成像領(lǐng)域

　　文獻［10］中，在合成孔徑雷達成像（SAR）領(lǐng)域中使用了單比特壓縮感知技術(shù)。在最大后驗估計的框架中［11］，作者提出了SAR圖像重構(gòu)問題，并且此問題在運用了單比特壓縮感知技術(shù)后得到了很好的解決［12］。實驗結(jié)果證明，此種方法可以提高信號重構(gòu)算法的信噪比，同時可以有效地抑制噪聲的影響。

　?。?）無線傳感網(wǎng)絡(luò)領(lǐng)域

　　文獻［11］中，將單比特壓縮感知技術(shù)運用于無線傳感網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)收集。在此文中，作者還提出了一種新穎的算法——Blind 1bit CS。在WSN的環(huán)境中，該算法與其他算法相比擁有一定的優(yōu)勢。在真實的傳感數(shù)據(jù)庫中進行實驗后，發(fā)現(xiàn)此算法效率很高，且能夠大幅度地減少每個傳感節(jié)點的負擔，從而提高工作效率。

　　（3）醫(yī)學圖像領(lǐng)域

　　臨床醫(yī)學上可通過EEG（腦電圖）檢查進行腦部診斷，而EEG可以通過單比特壓縮感知技術(shù)獲得。文獻［13］中，在單比特壓縮感知的基礎(chǔ)上建立了一個全新的模擬信息轉(zhuǎn)換器的體系結(jié)構(gòu)，用于醫(yī)學上的EEG檢查。實驗結(jié)果證明，這個新結(jié)構(gòu)能提高EEG的效率和質(zhì)量。

　?。?）信號傳輸領(lǐng)域

　　文獻［14］中，在單比特壓縮感知的基礎(chǔ)上建立了一個名為Turbo CS 的編解碼模型用于信號的傳輸，Turbo CS是迭代方法的一種。本文是在高斯白噪聲信道的環(huán)境下進行傳輸信號實驗的，結(jié)果證明Turbo CS的抗噪聲性能強，重構(gòu)精確度高。

　　總的來說，關(guān)于單比特壓縮感知應(yīng)用研究的論文并不是很多。

4總結(jié)

　　目前單比特壓縮感知算法的研究較多，但是還存在繼續(xù)研究的空間。比如，高信噪比和高精確度同時擁有并且不需要稀疏度K的先驗知識，這樣的算法較少。而且對單比特壓縮感知技術(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域的研究并不多，因此，此應(yīng)用領(lǐng)域的研究可能是將來的一個重要研究方向。

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