摘  要： 為克服傳統(tǒng)的低通到高通電路之間轉(zhuǎn)換的缺陷，從優(yōu)化設(shè)計(jì)的低通濾波器的傳輸函數(shù)著手，提出了一種通用的從低通到高通變換的新方法。理論與實(shí)際都證明了此方法能得到性能良好的高通濾波器。

　　關(guān)鍵詞： 低通濾波器；高通濾波器；傳遞函數(shù)

0 引言

　　濾波器指的是一種能夠使有用頻率信號(hào)順利通過(guò)，而抑制（或大為衰減）不需要的頻率信號(hào)的電子裝置。以往的濾波電路主要由無(wú)源元件R、L和C組成，自20世紀(jì)60年代以來(lái)，隨著集成運(yùn)放的迅速發(fā)展，由它和R、C組成的有源濾波電路相較無(wú)源濾波器具有不用電感、體積小、重量輕等優(yōu)點(diǎn)而得到快速發(fā)展，且被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)傳送、信號(hào)處理和抑制干擾等領(lǐng)域。

　　有源濾波器在人們?nèi)粘Ｉ钪幸颜加胁豢苫蛉钡闹匾匚?，常常將其作為一個(gè)系統(tǒng)的一個(gè)模塊，其性能的好壞，將對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的性能產(chǎn)生決定性的影響。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)低通濾波器的相關(guān)研究已相當(dāng)成熟[1]，但對(duì)高通濾波器尤其是高階高通濾波器的研究卻很少。近年來(lái)雖有開(kāi)關(guān)電容式專(zhuān)用濾波芯片出現(xiàn)，但其電路噪聲不盡人意。因此開(kāi)展高階RC有源高通濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)研究具有一定的實(shí)用價(jià)值。

1 四階高通有源濾波器優(yōu)化設(shè)計(jì)步驟

　　1.1 四階低通濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)

　　二階低通濾波器既是常用的濾波單元，又是構(gòu)成高階濾波器的基本組成單位。常見(jiàn)的二階低通濾波電路主要有MFB形式和VCVS形式。由于VCVS形式的二階低通電路具有輸入阻抗很高而輸出阻抗很低、所需的精密電阻與電容器件較少、對(duì)運(yùn)放要求較低等優(yōu)點(diǎn)，因此本文采用VCVS形式二階濾波節(jié)作為組成四階低通的基本單元。典型的二階低通濾波電路如圖1所示。

　　根據(jù)基爾霍夫電流定律以及運(yùn)放的“虛短”、“虛斷”原則，可以推導(dǎo)出圖1的傳輸函數(shù)為：

　　根據(jù)線性網(wǎng)絡(luò)理論[2]，并結(jié)合有源濾波器具有輸入與輸出便于級(jí)聯(lián)而不會(huì)產(chǎn)生額外的干擾信號(hào)的特點(diǎn)，則四階低通濾波器可由兩個(gè)上述二階濾波器的級(jí)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)。其電路原理圖如圖2所示。

　　可以推導(dǎo)出其傳輸函數(shù)為：

　　為計(jì)算方便，令R1=R2=R11=R22=1 Ω，則此時(shí)四階低通的傳輸函數(shù)可表示為：

　　巴特沃斯低通濾波器因在通頻帶內(nèi)具有大平坦的特點(diǎn)，且在過(guò)渡帶與阻帶內(nèi)具有單調(diào)下降的幅頻特性，因而被廣泛應(yīng)用。四階巴特沃斯歸一化低通傳輸函數(shù)[3]可表示為：

　　仔細(xì)觀察其傳輸函數(shù)，不難發(fā)現(xiàn)四階巴特沃斯低通傳輸函數(shù)可以用上面所述的兩個(gè)二階低通傳輸函數(shù)網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn)，只要將式（3）與式（4）進(jìn)行對(duì)照，并令它們完全相等，則：

　　C1C2C11C22=1.00（5）

　　2C1C2C22+2C2C11C22=2.61（6）

　　C1C2+4C2C22+C11C22=3.41（7）

　　2C2+2C22=2.61（8）

　　從而解得：

　　C1=1.082，C2=0.924 1，C11=2.613，C22=0.382 5（9）

　　這樣理論上來(lái)講，便把四階低通濾波器優(yōu)化為了歸一化的四階低通巴特沃斯濾波器。其電路原理如圖3所示。

　　經(jīng)仿真軟件仿真，此電路確實(shí)具有巴特沃斯濾波器的幅頻特性。且此歸一化低通濾波器為接下來(lái)高通濾波器的設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)低通濾波器4個(gè)電阻的阻值為1，也使得下一步變換成高通濾波器時(shí)電容的選擇更加方便快捷。

　　1.2 四階低通到四階高通的轉(zhuǎn)換與優(yōu)化設(shè)計(jì)

　　有關(guān)低通到高通電路之間的轉(zhuǎn)換方法，傳統(tǒng)的方法是：將低通網(wǎng)絡(luò)中每一個(gè)電阻Ri都變換為容量是1/Ri F的電容，同時(shí)將每個(gè)電容Cj換成阻值為1/Cj ?贅的電阻[4]。這時(shí)的高通濾波器的參數(shù)變?yōu)椋?/p>

　　則歸一化四階高通濾波器的電路如圖4所示。

　　但在實(shí)際電路中，這種簡(jiǎn)單的從低通到高通的變換通常并不能得到濾波特性較好的高通濾波器。如果仔細(xì)觀察分析上述濾波網(wǎng)絡(luò)的傳輸函數(shù)，如式（1）、式（2），不難發(fā)現(xiàn)：若濾波網(wǎng)絡(luò)中所有的電阻都乘以一個(gè)常數(shù)f，而同時(shí)所有的電容都除以同一個(gè)相同的常數(shù)f，則濾波網(wǎng)絡(luò)的傳輸函數(shù)不變（這是因?yàn)殡娙菖c電阻總是成對(duì)以乘積的形式出現(xiàn)），但其幅頻特性卻能得到大大的改善（通過(guò)仿真及實(shí)際電路觀測(cè)其幅頻特性得到）。

　　需要注意的是，這個(gè)常數(shù)的選擇是需要計(jì)算的，具體的計(jì)算方法見(jiàn)下面的設(shè)計(jì)實(shí)例，同時(shí)還需要仿真及調(diào)試來(lái)最終確定其數(shù)值。一般在低頻段其值要大一些，否則反之。

2 設(shè)計(jì)實(shí)例與仿真

　　2.1 設(shè)計(jì)要求

　　設(shè)計(jì)一高通濾波器，其技術(shù)指標(biāo)為：在600 Hz處最大衰減是3 dB，在250 Hz處的最小衰減為30 dB。

　　2.2 設(shè)計(jì)過(guò)程

　　由題意得其轉(zhuǎn)折頻率ω0=2π×600=3 770 rad/s，先找到歸一化巴特沃斯低通模型，確定濾波器階數(shù)。由于600/240=2.5，即它要滿足在2.5 rad/s處的最小衰減為30 dB。通過(guò)查找巴特沃斯幅頻響應(yīng)圖[5]，得知四階巴特沃斯低通濾波器滿足要求。

　　這樣就可以用上述的方法與過(guò)程來(lái)設(shè)計(jì)高通濾波器了：在圖3歸一化的四階低通巴特沃斯濾波器的電路基礎(chǔ)上，用前面所說(shuō)的方法將電容換成電阻，其阻值為該電容的倒數(shù)；同時(shí)電阻換成電容，其電容值為電阻值的倒數(shù)，參數(shù)如式（9）所示，得到圖4所示的歸一化高通濾波器。

　　接下來(lái)，如何得到合適的常數(shù)f的值呢？為方便起見(jiàn)，先選擇C′=0.1 F，則f=C/（C′×ω0）=1/（0.1×10-6×3 770）=2 653，同時(shí)通過(guò)仿真來(lái)驗(yàn)證，確實(shí)當(dāng)其值為2 653時(shí)，具有較好的濾波特性。則此時(shí)濾波網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)變?yōu)椋?/p>

　　C1=C2=C11=C22=0.1 F

　　R1=0.924×2 653=2.45 kΩ

　　R2=1.082×2 653=2.87 kΩ

　　R11=0.383×2 653=1.01 kΩ

　　R22=2.614×2 653=6.93 kΩ

　　最后電路原理及參數(shù)值如圖5所示。

　　2.3 仿真

　　本文采用Multisim 11電路仿真軟件，對(duì)圖4最后設(shè)計(jì)出來(lái)的帶有參數(shù)的四階高通濾波器電路進(jìn)行仿真。其仿真幅頻特性如圖6所示。高通濾波器歸一化的傳遞函數(shù)部分頻點(diǎn)的幅頻特征如表1所示。

　　從圖6及表1可以清楚地看到，它在600 Hz處的最大衰減是3 dB，在250 Hz處的最小衰減為30 dB，且在通帶內(nèi)具有最大幅度的特性，完全滿足設(shè)計(jì)的要求。

3 結(jié)論

　　本文主要是通過(guò)對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)的四階巴特沃斯低通濾波器進(jìn)行從低通到高通的變換，來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)四階高通濾波器。事實(shí)證明此方法切實(shí)可行，能夠滿足設(shè)計(jì)要求。

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