摘 要： 針對(duì)稱重儀表檢測(cè)電路中輸入與輸出值之間存在非線性關(guān)系的特性，在比較了幾種非線性校正方法的基礎(chǔ)上，給出了一種易于微處理器實(shí)現(xiàn)的正交多項(xiàng)式的非線性校正方法，求取稱重儀表檢測(cè)電路的非線性特征，實(shí)現(xiàn)了稱重儀表的非線性校正。同時(shí)討論了該算法的原理、校正參數(shù)的空間復(fù)雜度和算法的時(shí)間復(fù)雜度，從而論證了此算法在簡(jiǎn)單微處理器上的可用性，并以3階多項(xiàng)式為例介紹了該算法的實(shí)驗(yàn)效果。實(shí)踐表明，該算法簡(jiǎn)單實(shí)用，效果較好。
關(guān)鍵詞： 正交多項(xiàng)式；傳感器；非線性校正
稱重儀表是電子衡器的心臟部件，它融合了當(dāng)今先進(jìn)的信息技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)，在工業(yè)過程控制和貿(mào)易結(jié)算等方面得到了廣泛應(yīng)用。隨著微型計(jì)算機(jī)技術(shù)和嵌入式系統(tǒng)的迅速發(fā)展，現(xiàn)代測(cè)控系統(tǒng)對(duì)稱重儀表準(zhǔn)確度、穩(wěn)定性和工作條件等方面提出了更高的要求。然而，由于電子元器件性能參數(shù)的離散性、穩(wěn)定性和敏感性等因素的影響，使得壓力傳感器的反饋信號(hào)X和被測(cè)物體的質(zhì)量Y不是標(biāo)準(zhǔn)的線性關(guān)系。因此，需要對(duì)稱重儀表增加非線性校正環(huán)節(jié)。
非線性校正可以通過模擬電路來實(shí)現(xiàn)，但是模擬電路的接入不但增大了儀表的體積和成本，而且還會(huì)帶來新的非線性因素。隨著智能化儀表的發(fā)展，軟件非線性校正方法得到了廣泛應(yīng)用。目前，非線性校正方法主要有遺傳算法[1]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[2]、支持向量機(jī)法[3]、插值法[4]、函數(shù)擬合法等，這些方法取得了良好的校正效果，但是由于算法的復(fù)雜性對(duì)稱重儀表的處理器速度和存儲(chǔ)器容量提出更高要求，使得其中一些算法在普通的智能儀表中實(shí)現(xiàn)困難。鑒于這個(gè)原因，參考文獻(xiàn)[5]和參考文獻(xiàn)[6]分別采用了分段插值法和最小二乘法擬合曲線函數(shù)達(dá)到了較好的效果。然而分段插值法雖然算法簡(jiǎn)單，但是需要保存的浮點(diǎn)數(shù)參數(shù)隨著插值節(jié)點(diǎn)的增加而增多，對(duì)于存儲(chǔ)空間有限的稱重儀表來說浪費(fèi)了過多的資源；最小二乘法擬合曲線函數(shù)雖然算法成熟，需保存的參數(shù)也不多，但是在工程實(shí)踐中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)參數(shù)差異較大的病態(tài)方程，使得出的數(shù)據(jù)不可靠。本文基于正交多項(xiàng)式構(gòu)造了一個(gè)稱重儀表的非線性校正系統(tǒng)，既降低了曲線擬合算法的運(yùn)算復(fù)雜度，又節(jié)省了存儲(chǔ)空間，提高了稱重儀表的可靠性和穩(wěn)定性。
1 稱重儀表的非線性校正原理
如圖1所示，稱重儀表由稱重壓力傳感器、放大電路、濾波器、采樣保持器、A/D轉(zhuǎn)換電路、微處理器及相關(guān)附屬配件組成。其中，微處理器和A/D轉(zhuǎn)換電路是稱重儀表的核心部件，負(fù)責(zé)將壓力傳感器反饋的模擬量轉(zhuǎn)換為數(shù)字量，同時(shí)，依據(jù)計(jì)量算法將此數(shù)字量轉(zhuǎn)換成稱重物體的稱重值。
軟件實(shí)現(xiàn)稱重儀表的非線性校正就是在測(cè)量系統(tǒng)中為被測(cè)物重量與電信號(hào)輸出之間構(gòu)造理想的非線性函數(shù)關(guān)系。假設(shè)被測(cè)物體的質(zhì)量為m，傳感器及其采集電路的電信號(hào)輸出為v，其校正模型表示為v=g（m）。在A/D轉(zhuǎn)換之后增加一個(gè)由微處理器實(shí)現(xiàn)的非線性校正環(huán)節(jié)y=f（v），使補(bǔ)償后的輸出y與被測(cè)質(zhì)量u之間具有良好的線性特征，即：
Y=u=g-1（m）（1）
由式（1）可知，當(dāng)非線性校正環(huán)節(jié)為稱重儀表的反函數(shù)時(shí)，則可實(shí)現(xiàn)稱重儀表輸出的非線性校正。由于g（m）函數(shù)具有高度的非線性，因此f（v）很難直接獲得。本文利用正交多項(xiàng)式構(gòu)造了稱重儀表的擬合函數(shù)，實(shí)現(xiàn)了稱重儀表的非線性校正。
2 正交多項(xiàng)式的非線性校正原理
稱重儀表的非線性特征可以用m次多項(xiàng)式的非線性曲線來逼近，該多項(xiàng)式方程通過構(gòu)造正交多項(xiàng)式[7]來獲得。對(duì)于稱重儀表通過靜態(tài)實(shí)驗(yàn)標(biāo)定獲得的數(shù)據(jù)點(diǎn)（xi，yi）（i=1，2，…，n），此處x為稱重儀表通過A/D轉(zhuǎn)換后獲得的數(shù)字量，y為稱重值，選取一組在這些點(diǎn)上的正交的多項(xiàng)式函數(shù)系{Qi（xi），j=0，1，…，m}作為基函數(shù)組，其中Qi（xi）是j次多項(xiàng)式。擬合多項(xiàng)式記為：
式（4）中，k，j=0，1，…，m，一般m遠(yuǎn)小于n。
根據(jù)格拉姆-施密特正交化方法，構(gòu)造給定點(diǎn)上的正交多項(xiàng)式Qj（x）（j=0，1，…，m-1）的方法如下：
Q0（x）=1Q1（x）=（x-?琢0）Qj+1（x）=（x-?琢j）Qj（x）-?茁jQj-1（x）（5）
其中：
通過以上遞推公式，可以將式（2）推導(dǎo)為m次多項(xiàng)式的一般形式：
將q0Q0（x）項(xiàng)展開后累加到式（7），得：
當(dāng)j=1時(shí)，令Q1（x）=t0+t1x，顯然，t0=0，t1=1。由遞推公式（3）得：
將q1Q1（x）項(xiàng)展開后累加到多項(xiàng)式（7）中，即有：
a0+q1t0?圯a0
q1t1?圯a1
對(duì)于j=2，3，…，m，逐步遞推Qj（x），根據(jù)式（5）有：
3 算法設(shè)計(jì)
3.1 校正方程參數(shù)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和空間復(fù)雜度
由式（7）可知，m階正交多項(xiàng)式的非線性校正方程常駐內(nèi)存參數(shù)由m+1個(gè)多項(xiàng)式系數(shù)組成，即a0，a1，…，am，在算法中將這些參數(shù)定義為一個(gè)數(shù)組a[0]，a[1]，…，a[m]。在稱重儀表稱重過程中實(shí)時(shí)用到這些參數(shù)進(jìn)行非線性校正。如果使用3階正交多項(xiàng)式，只需要4個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，一般的微處理器完全可以支持。
由式（14）可以看到，m階多項(xiàng)式系數(shù)的計(jì)算過程中還需要3個(gè)長(zhǎng)度為m+1的數(shù)組（即公式中的s、t、b）作為臨時(shí)輔助變量，在算法中，分別定義為s[m]、t[m]、 b[m]，其中m=0，1，…，m，共需3×（m+1）個(gè)浮點(diǎn)數(shù)。此外，通過算法優(yōu)化，可以將式（3）和式（6）中的3個(gè)長(zhǎng)度為m+1的參數(shù)值（即公式中的α、β、q）縮減為3個(gè)變量重復(fù)使用，在算法中定義為α、β、q三個(gè)浮點(diǎn)數(shù)。
同時(shí)，由遞推公式（3）和（6），n個(gè)數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)也要占用2n個(gè)浮點(diǎn)數(shù)分別存放采樣值x和稱重值y作為臨時(shí)變量。在算法中定義為長(zhǎng)度為n的數(shù)組x[n]、y[n]。
綜上所述，構(gòu)造n個(gè)采樣點(diǎn)的m階正交多項(xiàng)式所需臨時(shí)變量的空間復(fù)雜度為：
2n+3（m+1）+（m+1）+3
由此計(jì)算，如果構(gòu)造10個(gè)采樣點(diǎn)的3階正交多項(xiàng)式，構(gòu)造過程共需39個(gè)浮點(diǎn)數(shù)，其中，臨時(shí)變量35個(gè)，常駐內(nèi)存變量4個(gè)。如果微處理器的存儲(chǔ)內(nèi)存資源不能達(dá)到要求，可以用離線方式構(gòu)造正交多項(xiàng)式，只將多項(xiàng)式系數(shù)保存在稱重儀表中在線使用。
3.2 正交多項(xiàng)式校正算法流程和時(shí)間復(fù)雜度
以下給出m階正交多項(xiàng)式算法流程，其中m≥3。
算法預(yù)備：通過稱重儀表靜態(tài)標(biāo)定，獲取n個(gè)采樣點(diǎn)（xi，yi）分別存入數(shù)組x[n]、y[n]，并定義其他上述相關(guān)變量。
（1）當(dāng)j=0時(shí)，依據(jù)式（8）求取式（2）中的q0，并且將q0的值放入多項(xiàng)式系數(shù)a[0]中保存，依據(jù)式（9）計(jì)算α0并保存到α中，令b[0]=1。
?。?）當(dāng)j=1時(shí)，t[0]=-α0，t[1]=1。依據(jù)式（10）~式（12）計(jì)算式（2）和式（5）的α1、β1、q1并分別保存到變量α、β、q中。同時(shí)，更新多項(xiàng)式系數(shù)a[0]=a[0]-α×q，a[1]=q。
?。?）當(dāng)j=2，3，…，m時(shí)，依據(jù)式（14）和式（15）依次進(jìn)行以下運(yùn)算和變量更新：
?、賡[j]=t[j-1]；
?、趕[j-1]=-α×t[j-1]+t[j-2]；
?、郛?dāng)j≥3時(shí)，依次對(duì)k=j-2，j-3，…，1進(jìn)行如下運(yùn)算：
s[k]=α×t[k]+t[k-1]-β×b[k]；
?、躶[0]=-α×t[0]-β×b[0]；
⑤當(dāng)k=j-1，j-2，…，0時(shí)，由式（3）、式（6）計(jì)算當(dāng)前的αj、βj、qj并分別保存到變量α、β、q中，在下一次循環(huán)中使用；
?、蕻?dāng)k=j-1，j-2，…，0時(shí)，更新如下變量：b[k]=t[k]； t[k]=s[k]；
⑦由式（15），更新多項(xiàng)式系數(shù)a[j]=q×s[j]；
⑧由式（15），更新當(dāng)k=j-1，j-2，…，0時(shí)多項(xiàng)式系數(shù)a[k]=q×s[k]+a[k]。
?。?）保存正交多項(xiàng)式系數(shù)a[0]，a[1]，…，a[m]。
可以看出，構(gòu)造正交多項(xiàng)式的時(shí)間復(fù)雜度主要集中在步驟（3）。其中，計(jì)算①、②、③中s[j]的累計(jì)時(shí)間復(fù)雜度為（m+2）（m-1）/2，⑥、⑦、⑧的計(jì)算可放在同一循環(huán)中，其時(shí)間復(fù)雜度為（m+2）（m-1）/2。除此之外，計(jì)算⑤中αj、βj、qj還需要n（m+2）（m-1）/2次的運(yùn)算。總的時(shí)間復(fù)雜度為：
?。╪+1）（m+2）（m-1）/2
當(dāng)用10個(gè)采樣點(diǎn)構(gòu)造3階正交多項(xiàng)式時(shí)，其時(shí)間復(fù)雜度為55，這個(gè)值對(duì)于一般的微處理器來說完全可以支持。
4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析
4.1 實(shí)驗(yàn)方案
為了檢驗(yàn)正交多項(xiàng)式對(duì)稱重儀表輸入電壓值u和重量值x的實(shí)際逼近效果，實(shí)驗(yàn)分兩步進(jìn)行：
?。?）選取0~380 kg作為稱重儀表的量程，每隔40 kg測(cè)量一次，一共獲得10個(gè)數(shù)據(jù)作為數(shù)據(jù)標(biāo)定點(diǎn)（xi，ui），結(jié)果如表1所示。用這10個(gè)采樣點(diǎn)構(gòu)造3階正交多項(xiàng)式，獲得多項(xiàng)式系數(shù)。
?。?）以20 kg為間隔，在0~380 kg之間測(cè)量電壓值作為測(cè)試點(diǎn)，共獲得20個(gè)測(cè)試點(diǎn)并代入正交多項(xiàng)式進(jìn)行檢驗(yàn)（結(jié)果如表2所示）。
最后計(jì)算所有測(cè)試點(diǎn)的相對(duì)誤差，分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。
4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果
由表1所列的數(shù)據(jù)標(biāo)定點(diǎn)，按照正交多項(xiàng)式構(gòu)建方法求得正交多項(xiàng)式系數(shù)為：a0=12.8278，a1=1.2659，a2= -4.3691×10-5，a3=-2.8491×10-8，從而求得此稱重儀表非線性校正環(huán)節(jié)的表達(dá)式為：
w（u）=-12.8278+1.2659u-4.3691×10-5u2-2.8491×10-8u3（16）
將表2中的20個(gè)測(cè)試值ui代入式（16），求得實(shí)際測(cè)量值wi，從表2可以看出，最大誤差為0.283，最小誤差為-0.005，誤差的算術(shù)平均值為0.003。
圖2是根據(jù)相對(duì)誤差計(jì)算公式式（17）繪制的各稱重測(cè)試點(diǎn)相對(duì)誤差直方圖。從圖中可以看出，所有試驗(yàn)點(diǎn)的相對(duì)誤差均未超過1%，19個(gè)相對(duì)誤差測(cè)試點(diǎn)中，相對(duì)誤差最大的是稱重載荷最小的點(diǎn)，其相對(duì)誤差是 0.9%，其次是第二個(gè)測(cè)試點(diǎn)，相對(duì)誤差是0.3%，其他測(cè)試點(diǎn)的相對(duì)誤差逐漸減小，最大不超過0.2%，平均相對(duì)誤差0.03%，當(dāng)稱重載荷大于300 kg時(shí)相對(duì)誤差小于 0.01%，其精度完全符合測(cè)試要求。從相對(duì)誤差的變化趨勢(shì)上看，當(dāng)稱重載荷質(zhì)量較小時(shí)，相對(duì)誤差較大；稱重載荷越大，相對(duì)誤差呈鋸齒狀減小。這說明正交多項(xiàng)式與稱重儀表的實(shí)際值很接近，誤差值很平均，稱重越重，相對(duì)誤差就越小。因此，在精度要求較高時(shí)，正交多項(xiàng)式校正算法更適用于接近滿量程的應(yīng)用。
δ=?駐k/xi×100%（17）
本文針對(duì)稱重儀表采集信號(hào)輸入和稱重值輸出呈非線性特征，在稱重系統(tǒng)中加入了由軟件方法實(shí)現(xiàn)的非線性校正環(huán)節(jié)，利用正交多項(xiàng)式擬合法進(jìn)行了非線性補(bǔ)償。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，稱重儀表通過非線性校正之后最大相對(duì)誤差小于1%，稱重越大，相對(duì)誤差越小，其校正效果能達(dá)到實(shí)際需要。
實(shí)際應(yīng)用中也表明，正交多項(xiàng)式非線性校正技術(shù)算法簡(jiǎn)單可靠、運(yùn)算過程中所需存儲(chǔ)器容量較小，易于在只配備簡(jiǎn)單微處理器的稱重儀表中實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際應(yīng)用中提高了稱重計(jì)量準(zhǔn)確性和靈敏度，降低了誤差，具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。
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