摘  要： 為了提高刀具預(yù)調(diào)測(cè)量?jī)x的檢測(cè)精度，提出了一種改進(jìn)的圖像快速亞像素邊緣檢測(cè)算法——基于正交多項(xiàng)式擬合的亞像素邊緣檢測(cè)算法。首先，利用傳統(tǒng)的Sobel算子完成邊緣點(diǎn)整像素級(jí)別的檢測(cè)，確定邊緣的主體區(qū)域；然后，過(guò)邊緣點(diǎn)沿邊緣法線方向拓展像素，取一系列像素點(diǎn)并計(jì)算其灰度值；最后根據(jù)像素點(diǎn)灰度分布的數(shù)學(xué)特征，利用正交多項(xiàng)式和最小二乘法求擬合函數(shù)，通過(guò)擬合曲線確定圖像邊緣點(diǎn)的精確位置，實(shí)現(xiàn)圖像亞像素邊緣檢測(cè)。實(shí)驗(yàn)證明，該算法運(yùn)行時(shí)間短，約為0.63 s；檢測(cè)精度高，可達(dá)0.1 pixels。

　　關(guān)鍵詞： 邊緣檢測(cè)； 亞像素； Sobel；正交多項(xiàng)式； 曲線擬合

0 引言

　　在機(jī)械加工時(shí)，刀具的幾何參數(shù)對(duì)數(shù)控機(jī)床的生產(chǎn)效率和加工質(zhì)量有著重大影響，因此，刀具必須在使用前明確其精確參數(shù)。目前，國(guó)內(nèi)常用的刀具測(cè)量方法，如機(jī)械式測(cè)量法、光學(xué)投影法等已無(wú)法滿足現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)的要求，以圖像處理為核心的圖像測(cè)量技術(shù)具有高精度、高效率、非接觸和自動(dòng)化程度高等優(yōu)點(diǎn)，能實(shí)現(xiàn)對(duì)刀具參數(shù)的精確檢測(cè)。圖像測(cè)量技術(shù)的實(shí)質(zhì)是提取刀具精確的輪廓邊緣，邊緣檢測(cè)是圖像處理的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。傳統(tǒng)的邊緣檢測(cè)算法，如Sobel算子、Canny算子、LOG算子等雖然其形式簡(jiǎn)單，易實(shí)現(xiàn)，速度快，但檢測(cè)精度不理想，僅能達(dá)到整像素級(jí)別，且對(duì)噪聲特別敏感，常產(chǎn)生偽邊緣。欲提高檢測(cè)系統(tǒng)的精度，通過(guò)優(yōu)化算法的軟處理比提高系統(tǒng)硬件分辨率的硬處理更加實(shí)用、有效[1]。

　　提出一種改進(jìn)的圖像亞像素邊緣檢測(cè)算法，利用傳統(tǒng)的Sobel算子和五次正交多項(xiàng)式最小二乘擬合原理實(shí)現(xiàn)邊緣精定位。

1亞像素邊緣檢測(cè)算法理論

　　1.1邊緣主體區(qū)域粗定位

　　Sobel算子既能確定邊緣點(diǎn)的位置和方向，還能根據(jù)像素點(diǎn)上下、左右鄰點(diǎn)的灰度加權(quán)差，對(duì)噪聲具有平滑作用，能提供較好的圖像邊緣信息，所以在邊緣主體區(qū)域粗定位時(shí)選用Sobel算子。Sobel算子是一種梯度幅值，其表現(xiàn)形式為：

　　其中，M（x，y）是像素點(diǎn)灰度值，Sx、Sy分別是邊緣點(diǎn)橫向、縱向的檢測(cè)灰度值。當(dāng)M（x，y）大于給定的閾值時(shí)，可確定點(diǎn)（x，y）為邊緣點(diǎn)，并根據(jù)Sx、Sy判斷梯度方向，=arctan（Sy/Sx）。從圖1可以看出，Sobel算子對(duì)邊緣主體區(qū)域粗定位有很好的效果[2]。

　　1.2 邊緣亞像素精定位

　　CCD是光強(qiáng)積分器件，在CCD采樣過(guò)程中，物空間突變的灰度在光學(xué)成像后會(huì)成為漸變的形式。如圖2（a）所示，圖像兩側(cè)分別表示背景和物體各自內(nèi)部的灰度變化情況，兩者之間表示圖像邊緣附近的灰度變化情況；如圖2（b）所示，沿邊緣法線方向，物體與背景內(nèi)部區(qū)域的灰度差分值微小，而邊緣附近的灰度差分最大，這就是經(jīng)典邊緣提取的理論。

　　以上述理論為基礎(chǔ)，對(duì)過(guò)粗定位所得邊緣點(diǎn)，沿邊緣法線方向拓展像素，得到一系列過(guò)邊緣線的像素點(diǎn)，求得這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的灰度值，然后根據(jù)這些點(diǎn)灰度分布的數(shù)學(xué)特征，利用五次正交多項(xiàng)式最小二乘法擬合原理求得擬合函數(shù)與曲線，再根據(jù)擬合曲線確定圖像邊緣亞像素點(diǎn)的位置，從而實(shí)現(xiàn)邊緣點(diǎn)的亞像素精確定位，這就是本文改進(jìn)的亞像素邊緣檢測(cè)算法的原理。

　　1.2.1 正交多項(xiàng)式擬合函數(shù)

　　在實(shí)際應(yīng)用中，要在保證檢測(cè)精度的前提下盡可能地縮短運(yùn)算時(shí)間，從而提高運(yùn)算效率，因此選擇適當(dāng)數(shù)量的邊緣點(diǎn)是十分重要的。選點(diǎn)過(guò)多會(huì)增加運(yùn)算時(shí)間，降低效率；選點(diǎn)過(guò)少會(huì)降低檢測(cè)精度，定位不準(zhǔn)。綜合以上因素，本課題選取5個(gè)像素點(diǎn)，橫坐標(biāo)x代表像素值，其取值分別設(shè)為-2、-1、0、1、2，其縱坐標(biāo)y代表各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的灰度值。根據(jù)施密特正交化公式[3]可得正交基函數(shù)，如式1所示。

　　為了能取得較理想的擬合效果，選取[G0（x），G1（x），G2（x），G3（x），G4（x），G5（x）]為基底進(jìn)行擬合，擬合函數(shù)方程為：

　　F5（x）=a0·G0（x）+a1·G1（x）+a2·G2（x）+a3·G3（x）+a4·G4（x）+a5·G5（x）（2）

　　其中，a0、a1、a2、a3、a4、a5是五次正交多項(xiàng)式函數(shù)的未知系數(shù)[4]。

　　假設(shè)任一坐標(biāo)點(diǎn)（xi，yi）的橫、縱坐標(biāo)隨機(jī)誤差分別為pi、qi，則實(shí)測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)到擬合曲線的距離殘差為：

　　全部點(diǎn)到曲線的距離殘差平方和為：

　　求取式（4）最小值min（S）時(shí)，根據(jù)正交多項(xiàng)式最小二乘法擬合原理推導(dǎo)得系數(shù)為：

　　直接使用式（5）求多項(xiàng)式系數(shù)計(jì)算量大，較困難，且不能直觀體現(xiàn)各變量之間的內(nèi)在規(guī)律與聯(lián)系，因此對(duì)公式進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化為如下更直觀的矩陣表達(dá)式：

　　由式（6）可求得多項(xiàng)式系數(shù)值：

　　將式（7）代入式（2）得擬合函數(shù)F5（x）：

　　1.2.2 計(jì)算圖像邊緣位置

　　根據(jù)亞像素邊緣檢測(cè)原理可知，擬合函數(shù)表達(dá)式F5（x）是以點(diǎn)的灰度值為基本元素求得的。從數(shù)學(xué)意義上來(lái)講，F(xiàn)5（x）描述了圖像邊緣線的情況，而函數(shù)一階微分

　　則描述了邊緣線變化程度的情況，即點(diǎn)的灰度值變化率的情況。那么，函數(shù)二階微分

　　則描述了點(diǎn)的灰度值變化率的變化情況。

　　由以上分析可知，亞像素點(diǎn)的位置就是點(diǎn)的灰度值變化率變化最大的位置，依據(jù)極值求解條件，將函數(shù)F5（x）對(duì)x求二階微分并令其等于零，即

　　求得x的數(shù)值即是亞像素點(diǎn)的位置。

2 亞像素邊緣檢測(cè)算法的實(shí)驗(yàn)

　　利用Visual C++6.0語(yǔ)言在MATLAB V201b2軟件平臺(tái)編寫(xiě)Sobel算子和本文改進(jìn)的算法程序?qū)崿F(xiàn)對(duì)圖像的數(shù)字處理。

　　實(shí)驗(yàn)1 算法抗噪性能研究

　　圖像信噪比等于信號(hào)與噪聲的功率譜之比。由此可知，邊緣點(diǎn)的檢測(cè)精度與噪聲成負(fù)相關(guān)關(guān)系。分別用兩種算法處理圖像，效果如圖3所示。可以看出，本文算法與Sobel算子相比同樣具有完整且較細(xì)的邊緣，但前者生成的噪點(diǎn)明顯更少，因而具有更好的抗噪聲性能。

　　實(shí)驗(yàn)2 算法檢測(cè)精度研究[5]

　　制作了尺寸為100×100的二值化圖像，如圖4所示。白色矩形所在區(qū)域的灰度值為0，其余背景灰度值為255，底邊在圖像第20行、第20~80列位置上。首先提取了部分邊緣點(diǎn)理論坐標(biāo)值，再使用改進(jìn)的算法處理圖像并提取了相應(yīng)邊緣點(diǎn)的亞像素坐標(biāo)檢測(cè)值，如表1所示。通過(guò)分析與計(jì)算可知改進(jìn)算法的檢測(cè)精度。

　　以單個(gè)像素點(diǎn)坐標(biāo)理論值與檢測(cè)值的坐標(biāo)差值作為算法偏差，經(jīng)計(jì)算可得其標(biāo)準(zhǔn)偏差約為0.1 pixels。

　　實(shí)驗(yàn)3 算法時(shí)間研究

　　取尺寸為1 600×1 455的同一圖像在同一實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行多次測(cè)試，得到多組運(yùn)行時(shí)間，如表2所示。為了提高數(shù)據(jù)的可靠性，首先從數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最小值和一個(gè)最大值，再求取其他組的平均值作為運(yùn)行時(shí)間。經(jīng)計(jì)算，Sobel處理時(shí)間約為0.34 s，本文算法的處理時(shí)間約為0.63 s。

3 結(jié)束語(yǔ)

　　從理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)可以看出，本文改進(jìn)的亞像素邊緣檢測(cè)算法具有抗噪性能強(qiáng)、檢測(cè)精度高、運(yùn)行速度快的優(yōu)點(diǎn)，主要適用于對(duì)處理速度和檢測(cè)精度要求較高的機(jī)器視覺(jué)檢測(cè)系統(tǒng)，而且已試用于數(shù)控機(jī)床刀具預(yù)調(diào)測(cè)量?jī)x，極大地提高了數(shù)控機(jī)床的效能，運(yùn)行穩(wěn)定、可靠。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1] 李東光，景芳盛，張國(guó)雄.計(jì)算機(jī)視覺(jué)二維刀具預(yù)調(diào)測(cè)量?jī)x的研究[J].制造技術(shù)與機(jī)床，2001（5）：20-22.

　　[2] 劉力雙，張銚，盧慧卿，等.圖像的快速亞像素邊緣檢測(cè)算法[J].光電子·激光，2005，16（8）：993-996.

　　[3] 王新民，術(shù)洪亮.工程數(shù)學(xué)計(jì)算方法[M].北京：高等教育出版社，2005.

　　[4] 徐中宇，寧闖，周亞洲.一種快速亞像素邊緣檢測(cè)算法[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（理學(xué)版），2014，52（2）：308-313.

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