??? 摘 要: 分形圖像壓縮編碼" title="壓縮編碼">壓縮編碼是近年來(lái)產(chǎn)生的新的圖像壓縮編碼技術(shù)，由于其具有極高的壓縮比而獲得廣泛的關(guān)注。主要討論了圖像小波" title="小波">小波域的去噪" title="去噪">去噪問(wèn)題以及如何將小波域的去噪與分形圖像壓縮方法結(jié)合起來(lái)，以獲得良好的編碼效率和圖像質(zhì)量。
??? 關(guān)鍵詞: 分形編碼? 圖像壓縮? 噪聲
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??? 分形的概念是由數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot于1975年提出的，他把分形定義為“一種由許多個(gè)與整體有某種相似性的局部所構(gòu)成的形體”。分形概念的提出及分形幾何學(xué)的創(chuàng)立為描述客觀世界提供了更準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。圖形學(xué)是幾何學(xué)的延伸與發(fā)展，分形模型研究成果的積累形成了新的圖像學(xué)分支——分形圖像學(xué)。而基于分形的圖像編碼方法實(shí)質(zhì)是對(duì)圖像中一個(gè)或多個(gè)相對(duì)大的部分施行壓縮變換來(lái)逼近圖像的每一部分。1990年，A.Jacquin提出了全自動(dòng)的可行的分形壓縮編碼方法，由于其可以獲得極高的壓縮比而得到廣泛關(guān)注。在實(shí)際的圖像編碼過(guò)程中，原始圖像經(jīng)常被噪聲（最常見的是高斯白噪聲）污染。由于噪聲的存在，一方面使得圖像編碼的時(shí)間延長(zhǎng)，另一方面，降低了圖像的信噪比，圖像質(zhì)量明顯下降。因此，筆者試圖尋找一種方法，在不影響圖像壓縮比的前提下去噪，從而提高編碼效率和圖像質(zhì)量。
1 分形圖像壓縮編碼方法
1．1拼接定理（Collage Theorem）
??? 拼接定理是分形圖像壓縮技術(shù)的核心[1]。
??? 設(shè){RT: wi,i=1,2,…，p}是T維的收縮仿射變換集合，
收縮因子s∈(0,1),且滿足：
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??? 其中，A為IFS的吸引子，h(A,B)為Hausdorff距離。拼接定理給出了數(shù)集V與吸引子IFS之間逼近程度的一個(gè)上限值，即拼接誤差的上限值。
??? 拼接定理提供了用IFS進(jìn)行圖像壓縮的理論依據(jù)。對(duì)于一般的灰度圖像，可認(rèn)為是一張?jiān)蓟叶惹妫≧3空間上的一個(gè)緊子集）進(jìn)行抽樣和量化得到的。盡管無(wú)法使原始圖像(V)成為某一個(gè)迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS的吸引子，但是如果能找到一組收縮仿射變換wi,i=1,2,…，p，
該IFS{RT:wi,i=1,2,…，p}對(duì)應(yīng)吸引子的良好逼近。
??? 在利用收縮仿射變換{RT:wi,i=1,2,…p}對(duì)圖像進(jìn)行解壓縮時(shí)，迭代過(guò)程與初始條件無(wú)關(guān)。也就是說(shuō)，對(duì)任意給定的初始圖像數(shù)據(jù)進(jìn)行多次迭代，就可以完成對(duì)原始圖像的重構(gòu)" title="重構(gòu)">重構(gòu)。
1．2 分形圖像壓縮編碼的實(shí)現(xiàn)
??? 所謂局部IFS（LIFS）是指其變換的定義域" title="定義域">定義域由原來(lái)的整個(gè)區(qū)域放寬為全部區(qū)域的某些子集。通過(guò)將IFS理論從全局?jǐn)U展到局部，可以得到一種全自動(dòng)的分形壓縮方案，Jacquin方法的實(shí)質(zhì)是固定方塊定義域塊的大小并限制仿射變換為一定的形式，然后搜索圖像尋找與定義域塊相匹配的值域塊（它的大小是定義域塊的4倍），搜索中要配合Jacquin提出的八種對(duì)稱變換算子對(duì)值域塊進(jìn)行變換。
??? 編碼壓縮過(guò)程：把原始圖像分成互不重疊的定義域塊(Range塊)，這些塊能將原始圖像全部覆蓋，每一個(gè)Range塊大小均為B×B；再把原始圖像分成互相重疊的值域塊（Domain塊），每一Domain塊的大小均為D×D,且通常D=2B。為使壓縮后重構(gòu)圖像的質(zhì)量更好，相鄰的Domain塊之間在水平及垂直方向均有重疊，水平及垂直方向上位移量為B。依次對(duì)每一個(gè)Domain塊中相鄰的4個(gè)灰度值求平均，于是每一個(gè)大小為D×D(2B×2B) Domain塊就變成了大小為B×B的Sub_ Domain塊。之后利用最小二乘法，并配合八種對(duì)稱變換算子，將收縮后的Domain塊（Sub_ Domain塊）與Range塊進(jìn)行匹配運(yùn)算：
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??? 若計(jì)算出的MSE小于給定誤差，則認(rèn)為匹配成功，否則繼續(xù)匹配，在找到最佳值域塊及仿射變換后，需要存儲(chǔ)其參數(shù)以便傳輸。這些參數(shù)包括：匹配成功的Domain塊塊號(hào)、Jacquin變換算子的編號(hào)以及比例因子S、偏移量O。
??? 解碼重構(gòu)過(guò)程：從任意的初始圖像開始（當(dāng)然該圖的大小要與原圖一致），和原始圖像（如圖1所示）一樣，對(duì)任意圖像也分為相同大小的定義域塊和值域塊，根據(jù)傳輸?shù)膮?shù)，用值域塊對(duì)定義域塊進(jìn)行逼近，當(dāng)全部的定義域塊都被逼近一次后，稱為完成一次迭代，所得圖像作為下一次迭代的初始圖像，一直迭代下去直至重構(gòu)圖像不再隨迭代發(fā)生顯著變化為止，重構(gòu)結(jié)束。
2 對(duì)噪聲圖像進(jìn)行分形壓縮編碼的結(jié)果
??? 以256×256的Lena灰度圖像為例（噪聲均為零均值的高斯白噪聲）,在對(duì)圖像進(jìn)行分割時(shí)，取B=4,D=8。表1給出了用分形壓縮算法對(duì)噪聲圖像編碼的結(jié)果。圖2和圖3給出了噪聲方差為50時(shí)的噪聲圖像和分形壓縮圖像。
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??? 從表1中可以明顯看出，當(dāng)圖像被高斯白噪聲污染后，分形編碼算法的性能明顯降低，一是編碼時(shí)間大大增加，而且噪聲方差越大，編碼時(shí)間越長(zhǎng)，這主要是因?yàn)閳D像被污染的程度越大，圖像信息損害的就越厲害，圖像的分形特性遭到破壞，在編碼過(guò)程中尋找匹配塊的難度就越大、時(shí)間越久，分形算法的編碼效率大大降低。二是重構(gòu)圖像信噪比降低，圖像質(zhì)量嚴(yán)重惡化，尤其是方差增大時(shí)，圖像質(zhì)量惡化更嚴(yán)重，如方差為200時(shí)，重構(gòu)圖像的信噪比降到了24.36（如圖3所示），圖像的一些信息特征已經(jīng)不存在了。因此要提高含噪聲圖像的編碼效率和信噪比，就必須對(duì)圖像先進(jìn)行去噪處理，同時(shí)要保證圖像的分形特點(diǎn)。由于小波已被廣泛地用于圖像處理并獲得良好的效果，所以利用小波方法對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理。
3? 圖像小波域的去噪方法
??? 小波分析用于圖像去噪處理，主要是針對(duì)圖像信號(hào)與噪聲信號(hào)經(jīng)小波變換后在不同的分辨率下呈現(xiàn)不同的規(guī)律，在不同的分辨率下，設(shè)定閾值門限，調(diào)整小波系數(shù)，達(dá)到圖像去噪目的[2]。
??? 在小波系數(shù)進(jìn)行取舍之前，實(shí)際上按照一定準(zhǔn)則（或者閾值化）將小波系數(shù)劃分為兩類：一類是重要的、規(guī)則的小波系數(shù)；另一類是被看作非重要的或者受噪聲干擾較大的小波系數(shù)。通常以小波系數(shù)的絕對(duì)值作為小波系數(shù)的分類單元。小波系數(shù)絕對(duì)值趨向于零，意味著小波系數(shù)所包含的信息量少并且強(qiáng)烈地受噪聲干擾。最常用的閾值化去噪方法：一是默認(rèn)閾值消噪處理，即在消噪處理過(guò)程中采用程序中設(shè)定的閾值，對(duì)分解信號(hào)進(jìn)行分類處理，以求消除噪聲；二是給定軟（或硬）閾值消噪處理，閾值通過(guò)某一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式獲得，該閾值比默認(rèn)的閾值去噪效果更有說(shuō)服力。
??? 對(duì)于“軟閾值化”，絕對(duì)值小于閾值?啄的小波系數(shù)數(shù)值用零代替；絕對(duì)值大于閾值?啄的小波系數(shù)數(shù)值用?啄來(lái)縮減。如下式所示:
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??? 式中，W表示小波系數(shù)的數(shù)值；sgn(·)是符號(hào)函數(shù)，當(dāng)數(shù)值大于零，符號(hào)為正，反之符號(hào)為負(fù)。對(duì)于“硬閾值化”，僅僅保留絕對(duì)值大于閾值?啄的小波系數(shù)，并且被保留系數(shù)與原始系數(shù)相同（沒(méi)有被縮減）,如下式所示:
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??? 兩種方法各有差異，前者具有連續(xù)性，在數(shù)學(xué)上容易處理，后者更接近實(shí)際應(yīng)用。
??? 閾值化處理的關(guān)鍵在于選擇合適的閾值?啄。如果閾值門限太小，處理后的信號(hào)仍有噪聲存在；閾值太大，重要的圖像特征將被濾掉，引起偏差。大多數(shù)閾值的選取過(guò)程是針對(duì)一組小波系數(shù)，即根據(jù)本組小波系數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，計(jì)算出一個(gè)閾值?啄。Donoho[3]等提出了一種典型的閾值選取方法，從理論上證明閾值與噪聲的方差成正比，為：
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??? 其中,Nj表示第j層子帶上小波系數(shù)的個(gè)數(shù)。
??? 通過(guò)對(duì)信號(hào)的收縮閾值處理，能較好去除噪聲，提高重構(gòu)圖像的信噪比和圖像的編碼效率。
4 去噪聲圖像的分形壓縮編碼結(jié)果及討論
??? 為了便于對(duì)比，這里所采用的圖像仍然是256×256的Lena灰度圖像，分解所用的濾波器是雙正交B97濾波器,分解級(jí)數(shù)為4。實(shí)驗(yàn)均在Pentium 4/1.5G、RAM128MB的機(jī)器上編譯完成。表2給出了用分形壓縮算法對(duì)消噪圖像編碼的結(jié)果。圖4和圖5是消噪圖像（原噪聲圖像方差=100）和消噪圖像分形壓縮結(jié)果。
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??? 從表2和表1的對(duì)比中可以明顯看出，經(jīng)小波域去噪的圖像分形壓縮編碼性能明顯提高，一是體現(xiàn)在編碼時(shí)間上，去噪圖像的編碼時(shí)間與有噪圖像相比大大縮短，效率大大提高，分形壓縮方法本身特點(diǎn)就是壓縮時(shí)間長(zhǎng)，因此這種效率的提高是非常可觀的；二是圖像質(zhì)量明顯好轉(zhuǎn)，信噪比有較大的提高，保證了分形壓縮編碼的質(zhì)量（如圖5所示）。以上實(shí)驗(yàn)和結(jié)論充分說(shuō)明了圖像小波域的去噪方法能夠?qū)υ肼晥D像進(jìn)行良好的消噪處理，保證了分形壓縮編碼方法的編碼效率和圖像質(zhì)量。
參考文獻(xiàn)
1 杜世培,楊 木.分形圖像壓縮方法的改進(jìn)與實(shí)現(xiàn)[J].貴州工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2000；（8）：56~59
2 陳武凡.小波分析及其在圖像處理中的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2002
3 David L.Donoho .De-noising by soft-thresholding[J].IEEE?Trans.On Information Theory.1995；41(3)：617~627