2? 定點(diǎn)小數(shù)表達(dá)方式
??? 為了精確構(gòu)造數(shù)字濾波器，經(jīng)常要用到浮點(diǎn)數(shù)據(jù)和系數(shù)。在進(jìn)行浮點(diǎn)數(shù)乘法運(yùn)算時(shí)，針對(duì)AVR單片機(jī)設(shè)計(jì)的C編譯器例如AVR-GCC，需要加入額外的數(shù)學(xué)庫函數(shù)進(jìn)行編譯。而這會(huì)使編譯后程序的代碼量增加、處理時(shí)間加長、處理器的開銷也隨之增加。為了更大限度地降低系統(tǒng)開銷，提高程序效率，采用定點(diǎn)小數(shù)表示形式進(jìn)行乘法運(yùn)算是最佳選擇。
??? AVR單片機(jī)是一種8位精簡指令集（RISC）單片機(jī)。其中megaAVR系列內(nèi)部都帶有一個(gè)硬件乘法器，計(jì)算一次8位乘8位的定點(diǎn)乘法只需2個(gè)時(shí)鐘周期。因此采用8位定點(diǎn)采樣數(shù)據(jù)乘以8位系數(shù)的定點(diǎn)乘法方式完成濾波算法是最高效的。
??? 低通濾波處理涉及的運(yùn)算形式為一個(gè)純小數(shù)系數(shù)和一個(gè)已知數(shù)據(jù)相乘再相加。因此將系數(shù)采用定點(diǎn)小數(shù)的表示形式，對(duì)于提高算法速度是至關(guān)重要的。
??? 可以定義一種8位定點(diǎn)小數(shù)表示形式——Q8數(shù)，其各位權(quán)系數(shù)如下：

??? Q8數(shù)的表示范圍從0到1-2^-8=0.99609375，每兩個(gè)數(shù)之間的間隔是2^-8（0.00390625），其所能表達(dá)的純小數(shù)共有2⁸=256個(gè)。例如11011000就表示2^-1+2^-2+2^-4+2^-5=0.84375，而11011001就是表示2^-1+2^-2+2^-4+2^-5+2^-8=0.84765625，因此0.84375和0.84765625之間的純小數(shù)只能用這兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)近似表示了。這對(duì)于乘法計(jì)算的精度有一定的影響，但是由于濾波公式（3）中的系數(shù)a和（1-a）都是常數(shù)，在整體性能穩(wěn)定的情況下，系數(shù)微小的不確定性對(duì)濾波器整體性能并沒有太大的影響。
3 分配系數(shù)法原理
??? 從（3）式可知，濾波算法可以用迭代計(jì)算實(shí)現(xiàn)，為保證每個(gè)新的輸出值都可以作為下次計(jì)算的輸入值，必須使輸出值和輸入值的位寬度一致。AVR單片機(jī)內(nèi)部硬件乘法器的輸出結(jié)果為16位，兩次乘法運(yùn)算的結(jié)果還要進(jìn)行加法運(yùn)算，其結(jié)果很有可能超過16位寬度。如果要進(jìn)行迭代計(jì)算，就要將乘加運(yùn)算的結(jié)果轉(zhuǎn)化成8位表示方式。一種解決方法是用查表法實(shí)現(xiàn)乘法計(jì)算，這樣運(yùn)算結(jié)果就直接表達(dá)成8位定點(diǎn)數(shù)形式，不用進(jìn)行表示方式的轉(zhuǎn)化，但是這種方案要占用額外的硬件存儲(chǔ)空間構(gòu)造一張查找表。
??? 可以從逆向進(jìn)行思考：由（3）式可知，每個(gè)新的輸出值y(k)都與上一次的輸出值y(k-1)和新的輸入值x(k)有關(guān)。y(k-1)和x(k)都是8位的，因此最大值為0xFF。為了使a×y(k-1)+(1-a)×x(k)不超過0xFFFF，兩個(gè)系數(shù)a和（1-a）的和不能超過0xFFFF/0xFF=0x101。實(shí)際上，a+(1-a)等于“1”，因此這里的0x101就可以看作“1”。如果取a=0.9，那么對(duì)應(yīng)地將0x101平均分成10份，取其中的9份，即0x101×0.9近似等于0xE7， 相應(yīng)地0.1就等于0x101-0xE7=0x1A。這里的0xE7可以近似被認(rèn)為是0.9的一種定點(diǎn)Q8數(shù)表示形式，而0.1的定點(diǎn)Q8數(shù)表示形式就是0x1A。由于濾波器系數(shù)a和(1-a)采用了Q8數(shù)的表示形式，這種將16位乘加運(yùn)算結(jié)果轉(zhuǎn)化為8位定點(diǎn)數(shù)表示形式的工作就變得簡單了，只需通過移位運(yùn)算，取y(k)的高8位即可，對(duì)應(yīng)的C語言代碼為：
??? y(k)=(char)(y(k)>>8)
??? 在C語言編程處理中，并不需要建立一個(gè)數(shù)組來儲(chǔ)存y(k)的值，而只需定義兩個(gè)unsigned char型的變量分別儲(chǔ)存y(k-1)和x(k)。當(dāng)乘加計(jì)算a×y(k-1)+(1-a)×x(k)完成后，將結(jié)果轉(zhuǎn)化成8位定點(diǎn)數(shù)形式，再將其賦值給y(k-1)所對(duì)應(yīng)的變量即可。因此采用迭代方式進(jìn)行乘加運(yùn)算后，整個(gè)運(yùn)算過程只需要兩個(gè)變量和兩個(gè)常數(shù)參加即可。
??? 通過這種處理，y(k)就可以作為計(jì)算下一次輸出值y(k+1)的一個(gè)已知量，并繼續(xù)與Q8數(shù)形式的濾波器系數(shù)相乘，得到新的輸出值。這種處理方式簡化了乘加運(yùn)算的完成過程，節(jié)省了系統(tǒng)硬件資源，并降低了處理器開銷。
4 采樣時(shí)間的控制
??? 采用單片機(jī)進(jìn)行數(shù)字信號(hào)處理，一種有效而準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)采集方式就是通過計(jì)數(shù)器中斷服務(wù)程序" title="中斷服務(wù)程序">中斷服務(wù)程序(ISR)控制AD對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行精確采樣。但是（圖2）中斷服務(wù)程序(ISR)的開銷影響了AD采樣時(shí)間間隔的精確度，同時(shí)如果中斷服務(wù)程序(ISR)的開銷過大，必然導(dǎo)致AD的最高采樣頻率的降低。因此，要想獲得精確的采樣頻率，就必須在盡量減少中斷服務(wù)程序開銷的前提下，適當(dāng)調(diào)整計(jì)數(shù)器中斷的時(shí)間間隔。這可以通過調(diào)整OCR0的預(yù)置數(shù)來完成。

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5 算法流程圖
??? 濾波算法是通過中斷服務(wù)程序（ISR）來完成的，整個(gè)應(yīng)用程序的主函數(shù)main()主要負(fù)責(zé)初始化計(jì)數(shù)器中斷，并處理其它應(yīng)用。整個(gè)程序的流程圖如圖3所示。

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??? 本算法的C語言代碼（附錄A）經(jīng)過AVR-GCC編譯器的編譯后，“.text”段只有310個(gè)字節(jié)，大大節(jié)省了單片機(jī)的flash空間。
6? 基于VMLAB的濾波系統(tǒng)仿真實(shí)現(xiàn)
??? VMLAB的全稱為：Visual Micro Lab。它針對(duì)AVR系列單片機(jī)和ST62系列單片機(jī)設(shè)計(jì)，是一個(gè)單片機(jī)的虛擬原型框架，可以提供給用戶一個(gè)真正意義上的虛擬微控制器（MCU）設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)室。它具有強(qiáng)大的多窗口、多文件的編輯器，微控制器的集成開發(fā)環(huán)境，擁有一系列的集成開發(fā)工具，圖形界面的調(diào)試器，混合模式的模擬-數(shù)字電路仿真器，代碼質(zhì)量檢查器等。基于MCU，它可以仿真出包括模擬元器件在內(nèi)的更多外圍設(shè)備，并具有交互式器件模擬仿真功能。
??? 假設(shè)有用信號(hào)是2V大小的直流信號(hào)，工頻干擾是峰峰值為1V，頻率為50Hz的正弦波，建立單片機(jī)AD的輸入信號(hào)表示形式如下：
??? 2+0.5 sin(2π×50×t）
??? VMLAB通過工程文件來管理和控制各種仿真信息、硬件連接以及顯示I/O電壓波形等。根據(jù)本算法的特點(diǎn)，采用Atmega16作為目標(biāo)單片機(jī)，時(shí)鐘選為8MHz，建立工程文件。恰當(dāng)設(shè)置OCR0寄存器，使計(jì)數(shù)器比較匹配中斷的時(shí)間間隔約為2ms，這樣AD的采樣頻率F_s近似認(rèn)為等于500Hz。經(jīng)過仿真，對(duì)比結(jié)果如表3。

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??? 從表3可以看出：隨著a的增大，算法收斂的時(shí)間變長，同時(shí)50Hz對(duì)應(yīng)的衰減幅度增加，衰減的幅度值和理論推導(dǎo)基本一致。另外，當(dāng)a=0.95時(shí)，DA輸出的均值變小。這主要是進(jìn)行循環(huán)迭代運(yùn)算時(shí)，需要將16位的變量轉(zhuǎn)化為8位表示形式所導(dǎo)致的。在有用信號(hào)失真較小的情況下，為使濾波器達(dá)到降低工頻干擾的最佳效果，必須恰當(dāng)選擇a值。經(jīng)過以上的仿真試驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=0.9時(shí)，衰減幅度、DA輸出均值和算法收斂時(shí)間表現(xiàn)比較均衡，可以作為一般情況下的選擇值。
??? 將VMLAB中虛擬示波器的顯示數(shù)據(jù)導(dǎo)出到一個(gè)*.cvs文件中，用matlab讀出這些數(shù)據(jù)，并畫出不同a值對(duì)應(yīng)的輸出響應(yīng)，如圖4。從圖4可以清晰看出不同a值下算法的性能變化的大致走向。

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??? 將AD的采樣間隔設(shè)置為4ms，對(duì)應(yīng)的采樣頻率F_s就變?yōu)?50Hz，其它條件不變。通過VMLAB進(jìn)行仿真，對(duì)比結(jié)果如表4、圖5。

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