0 引言

    相對(duì)于模擬濾波器，數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可編程改變?yōu)V波特性、便于集成等一系列優(yōu)點(diǎn)，并且理論上可實(shí)現(xiàn)近似理想頻率特性的濾波性能。經(jīng)典的數(shù)字濾波器主要包括有限脈沖響應(yīng)（Finite Impulse Response，F(xiàn)IR）濾波器和無限脈沖響應(yīng)（Infinite Impulse Response，IIR）濾波器。相對(duì)于IIR濾波器來說，當(dāng)FIR濾波器系數(shù)保持線性對(duì)稱結(jié)構(gòu)時(shí)，能夠在滿足幅頻響應(yīng)要求的同時(shí)獲得嚴(yán)格的線性相位特性。在數(shù)據(jù)通信、語音信號(hào)處理、雷達(dá)信號(hào)處理等領(lǐng)域通常要求信號(hào)在傳輸過程中不能有明顯的相位失真，因此FIR濾波器獲得了更廣泛的應(yīng)用^[1]。

    FPGA因其獨(dú)特的可編程結(jié)構(gòu)及強(qiáng)大的并行運(yùn)算能力，很適合于實(shí)現(xiàn)FIR濾波器設(shè)計(jì)?；贔PGA的FIR濾波器設(shè)計(jì)近年來一直是學(xué)者們研究的熱點(diǎn)，主要集中在最優(yōu)濾波器設(shè)計(jì)方法、提高濾波器運(yùn)行速度、濾波器系數(shù)量化方法等方面^[2-7]。常規(guī)的系數(shù)量化方法僅關(guān)注對(duì)濾波器本身幅頻特性的影響^[8]，較少考慮在濾波器輸出位寬確定的情況下，如何提高輸出幅度，進(jìn)而最大化輸出信噪比的問題。在研究分析傳統(tǒng)濾波器系數(shù)量化方法的基礎(chǔ)上，提出了基于濾波器增益的系數(shù)量化方法，給出了MATLAB及FPGA實(shí)現(xiàn)后的ModelSim仿真測試數(shù)據(jù)，結(jié)果表明這種方法最多可將濾波輸出幅度提高近一倍，信噪比提高近6 dB。

1 FIR濾波器原理及結(jié)構(gòu)

    FIR濾波器，是指單位脈沖響應(yīng)長度有限的濾波器。FIR濾波器的突出特點(diǎn)是其單位取樣響應(yīng)h(n)是一個(gè)N點(diǎn)長的有限長序列，0≤n≤N-1。濾波器的輸出y(n)可表示為輸入序列x(n)與單位取樣響應(yīng)h(n)的線性卷積。

    從系統(tǒng)函數(shù)很容易看出，F(xiàn)IR濾波器只在原點(diǎn)上存在極點(diǎn)，這使得FIR濾波器具有全局穩(wěn)定性。FIR濾波器是由一個(gè)抽頭延遲線加法器和乘法器的集合構(gòu)成的，每一個(gè)乘法器的操作系數(shù)就是一個(gè)FIR系數(shù)。因此，F(xiàn)IR的這種結(jié)構(gòu)也被人們稱為抽頭延遲線結(jié)構(gòu)。圖1是FIR濾波器FPGA實(shí)現(xiàn)的典型結(jié)構(gòu)圖。

2 系數(shù)量化對(duì)FIR濾波器性能的影響

2.1 FIR濾波器的MATLAB設(shè)計(jì)方法

    在采用FPGA編程實(shí)現(xiàn)FIR濾波器之前，通常采用MATLAB軟件設(shè)計(jì)濾波器系數(shù)。MATLAB提供了豐富的FIR濾波器函數(shù)，分別對(duì)應(yīng)不同的設(shè)計(jì)方法，如窗函數(shù)法、頻率取樣法、基于“最大誤差最小”的最優(yōu)設(shè)計(jì)法等。為便于對(duì)比，采用最優(yōu)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)FIR低通濾波器(MATLAB設(shè)計(jì)函數(shù)為firpm)，其參數(shù)為：采樣頻率32 MHz，過渡帶0.5 MHz~1.5 MHz。圖2為MATLAB設(shè)計(jì)出的濾波器幅頻響應(yīng)圖。

    由圖2可知，F(xiàn)IR濾波器的長度N越大，濾波器過渡帶越接近設(shè)計(jì)參數(shù)，通帶及阻帶濾波性能越好，當(dāng)N=41時(shí)阻帶衰減為26 dB，當(dāng)N=61時(shí)阻帶衰減為38.5 dB，當(dāng)N=81時(shí)阻帶衰減為48 dB；當(dāng)系數(shù)長度超過一定值后（本實(shí)例為61），濾波器過渡帶的改善余量已很小，但通帶及阻帶濾波性能會(huì)持續(xù)增加。不失一般性，下文以長度為61的低通濾波器為例進(jìn)行討論。

2.2 系數(shù)的量化方法及其對(duì)濾波性能的影響分析

    根據(jù)MATLAB的FIR濾波器設(shè)計(jì)原理，無論濾波器長度多長，濾波器通帶內(nèi)增益均為1（0 dB），濾波器系數(shù)為帶小數(shù)的浮點(diǎn)數(shù)。由于FPGA只能處理二進(jìn)制數(shù)據(jù)，MATLAB設(shè)計(jì)出的濾波器系數(shù)需要轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)據(jù)才能完成FPGA電路實(shí)現(xiàn)。

    濾波器系數(shù)是帶符號(hào)的數(shù)據(jù)，F(xiàn)PGA實(shí)現(xiàn)時(shí)需要用二進(jìn)制補(bǔ)碼格式表示。設(shè)濾波器系數(shù)的量化位寬為Q，則系數(shù)C的表示范圍為-2^Q-1≤C≤(2^Q-1-1)，又由于FIR濾波器系數(shù)的嚴(yán)格對(duì)稱特性，實(shí)際范圍為(1-2^Q-1)≤C≤(2^Q-1-1)。

    傳統(tǒng)的濾波器系數(shù)量化方法可分解為3個(gè)步驟：(1)找出濾波器系數(shù)中最大的絕對(duì)值數(shù)M；(2)以M為基準(zhǔn)，對(duì)所有濾波系數(shù)進(jìn)行歸一化處理，即對(duì)所有系數(shù)除以M；(3)對(duì)所有濾波器系數(shù)乘以(2^Q-1-1)，并對(duì)處理后的系數(shù)取整形成整數(shù)系數(shù)；(4)將整數(shù)濾波器系數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)據(jù)。圖3為不同量化位寬情況下的濾波器幅頻響應(yīng)圖。

    由圖3(a)中的歸一化幅頻圖可知，濾波器系數(shù)量化位寬越小，量化后的濾波性能越差(當(dāng)量化位寬為6 bit時(shí)，阻帶衰減相比量化前減小了約6 dB)，反之量化位寬越大，量化前后的濾波性能相差越小。當(dāng)量化位寬超過一定值(本實(shí)例為12 bit)后，濾波性能幾乎不再變化。不失一般性，下文以長度為61、量化位寬為12 bit的低通濾波器為例進(jìn)行討論。

3 基于增益的FIR濾波器系數(shù)量化方法

3.1 一般量化方法對(duì)系統(tǒng)性能的影響

    根據(jù)前面討論的濾波器量化方法，系數(shù)量化過程相當(dāng)于濾波器增益擴(kuò)大了(2^Q-1-1)/M倍。從圖3(b)中的未歸一化幅頻圖可知，量化位寬越大，濾波器通帶內(nèi)的增益越大。當(dāng)量化位寬為6 bit時(shí)，通帶增益為54 dB，當(dāng)量化位寬為12 bit時(shí)，增益為90 dB。

    FPGA設(shè)計(jì)FIR濾波器，一般采用定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算。前面討論系數(shù)量化對(duì)系統(tǒng)性能的影響時(shí)，實(shí)際有一個(gè)前提條件，即濾波運(yùn)算采用全精度運(yùn)算，濾波運(yùn)算的結(jié)果保留全部有效數(shù)據(jù)位。當(dāng)濾波器系數(shù)量化位寬為Q時(shí)，由于濾波器增益擴(kuò)大了(2^Q-1-1)/M倍（一般來說，M≤1），為保證全精度運(yùn)算，保留全部有效濾波輸出位寬，相對(duì)于濾波器輸入信號(hào)而言，位寬將增加Q_a bit。其中

    對(duì)于前面討論的長度N=61，量化位寬Q=12的低通濾波器而言，M=0.062 1，(2^Q-1-1)/M=32 963，則濾波輸出位寬需增加Q_a=16 bit。假設(shè)輸入數(shù)據(jù)位寬為10 bit，則濾波器全精度輸出位寬為26 bit。

3.2 基于增益的系數(shù)量化方法

    根據(jù)前面的討論，量化濾波器系數(shù)后，輸出有效位寬所能表示信號(hào)的信噪比下降，是由于濾波輸出信號(hào)達(dá)不到滿量程狀態(tài)。為此，優(yōu)化濾波器系數(shù)量化方法，采用基于濾波器增益的方法對(duì)系數(shù)進(jìn)行量化。結(jié)合前述的濾波器實(shí)例，具體步驟為：(1)對(duì)所有濾波器系數(shù)乘以=2¹⁶=65 536，并對(duì)處理后的系數(shù)取整形成整數(shù)系數(shù)；(2)將整數(shù)濾波器系數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制補(bǔ)碼數(shù)據(jù)。

    經(jīng)過改進(jìn)的量化處理后，相當(dāng)于對(duì)濾波增益直接增加了65 536倍（常規(guī)方法僅增加了32 963倍），濾波輸出的數(shù)據(jù)幅值能夠達(dá)到輸出數(shù)據(jù)有效位寬所能表示的滿量程值，實(shí)現(xiàn)了輸出位寬一定的條件下，輸出信號(hào)信噪比的最大化。經(jīng)過這樣的量化處理，系數(shù)的量化位寬為：

    對(duì)于上文所討論的低通濾波器，量化位寬需要13 bit。圖4為常規(guī)量化方法和改進(jìn)量化方法的濾波器系數(shù)（沖激響應(yīng)）圖，其中Q_a=16。

    從圖4可以看出，在濾波輸出位寬相同的條件下，改進(jìn)的量化方法所產(chǎn)生的濾波器系數(shù)（沖激響應(yīng)）幅值大于常規(guī)方法，相當(dāng)于濾波器增益更大。同時(shí)也要注意到，改進(jìn)的量化方法所需的濾波器系數(shù)位寬由12 bit增加到13 bit。也就是說，增加濾波器增益，是以增加系數(shù)量化位寬為代價(jià)的。

4 FPGA實(shí)現(xiàn)后的測試結(jié)果分析

    接下來采用Xilinx的Spartan6系列FPGA器件XC6SLX25-FT256C為目標(biāo)平臺(tái)，調(diào)用ISE14.7工具中的FIR濾波器核，實(shí)現(xiàn)前文所討論的低通濾波器(采樣頻率為32 MHz，過渡帶為0.5 MHz~1.5 MHz，濾波器長度N=61)。仿真工具為ModelSim10.1，輸入信號(hào)為2路單頻信號(hào)的疊加。兩路單頻信號(hào)頻率分別為0.22 MHz和2 MHz，功率比為1:1。輸入位寬為10 bit，濾波器輸出位寬為26(Q_a=16)。圖5、圖6分別為常規(guī)量化方法和改進(jìn)量化方法的濾波器ModelSim仿真波形圖。

    從圖5、圖6中可以看出，兩種方法都能夠有效濾除帶外干擾信號(hào)（2 MHz單頻信號(hào)），改進(jìn)量化方法的濾波器輸出信號(hào)幅度值（16，641，407）明顯大于常規(guī)量化方法的幅度值（7，910，390），相當(dāng)于增加了濾波增益，增加了濾波輸出信號(hào)的信噪比。

5 結(jié)論

    本文詳細(xì)分析了濾波器系數(shù)量化方法對(duì)濾波性能的影響。在對(duì)常規(guī)系數(shù)量化方法的步驟、原理進(jìn)行分析的基礎(chǔ)上，針對(duì)濾波輸出數(shù)據(jù)幅值達(dá)不到有效位寬滿量程的現(xiàn)象，提出了基于濾波器增益的系數(shù)量化改進(jìn)方法。MATLAB仿真及FPGA實(shí)現(xiàn)后的ModelSim仿真均表明，在濾波輸出位寬相同的條件下，改進(jìn)的量化方法可以有效提高濾波器增益，進(jìn)而提高濾波輸出信號(hào)的信噪比。需要注意的是，增加濾波器增益是以增加系數(shù)量化位寬、增加FPGA實(shí)現(xiàn)后的邏輯資源為代價(jià)的。

參考文獻(xiàn)

[1] 高耀鴻.基于FPGA的FIR低通濾波器[D].長沙：湖南大學(xué)，2012.

[2] 朱效效，蔡俊，陸偉.基于優(yōu)化DA算法濾波器的設(shè)計(jì)及其FPGA實(shí)現(xiàn)[J].電子技術(shù)應(yīng)用，2015，41(2)：59-60，64.

[3] 徐彥凱，雙凱.提高定點(diǎn)精度的FPGA信號(hào)處理算法[J].計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)，2012，34(9)：197-200.

[4] 郭廣浩，劉志哲，孟慶龍，等.多級(jí)并行流水FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與驗(yàn)證[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2015，38(1)：69-72.

[5] 李凱勇.基于FPGA高效FIR濾波器設(shè)計(jì)[J].青海大學(xué)學(xué)報(bào)，2017，35(6)：56-60.

[6] 張娜，李春祎.多相并行FIR濾波器的FPGA高速實(shí)現(xiàn)方法[J].無線電通信技術(shù)，2017，43(4)：86-90.

[7] 周龍，王紅玲，崔新瑩，等.基于FPGA及分布式算法濾波器[J].電子設(shè)計(jì)工程，2017，25(23)：139-142.

[8] 曹振吉，何敏.基于FPGA和Matlab的FIR數(shù)字濾波器[J].現(xiàn)代電子技術(shù)，2015，38(19)：98-101.

作者信息:

杜  勇

（四川工商學(xué)院 電子信息工程學(xué)院，四川 成都611745）