0 引言

    板球系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量、欠驅(qū)動(dòng)非線性系統(tǒng)^[1]，從20世紀(jì)80年代開始，板球系統(tǒng)因其結(jié)果的直觀性以及結(jié)構(gòu)的簡易性，被廣泛用于各類控制算法性能的驗(yàn)證，受到國內(nèi)外的廣泛關(guān)注^[2-4]。在對(duì)期望軌跡的跟蹤過程中，板球系統(tǒng)的控制條件干擾因素眾多。各種外界存在的不確定性擾動(dòng)使得控制變得異常復(fù)雜，也給系統(tǒng)的精確建模帶來很多的困難，單純的線性化很難達(dá)到理想的要求^[5-6]。板球系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)日漸成為關(guān)鍵的問題，一系列針對(duì)抑制非線性、強(qiáng)耦合和不確定性對(duì)系統(tǒng)性能影響的算法被提出，魯棒控制^[7]、滑?？刂?sup>[8]以及自適應(yīng)控制^[9]等，都在一定程度上提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度和控制精度。

    滑模變結(jié)構(gòu)控制作為控制理論中一種特殊的非線性控制策略，可以根據(jù)系統(tǒng)當(dāng)前的狀態(tài)，控制系統(tǒng)按照預(yù)定的狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng)^[10-11]。這種滑動(dòng)模態(tài)的設(shè)計(jì)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)和外部干擾均有很好的魯棒性。且因算法相對(duì)簡單，在工程實(shí)現(xiàn)過程較為容易，而被廣泛應(yīng)用于實(shí)際現(xiàn)場設(shè)備。但是滑模變結(jié)構(gòu)的開關(guān)特性會(huì)引發(fā)實(shí)際系統(tǒng)強(qiáng)烈的高頻抖振問題^[12]。這種高頻抖振會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，影響系統(tǒng)的控制精度。為了解決這一問題，文獻(xiàn)[13]重點(diǎn)討論了模糊滑模控制的方法，通過模糊算法調(diào)節(jié)指數(shù)趨近律的參數(shù)，設(shè)計(jì)了一種模糊滑?？刂破?。文獻(xiàn)[14]結(jié)合系統(tǒng)參數(shù)不確定性，采用自適應(yīng)變結(jié)構(gòu)控制方案，使得系統(tǒng)信號(hào)保持有界。文獻(xiàn)[15]采用的趨近律滑模變結(jié)構(gòu)控制方法以及文獻(xiàn)[16]的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑?？刂贫荚谝欢ǔ潭壬媳苊饬硕墩瘳F(xiàn)象的出現(xiàn)。但是上述方法均沒有綜合考慮系統(tǒng)的不確定性因素和外在干擾。

    本文針對(duì)板球系統(tǒng)多變量、易受不確定因素影響而導(dǎo)致控制器難以設(shè)計(jì)、魯棒性差的問題，提出一種反演自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面滑模控制方法。在反推過程中，綜合考慮每一步設(shè)計(jì)控制量時(shí)的相互制約性，在確保系統(tǒng)滿足Lyapunov全局漸近穩(wěn)定性的基礎(chǔ)上，通過將自適應(yīng)技術(shù)與動(dòng)態(tài)滑模算法相結(jié)合，對(duì)外在干擾值進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)了新的切換函數(shù)。該方法對(duì)建模誤差、外界干擾等不確定因素均不敏感，具有良好的自適應(yīng)能力和魯棒性能。

1 系統(tǒng)描述及分析

    板球系統(tǒng)的主要結(jié)構(gòu)由2個(gè)直流電機(jī)、球盤、小球、攝像頭、工控機(jī)等部分構(gòu)成。工控機(jī)內(nèi)控制板驅(qū)動(dòng)2個(gè)直流電機(jī)分別控制球盤x軸方向和y軸方向的升降，經(jīng)球盤的運(yùn)動(dòng)可調(diào)整盤中小球位置，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的跟蹤。球盤上方的攝像頭結(jié)合圖像視覺系統(tǒng)對(duì)小球的位置信息進(jìn)行實(shí)時(shí)采集。通過位置信息對(duì)比，及時(shí)調(diào)整小球位置，完成軌跡跟蹤。

    其中，動(dòng)力學(xué)機(jī)構(gòu)部分由于機(jī)械誤差以及控制性能各種復(fù)雜干擾條件眾多，對(duì)板球系統(tǒng)的精確跟蹤及抗擾性能有著很高的要求。能否有效提高板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)機(jī)構(gòu)的控制性能，對(duì)板球系統(tǒng)的整體控制性能有著決定性的影響。為了便于動(dòng)力學(xué)建模與分析，針對(duì)板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)機(jī)構(gòu)，考慮以下假設(shè)情況：

    (1)任何情況下，球和平板都接觸；

    (2)不考慮板的面積和旋轉(zhuǎn)角度限制；

    (3)球在板上沒有滑動(dòng)和繞其豎直中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)；

    (4)板在x軸和y軸方向上關(guān)于其支撐點(diǎn)對(duì)稱。

    建立板球系統(tǒng)坐標(biāo)系如圖1所示，參考文獻(xiàn)[17]，結(jié)合以上假設(shè)，依據(jù)拉格朗日力學(xué)方法進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析建立板球系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程如下：

    假設(shè)x軸和y軸之間的耦合項(xiàng)足夠小，則板球系統(tǒng)可按x軸和y軸方向解耦為2個(gè)相同的子系統(tǒng)。將系統(tǒng)耦合量及不確定量設(shè)為d，由式(2)得x軸的子系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

    各參數(shù)含義見表1。

2 反演自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

    滑模變結(jié)構(gòu)控制方法在對(duì)非線性系統(tǒng)的處理和控制中獲得了廣泛的應(yīng)用。但常規(guī)滑模變結(jié)構(gòu)控制不可避免地存在“抖振”問題。作為一種消除“抖振”的有效方法，動(dòng)態(tài)滑模控制被應(yīng)用到移動(dòng)機(jī)器人、并聯(lián)機(jī)器人、機(jī)械臂等非線性系統(tǒng)中。下面利用反演法，基于動(dòng)態(tài)滑?？刂评碚摚Y(jié)合自適應(yīng)技術(shù)，進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，|d_i(t，x)|≤D（D為干擾上界）。

    步驟1 令指令信號(hào)為連續(xù)函數(shù)x₁，結(jié)合式（4）第1個(gè)方程，定義系統(tǒng)誤差面為e₁=x₁-x_1d。預(yù)選Lyapunov函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得:

    將x₂作為式(5)的虛擬控制變量，設(shè)常數(shù)c₁為正實(shí)數(shù)，設(shè)計(jì)反饋控制律為：

3 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

3.1 實(shí)驗(yàn)仿真

    為了驗(yàn)證本文算法所設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)滑?？刂破鞯目刂凭纫约斑\(yùn)行時(shí)間等性能，分別對(duì)板球系統(tǒng)的x軸、y軸設(shè)計(jì)軌跡跟蹤模型。實(shí)驗(yàn)仿真環(huán)境為MATLAB 2015a, CPU為Intel Core i5，內(nèi)存為DDR3 4 GB，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)參數(shù)如表2所示。

    實(shí)驗(yàn)所用期望軌跡跟蹤模型如式(24)所示，該模型起始點(diǎn)設(shè)為(0，0)，幅值為0.1 m，在x軸和y軸上分別做正弦、余弦曲線跟蹤。

    分別考慮本文算法在有擾動(dòng)和無擾動(dòng)情況下對(duì)期望軌跡的跟蹤性能。在相同的擾動(dòng)條件下，采用動(dòng)態(tài)滑模對(duì)x軸、y軸及圓形軌跡的期望軌跡進(jìn)行跟蹤，作為與本文方法的實(shí)驗(yàn)對(duì)比。仿真結(jié)果數(shù)據(jù)比較見表3。

3.2 仿真結(jié)果分析

    由圖2（a）和圖2（b）仿真結(jié)果可以看出，在受擾情況下，動(dòng)態(tài)滑模體現(xiàn)出了一定的魯棒性。通過與本文算法相對(duì)比，本文算法在加入自適應(yīng)調(diào)整策略干擾上界預(yù)估后，在跟蹤精度和快速性方面具有更好的控制性能。由圖3（a）和圖3（b）可知，在無擾動(dòng)狀態(tài)下，動(dòng)態(tài)滑模和本文方法均實(shí)現(xiàn)了對(duì)期望軌跡的有效追蹤，本文方法快速性較好，在跟蹤精度方面也獲得了有效提升。在圖4中，分別針對(duì)不同干擾情況，采用2種算法對(duì)圓形軌跡進(jìn)行跟蹤，通過精度對(duì)比可知，本文方法在系統(tǒng)受到外界干擾的情況下，可以有效減弱干擾影響，相比于動(dòng)態(tài)滑模，在控制精度與快速性方面均獲得提升。

4 結(jié)論

    本文以板球系統(tǒng)為對(duì)象，針對(duì)板球系統(tǒng)在不確定干擾下的軌跡跟蹤精度問題，提出了一種反演自適應(yīng)動(dòng)態(tài)滑?？刂品椒?。該方法應(yīng)用自適應(yīng)滑?？刂扑惴▽?duì)干擾邊界進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)了新的切換函數(shù)，有效解決了傳統(tǒng)滑模的抖振問題，同時(shí)提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，降低了外界干擾的影響，大大增強(qiáng)了系統(tǒng)對(duì)自身參數(shù)攝動(dòng)的非脆弱性，保證了系統(tǒng)在Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性。通過與動(dòng)態(tài)滑模方法進(jìn)行仿真對(duì)比，表明了該方法的有效性。下一步的工作重點(diǎn)是結(jié)合群智能算法對(duì)控制因子進(jìn)行調(diào)整，針對(duì)兩軸間的耦合誤差做進(jìn)一步研究。

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作者信息:

郝  偉，張宏立

（新疆大學(xué) 電氣工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊830047）