文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼: A
DOI:10.16157/j.issn.0258-7998.180908
中文引用格式: 曹拓,付松,何思遠(yuǎn). 基于自適應(yīng)變步長(zhǎng)歐拉法的NURBS曲面爬行波尋跡算法[J].電子技術(shù)應(yīng)用,2018,44(7):19-23.
英文引用格式: Cao Tuo,F(xiàn)u Song,He Siyuan. Creeping-ray tracing algorithm for arbitrary NURBS surfaces based on adaptive variable step Euler method[J]. Application of Electronic Technique,2018,44(7):19-23.
0 引言
在高頻電磁問題中,一致性幾何繞射理論(UTD)應(yīng)用非常廣泛[1],例如目標(biāo)散射特性預(yù)估。因此,在準(zhǔn)確獲得目標(biāo)表面UTD繞射場(chǎng)問題上,表面爬行射線波追蹤起著非常大的作用[2]。所以,首先要進(jìn)行目標(biāo)表面爬行波追蹤(測(cè)地線軌跡)。但是,實(shí)際上除了一些典型形體能夠直接得到測(cè)地線微分方程(GDE)外,在任意形狀的光滑物體表面如何測(cè)定測(cè)地線軌跡是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。
JHA R M[3-5]提出了Geodesic Constant解析方法,但只在一般的拋物旋轉(zhuǎn)面適用。通常地,在工程應(yīng)用上,很多目標(biāo)被看作如木板、圓柱、圓錐和球等一些已經(jīng)有爬行波尋跡解析解的典型形體。但很難用這些典型形體去估計(jì)復(fù)雜形體,這似乎就限制了UTD方法的應(yīng)用。
因此,需要介紹一下數(shù)值爬行波追蹤算法,該方法基于離散三角面剖分模型表面,但是不能直接應(yīng)用于UTD算法[6]。除了用離散三角形面片建立復(fù)雜模型,它還可以描述NURBS曲面。而且,NURBS曲面由于它的高精度、少面片的特性,被引用到高頻電磁分析領(lǐng)域。當(dāng)目標(biāo)用NURBS曲面表示后,測(cè)地線軌跡可由GDE求解直接獲得。所以,一些數(shù)值方法被用來計(jì)算GDE。為了獲得NURBS曲面上的爬行波軌跡[7],歐拉方法效率高但是精度低,精度依賴于剖分面片外形,對(duì)于任意形狀模型可能會(huì)失效。
為了提高在任意形狀NURBS表面爬行波追蹤的準(zhǔn)確性和效率,本文提出了一種基于新型自適應(yīng)變步長(zhǎng)歐拉法的爬行波跟蹤算法。由于自適應(yīng)變步長(zhǎng)歐拉方法是基于傳統(tǒng)的歐拉法,從而保證了效率;并在數(shù)值迭代求解GDE的過程中引進(jìn)形狀因子ξ,離散的步長(zhǎng)可以及時(shí)自適應(yīng)地糾正。因此,與傳統(tǒng)的歐拉法相比,該方法可以很容易地保證其準(zhǔn)確性在任意形狀的NURBS表面上的爬行光線跟蹤。也就是說,它更適合于工程應(yīng)用。
1 任意形狀目標(biāo)NURBS曲面建模
非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines,NURBS)曲面是非均勻B樣條曲面的有理推廣。它被定義為:
u、v參數(shù)域映射到3個(gè)空間可以在圖1中看到。
下面在圖2中給出3個(gè)NURBS建模結(jié)果。其中圓柱的表面是均勻網(wǎng)格表面,而其他表面是不均勻網(wǎng)格表面。
2 任意NURBS曲面表面的爬行波追蹤算法
對(duì)于源點(diǎn)和觀察點(diǎn)的位置,光滑曲面表面的繞射問題有3種類型:(1)源點(diǎn)和觀察點(diǎn)都不在表面且遠(yuǎn)離表面,這種情況屬于光滑曲面散射問題;(2)源點(diǎn)在曲面上,觀察點(diǎn)遠(yuǎn)離表面,此時(shí)為光滑曲面輻射問題;(3)源點(diǎn)與觀察點(diǎn)都在表面上,這就屬于耦合問題[10]。
所以,射線追蹤也有3種類型,根據(jù)圖3~圖5所示,在所有這些情況下,表面上的射線軌跡稱為爬行波,其被約束沿著測(cè)地線傳播。本文主要關(guān)注爬行波的射線追蹤,因?yàn)樗巧渚€追蹤過程中最困難的一部分。
2.1 爬行波的入射點(diǎn)和出射點(diǎn)
根據(jù)這兩個(gè)方程可以求解出NURBS曲面上大量的入射點(diǎn)與出射點(diǎn)。
2.2 基于自適應(yīng)變步長(zhǎng)歐拉法求解射線追蹤GDE
由于任意形狀的表面上的爬行射線的路徑滿足GDE,因此可以將爬行射線的問題改為求解GDE的問題。一般來說,通過歐拉法求解GDE是一種簡(jiǎn)單快捷的方法。但是根據(jù)研究,在大多數(shù)情況下由于傳統(tǒng)的歐拉法精度低,穩(wěn)定性不好,導(dǎo)致求解效果不好。
對(duì)于非線性問題,基本上需要步進(jìn)控制校正程序。因此,本文中,為提高光線跟蹤的準(zhǔn)確性并確保效率,提出了自適應(yīng)變步長(zhǎng)歐拉方法來求解GDE。
GDE方程如下:
其中,h是兩個(gè)相鄰離散點(diǎn)之間的步長(zhǎng),并且確定它是非常重要的。ξ是形狀因子(SF),用來自適應(yīng)地控制每個(gè)離散步長(zhǎng)。而ξ的值受制于對(duì)象的形狀,關(guān)于ξ的更多細(xì)節(jié)將在2.3節(jié)中給出。
在數(shù)值計(jì)算中,可以計(jì)算多個(gè)離散點(diǎn)(ui,vi)來表示爬行波,i=0,1,2…。因此,根據(jù)離散化,上式可以重寫為:
由式(13)可知,(ui+2,vi+2)能用(ui+1,vi+1)、(ui,vi)及ξi+1,i推導(dǎo)而出。必須計(jì)算出爬行射線最初的兩個(gè)坐標(biāo)(u0,v0)、(u1,v1)及ξ1,0,才能遞推出整個(gè)爬行射線。
可以通過方程(4)獲得第一個(gè)點(diǎn)Q0(u0,v0),然后由微分幾何,第二個(gè)點(diǎn)可由Q0在u,v各自方向切向量之和近似表示,如圖7所示。
這里第二個(gè)點(diǎn)表示為:
形狀因子的一般表達(dá)式在2.3節(jié)中給出。根據(jù)表達(dá)式,可以確定得到ξ1,0。計(jì)算出(u0,v0)、(u1,v1)及ξ1,0后,(ui,vi)可以根據(jù)式(12)隨著i的增加逐步迭代算出。
2.3 形狀因子?孜的推導(dǎo)
微分方程的精度與步長(zhǎng)h有關(guān),步長(zhǎng)越小精度越高。然而,在迭代求解爬行波射線軌跡上的離散點(diǎn)的過程中,算法效率因離散點(diǎn)數(shù)的增加而減小,而且,離散點(diǎn)越多,累積誤差越大,可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果。
顯然,為了逼近如果在變量變化快的區(qū)域多取離散點(diǎn)而在變化慢區(qū)域少取離散點(diǎn),就可以在保證計(jì)算效率的同時(shí)兼顧精度,所以合理提取離散點(diǎn)是很重要的。
但是在實(shí)際情況中,無法得知確定的(u(s),v(s))表達(dá)式,所以導(dǎo)致離散點(diǎn)無法合理提取。于是本文提出用形狀因子ξ來反映參數(shù)變化,用于確定離散步長(zhǎng)。用ξ的離散值ξi+1,i來表示爬行射線相鄰點(diǎn)參數(shù)變化率。ξi+1,i的表達(dá)式如下:
設(shè)為曲線C上P點(diǎn)處的單位切向量。P點(diǎn)處的離散編號(hào)為i。
對(duì)方程(17)中的變量s求微分,可得單位切向量:
3 數(shù)值算例與分析
理論上可以在一些典型物體(如圓柱體、錐體)上計(jì)算爬行射線,因此,可以從這些對(duì)象的分析結(jié)果中驗(yàn)證所提出的方法是否有效。
3.1 圓柱體
圖9所示為圓柱表面(均勻網(wǎng)格)爬行波射線傳播軌跡圖。圓柱的半徑為1 m,高為3 m。表1為爬行波尋跡結(jié)果,起始點(diǎn)為(1,0,0)。
從表1可知,采用自適應(yīng)變步長(zhǎng)歐拉法得到的數(shù)值結(jié)果與解析方法的結(jié)果吻合得非常好,由此可證明該尋跡算法正確性。
3.2 任意曲面目標(biāo)
圖10所示為任意曲面表面(非均勻網(wǎng)格表面)爬行波射線傳播軌跡圖。根據(jù)微分幾何知識(shí),球面上的數(shù)值結(jié)果可以直接由理論值得到驗(yàn)證。表2為爬行波尋跡結(jié)果,起始點(diǎn)為(1.0,0.0,0.0)。
如圖10所示,提出的方法結(jié)果與理論結(jié)果吻合較好。從表2和圖10可以看出,盡管隨著離散步長(zhǎng)的增加歐拉方法的誤差減少了,但是耗時(shí)也增加了很多。更重要的是,如果離散步長(zhǎng)繼續(xù)增加下去,結(jié)果完全錯(cuò)誤,這意味著歐拉方法不穩(wěn)定。
4 結(jié)論
對(duì)于任意形狀NURBS目標(biāo)表面爬行波射線軌跡尋跡,本文提出了基于自適應(yīng)變步長(zhǎng)歐拉法的快速有效的尋跡算法。為了驗(yàn)證該尋跡算法的正確性與有效性,給出了幾個(gè)典型驗(yàn)證算例。相比于傳統(tǒng)的歐拉法,自適應(yīng)變步長(zhǎng)歐拉法不僅繼承了傳統(tǒng)歐拉法的效率高的優(yōu)勢(shì),而且該算法適用于任意的光滑曲面。
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作者信息:
曹 拓,付 松,何思遠(yuǎn)
(武漢大學(xué) 電子信息學(xué)院,湖北 武漢430072)