馬亞男,戴爾晗,陳誠
?。暇┼]電大學(xué) 自動化學(xué)院,江蘇 南京 210023)
摘要:在多周期結(jié)構(gòu)分析中,最大重疊離散小波變換得到的信號周期具有明顯的局限性。在對比小波方差分析中,提出了用最大重疊離散小波包方差法分析不同尺度小波方差圖、功率譜,從而得到信號周期估計的最大值。實驗結(jié)果表明,對信號或時間序列周期結(jié)構(gòu)的分析是一種有效的方法,該方法可以準(zhǔn)確估計多周期信號的小波包方差。
關(guān)鍵詞:功率譜;多周期;小波方差;小波包方差
中圖分類號:TP216+.1文獻標(biāo)識碼:ADOI: 10.19358/j.issn.1674-7720.2017.03.024
引用格式:馬亞男,戴爾晗,陳誠.多周期信號的小波包方差分析方法[J].微型機與應(yīng)用,2017,36(3):82-84.
0引言
高分辨譜估計是信號處理中的一個熱點問題。一個信號的周期性結(jié)構(gòu),在光譜分析中有兩種方法:FFT譜估計方法和現(xiàn)代譜估計方法。傳統(tǒng)的傅里葉變換方法只適用于平穩(wěn)信號分析,其分辨率是固定的。當(dāng)數(shù)據(jù)長度較短時,分辨率較低,且不能同時對高頻信號進行分析。所以,在應(yīng)用程序中有很大的局限性[1]。近年來,一些研究人員提出了基于小波變換的現(xiàn)代譜估計方法,對頻率分辨率和估計精度有了較大的提高[23]。這些方法已逐漸被應(yīng)用于金融、氣象、水印、海洋、機械、醫(yī)療和電子信號處理領(lǐng)域[46]。信號周期旋轉(zhuǎn)后,功率譜的周期結(jié)構(gòu)發(fā)生變化[78],因此,離散小波變換不能直接用于信號的周期結(jié)構(gòu)分析。
本文將基于MODWT小波方差有效地分析估計信號的頻譜,從而分析信號的周期結(jié)構(gòu)。DWT和MODWT有良好的低頻頻率分辨率,但有較低的高頻頻率分辨率;自然極大重疊離散小波包變換(MODWPT)被認為具有更好的頻率分辨率,高頻率可取代MODWT。由于小波系數(shù)的突出優(yōu)勢和MODWT的縮放系數(shù)滿足平移不變性、各分解層保持相同的分辨率和無相位失真,MODWPT非常適合于非平穩(wěn)信號處理[9]。實驗結(jié)果表明,使用基于MODWPT的方法來仿真信號的周期性結(jié)構(gòu)具有良好的效果。
1小波方差法
1.1小波方差的定義
給定一個離散時間信號{Xt},它可以看作是一個實現(xiàn){Xt}的X0,X1,X2...XN-1的均值為零的平穩(wěn)過程,且{Xt}的第d階向后差分是平穩(wěn)過程。用{j,l:l=0,1,2...Lj-1}來表示一個系數(shù)為第j階MODWT的小波濾波器,并使得:
其中式(1)表示用{j,l}、{Xt}的小波濾波器濾波得到的隨機過程。
{Xt}基于尺度τj=2j-1的小波方差定義如下:
v2(τj)=var{Wj,t}(2)
1.2小波方差估計
為了估計小波方差v2x(τj),使用寬度為L≥2d的小波濾波器。假設(shè)L足夠大,則E{Wj,t}= 0。根據(jù)這種假設(shè)有:
v2(τj)=var{Wj,t}=E{(Wj,t-Wj,t)2}=E{W2j,t}(3)
所以小波方差的估計可以基于平方過程{W2j,t},假設(shè)序列{xt}的樣本大小滿足N≥Lj,并且計算出的小波系數(shù)為Wj,t,t=0,1,...,N-1。Wj,t,t=0,1,...,N-1,表示vx2(τj)的無偏估計。且小波方差的無偏估計為:
v
其中Mj=N-Lj+1,且Lj是第j階等效小波或縮放濾波器的寬度。
2小波包方差法
給定一個離散信號,零均值平穩(wěn)過程{Xt}的實值部分的序列為X0,X1,...XN-1,{v2j,n}的估計量為:
其中,n=0,1,...,2j-1且Lj=(2j-1)(L-1)+1。然而,如果E{xt}是未知的,過濾器{l}的性質(zhì)為∑ll=0,{v2j,n}合適的估計量是:
其中,n=0,1,...,2j-1,{2j,n}是小波方差估計。在低頻和高頻域中式(5)和式(6)可以估計小波方差。與小波方差相比較,可以得出這樣的結(jié)論:基于小波包方差的方法可以更準(zhǔn)確地進行周期性結(jié)構(gòu)分析。
3基于小波包方差周期結(jié)構(gòu)分析
下面有5個正弦周期模擬信號:
xt=sin(2×100πt)+sin(2×175πt)+sin(2×200πt)+sin(2×300πt)+sin(2×320πt)(8)
頻率分別為f1=100 Hz,f2=175 Hz,f3=200 Hz,f4=300 Hz,f5=320 Hz。周期分別為T1=0.01 s,T2=0.005 7 s,T3=0.005 s,T4=0.003 3 s,T5=0.003 1 s。采樣周期為0.001 s,采樣點的數(shù)量是1 000。因此,該信號可以看作是一個離散時間序列。
式(8)中,xt是在MODWPT基礎(chǔ)上在τ8=28Δt=0.256 s的尺度下由db4小波分解了6層和8層進行小波方差的估計。計算出頻率對應(yīng)于不同尺度的小波包的頻率區(qū)間。基于MODWPT的小波包方差圖如圖1(a)和(b)所示。圖1(a)表示尺度為0.064 s的小波方差。圖1(b)表示尺度為0.256 s的小波方差。
從圖1可以看到,小波方差圖可以分為5大峰,其頻率大致為100 Hz、175 Hz、200 Hz、300 Hz和320 Hz。下一個峰值發(fā)生在最大峰值處。從圖1可以得出結(jié)論:分解層數(shù)增加,泄漏更嚴重。
通過使用方程(8),可以在其中估計xt的譜密度函數(shù)x(f),結(jié)果如圖2所示。該圖還顯示出估計是基于db4小波濾波器和分解水平j(luò)=6,j=8。此處x(f)是分段常數(shù)。從圖2中可以看出,分解尺度越大,分段常數(shù)區(qū)間越小,顯示的頻率范圍越小,峰值變尖,峰值位置越接近信號的主頻。因此,基于小波包方差功率譜估計可以準(zhǔn)確估計信號的多周期結(jié)構(gòu)。
有一個高頻信號如下:
xt=sin(2×20 000πt)+sin(2×20 500πt)(9)
根據(jù)MODWPT采樣周期是0.000 01 s和采樣點的數(shù)量為10 000,信號被分解為10個等級,小波包方差如圖3所示,實際尺度為τj=210Δt=0.010 24 s。對應(yīng)的兩大峰值的頻率分別為f1≈20 000 Hz,f2≈20 500 Hz。因此,小波包方差的方法可以有效地識別高頻信號周期結(jié)構(gòu)。
當(dāng)尺度較大時,觀測范圍內(nèi)的時間軸也較大。例如,一個低頻信號如下:
xt=sin(2×0.4πt)+sin(2×0.5πt)+sin(2×0.6πt)(10)
采樣周期為0.5 s,采樣點的數(shù)量是2 000。在MODWPT基礎(chǔ)上信號可以分解為5層,其中實際尺度τj=16 s,小波包方差圖如圖4所示。三大峰對應(yīng)的頻率分別為f1≈0.4 Hz,f2≈0.5 Hz,f3≈0.6 Hz。它表明,小波包方差的方法可以有效地識別低頻信號周期結(jié)構(gòu)。
基于MODWPT分析信號的小波包的變異時,理論上可以在低頻或高頻獲得高分辨率。但是由于小波變換的特殊性,當(dāng)尺度因子減小時,小波包的時域波形變小,這相當(dāng)于頻率域的波形變寬,意味著帶通濾波器更寬。如果減少了步長因子,小波包方差圖不理想,原因是衰減很慢,并伴隨著泄漏。
4結(jié)論
使用基于MODWT或MODWPT時間信號的多尺度分析可以避免初始點和信號長度的影響,而且還可以以不同的頻率有效地分解方差的序列?;贛ODWT方法僅在低頻分析小波方差時有效,所以準(zhǔn)確性估計的程度是有限的。信號的低頻和高頻域可以分別基于MODWPT被分解,因此可以得到比MODWT更高的分辨率。這表明,小波包方差法能更準(zhǔn)確地估計多周期結(jié)構(gòu)。此外,也可以在噪聲信號的多周期結(jié)構(gòu)分析中使用基于小波包方差的方法。仿真結(jié)果表明,通過MODWPT分析小波包方差和功率譜,信號周期的頻率可以有效地估計。它提供了一種信號或序列的周期性結(jié)構(gòu)分析的有效方法。
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