王寧章，閔仁江，許慧青
（廣西大學 計算機與電子信息學院，廣西 南寧 530004）
摘要：在自適應波束形成中，由于期望信號(SOI)導向矢量(SV)的誤差、采樣點數(shù)較少、訓練數(shù)據(jù)中存在期望信號成分等原因，造成波束形成的性能嚴重下降。針對以上問題，提出了一種穩(wěn)健波束形成方法。首先利用MUSIC算法和參數(shù)估計來重構不包含SOI的干擾噪聲協(xié)方差矩陣，再通過利用相關系數(shù)來估計出期望信號導向矢量。仿真結果表明，該算法可以處理較大的方向誤差，并且信噪比(SNR)在較大的范圍內都可以得到比傳統(tǒng)方法更佳的性能。
關鍵詞：自適應波束形成；MUSIC算法；導向矢量估計
中圖分類號：TN911文獻標識碼：ADOI：10.19358/j.issn.16747720.2016.23.018
引用格式：王寧章，閔仁江，許慧青. 基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構的穩(wěn)健自適應波束形成［J］.微型機與應用，2016,35（23）：62-64，68.
0引言
由于接收特定方向的信號，波束形成器可以認為是空間濾波器。它可以應用在不同的信號處理領域，包括雷達、聲吶、醫(yī)學成像、射電天文、無線通信等。作為數(shù)據(jù)依賴型波束形成器，自適應波束形成器通過抑制信號環(huán)境中的干擾和噪聲，提取期望信號來調整權重矢量［1］。標準的Capon波束形成器(Standard Capon Beamformer, SCB)是大家所熟知的波束形成器，如果訓練數(shù)據(jù)中不包含期望信號(Signal of Interest, SOI)，那么SCB可以有最優(yōu)的輸出信干噪比(SignaltoInterfaceplusNoise Ratio, SINR)和高分辨率［2］。但是在實際的訓練數(shù)據(jù)中經常存在SOI。在過去的幾年中，許多穩(wěn)健自適應波束形成器算法被提出，用來解決訓練數(shù)據(jù)中存在的SOI和導向矢量(Steering Vector, SV)誤差問題［3-5］。
在文獻［3］中，GU Y等人提出使用Capon空間譜積分方法，其中積分區(qū)域為除SOI方向以外的角度區(qū)域，這種方法可以重構出干擾噪聲協(xié)方差矩陣。通過解決二次約束二次規(guī)劃(QCQP)問題來修正SOI假設的SV。這個方法在解決方向誤差上會獲得一個很好的性能。但是該方法的復雜度很高，并且需要知道精確的陣列結構信息。針對以上問題，HUANG L等人［4］提出把求不確定集合積分區(qū)域轉變?yōu)榍蟓h(huán)不確定集合積分區(qū)域以及用離散求和方法來重構干擾噪聲協(xié)方差矩陣。CHEN F等人［5］提出一種低復雜度的相關系數(shù)重構方法，通過直接使用采樣協(xié)方差矩陣的特征向量與假設的SV有最大的相關性來解決SOI的SV估計問題。這幾種方法都可以有效地提高波束形成性能，但是它們對于SOI和干擾信號存在相關性的問題都比較敏感，可能會造成SOI存在于重構的干擾噪聲協(xié)方差矩陣中，造成性能急劇下降。本文使用MUSIC算法和參數(shù)化估計優(yōu)化采樣協(xié)方差矩陣和重構干擾噪聲協(xié)方差矩陣，然后，對估計采樣協(xié)方差矩陣進行特征分解和相關性分析，得出修正的SV。
1信號模型
考慮M個陣列元素組成的均勻線性陣列(Uniform Liner Array, ULA)，并接受L個遠場的窄帶信號。窄帶波束形成器的輸出可表示為：
其中，k是時間參數(shù)，x(k)=［x1(k),…，xM(k)］T為一個M×1的陣列觀測復數(shù)矢量，ω=［ω1,ω2,ω3,…,ωM］T是M×1的波束形成權重復數(shù)矢量，(·)T和(·)H分別代表轉置和Hermitian轉置，觀測矢量(訓練參數(shù))可以表示為:
其中，sl(k)和al分別代表第l次信號的波陣面和對應的SV。xs(k)=a0s0(k)，nint(k)=∑L-1l=1alsl(k)和n(k)分別是期望信號、干擾和噪聲。
理論上的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可以表示為:
其中，RS和RN分別為信號協(xié)方差矩陣和噪聲協(xié)方差矩陣，A為空間陣列的流型矩陣(導向矢量陣)，且A=［a0,…，al-1］。對于空間理想的白噪聲且噪聲功率為σ2n，則有下式成立：
其中，I是M×M的單位陣。
為了測量波束形成的性能，在SOI不失真時的最大輸出SINR可以定義為:
其中，
為M×M維干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，σ20為SOI的功率。使用波束形成最大輸出SINR可以得到最優(yōu)權重矢量:
上述問題的最優(yōu)權重矢量為:
這個被稱為最小方差無畸變波束形成器(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)或標準Capon波束形成器(SCB)。在實際應用中，實際的干擾噪聲協(xié)方差矩陣Ri+n難以直接得到。因此，可以使用采樣協(xié)方差矩陣來代替。
其中，K是快拍點數(shù)。當K很小時，和Ri+n的差距比較大，這會使得SOI被當成干擾而被抑制，特別是存在SOI導向矢量誤差和高輸入信噪比(Signal to Noise, SNR)時。因此估計協(xié)方差矩陣時，移除SOI部分是很有必要的。
2提出波束形成算法
本文提出了一種新的自適應波束形成算法來重構干擾噪聲協(xié)方差矩陣，該方法采用MUSIC算法原理和參數(shù)化估計來優(yōu)化采樣協(xié)方差矩陣以及重構出干擾噪聲協(xié)方差矩陣。同時，該方法利用相關系數(shù)來修正估計的SV。
2.1干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構
為了重構干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，基于文獻［6］的方法原理，公式(4)可以寫成如下形式：
上等式可轉化為：
其中，A=(AHA)-1AH為A的偽逆矩陣,RS為非對角化的信號協(xié)方差矩陣。當采樣點數(shù)有限時會導致信號之間產生多余的相關性，或當信號之間已經存在相關性，這會使得輸出SINR顯著下降?？梢允褂镁仃嚨膮?shù)估計［7］來去掉多余的相關性，即對RS對角化得到Rd。由于只能得到采樣協(xié)方差矩陣，則信號協(xié)方差矩陣可以表示為:
對上式對角化得到:
為了計算出，需要知道信號的波達方向和陣列流行結構。前文假設陣列結構是已知的，同時使用MUSIC算法的高分辨率搜索得到估計的信號方向。2n可以使用MUSIC算法中的最小特征值得到，把、d和2n代入式(4)中，得到采樣協(xié)方差矩陣的參數(shù)估計:
上述為參數(shù)化估計后的采樣協(xié)方差矩陣，該矩陣中的多余相關性已去除，在重構干擾噪聲協(xié)方差矩陣時，計算結果更精確。在角度為θ時，功率可以使用e得到:
使用式(15)，重構的干擾噪聲協(xié)方差矩陣可以表示為:
其中，a(θ)是角度為θ的SV，為除期望信號角度區(qū)間外的其他區(qū)間，由于在實際情況下，期望信號的SV是不可獲得的，通常利用估計的SV來代替實際的SV。所以，下面講述期望信號估計SV的計算過程。
2.2期望信號SV的估計
在計算干擾加噪聲協(xié)方差矩陣中，使用了MUSIC算法，通過MUSIC算法和估計的采樣協(xié)方差矩陣e得到信號子空間和噪聲子空間，如下所示:
其中，λi,i=1,…，M為e的特征值并從大到小排列，ei為特征值對應的特征向量。
其中，US為信號子空間，由于特征向量與信號的SV處于相同的空間，假設的期望信號SV可以被期望信號的特征向量來代替?？梢允褂孟嚓P系數(shù)的定義來找出符合情況的特征向量。由于期望信號SV與期望信號的特征向量有最大的相關性，可以用公式表示為：
根據(jù)式(17)找到最大的相關系數(shù)對應的ei，即可以得到期望信號的特征向量es，考慮到期望信號SV的范數(shù)約束，估計的期望信號SV可以表示為:
因此，權重矢量可以寫為：
由上可見，算法主要的復雜度是在進行特征分解時，復雜度為O(M3)。與前文提到的算法相比，算法的復雜度大幅降低，更有利于實際工程的應用。
3仿真結果
本文仿真中，考慮一個間隔半波長的全方向天線陣元M=10的均勻線陣。假設有估計的3個信號沖擊信號分別為θ0=5°，θ1=20°，θ2=50°，噪聲模型為一個復數(shù)高斯白噪聲。第一個信號為期望信號，其他兩個信號為干擾信號，它們的干噪比為10 dB。假設SOI和干擾的角度區(qū)域分別為Θ0=［θ0-5°,θ0+5°］、Θ1=［θ1-5°,θ1+5°］和Θ2=［θ2-5°,θ2+5°］，除SOI的補集為=［-90°，0°）∪（10°，90°］。對于所有的情況，平均進行了200次MonteCarlo實驗。
將本文的方法分別與對角加載算法［8］、特征空間算法［9］、最差性能優(yōu)化算法［10］、重構算法［3］和低復雜度重構算法［5］相比較。在仿真中，假設從信號源接收的每個信號與實際信號存在［-5°，5°］的差別，這個假設可以表示隨機的方向誤差，再使用公式(8)計算出最優(yōu)SINR。
圖1為存在信號方向誤差的輸出SINR隨輸入SNR變化圖，快拍點數(shù)固定為30。從圖中可以看出，對角加載算法、特征空間算法、最差性能優(yōu)化算法在SNR較高時，輸出SINR明顯低于其他4種算法；本文提出的算法在低SNR和高SNR時都有高于其他算法的輸出SINR，以SNR為15 dB為例，與最優(yōu)輸出SINR算法相差僅0.3 dB左右。因此，本文算法的高性能可以使得波束形成的穩(wěn)健性有較大的提升。圖2為存在信號方向誤差的輸出SINR隨快拍點數(shù)變化圖，SNR固定在10 dB，顯而易見，在快拍數(shù)變化中，本文算法有穩(wěn)定的輸出SINR，并且比其他算法有更高的輸出SINR。
4結論
本文提出一種新穎的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構的穩(wěn)健算法，利用MUSIC算法和參數(shù)化估計，得到重構的干擾噪聲協(xié)方差矩陣。其次，使用了最大相關系數(shù)來估計出期望信號的SV，該方法對于較大的干擾方向誤差有較好的穩(wěn)健性能。仿真結果表明：在采樣點較少或輸入SNR較低和較高時，該方法都存在一個最優(yōu)的輸出SINR。
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