摘  要： 針對多載波系統(tǒng)信道的稀疏特性，提出一種基于壓縮感知（CS）的MC-CDMA多載波系統(tǒng)信道估計(jì)方法。信號自適應(yīng)匹配追蹤（SAMP）是一種壓縮感知算法，詳細(xì)研究了該算法的設(shè)計(jì)原理和實(shí)現(xiàn)過程。將該算法與傳統(tǒng)信道估計(jì)方法及基于壓縮感知的OMP算法做比較，仿真結(jié)果表明，SAMP算法的信道估計(jì)均方誤差（MSE）和系統(tǒng)誤比特率（BER）均更小。對于在稀疏度未知的多載波系統(tǒng)信道中，該算法可以獲得很好的信道估計(jì)性能，降低系統(tǒng)的復(fù)雜度。

　　關(guān)鍵詞： 壓縮感知；MC-CDMA；信道估計(jì)；SAMP

0 引言

　　多載波系統(tǒng)信道呈現(xiàn)稀疏特性，利用這種稀疏特性進(jìn)行信道估計(jì)，可以有效提高頻帶利用率，增加系統(tǒng)實(shí)時性。壓縮感知[1]（Compressed Sensing，CS）理論為上述信道估計(jì)[2-3]方法提供了理論基礎(chǔ)。

　　壓縮感知理論在信號處理領(lǐng)域有著廣泛運(yùn)用[4-5]。在目前基于壓縮感知的信道估計(jì)重構(gòu)算法研究中，參考文獻(xiàn)[6]提出了一種基于匹配追蹤（Matching Pursuit，MP）的重構(gòu)算法，但是MP算法并不穩(wěn)定。參考文獻(xiàn)[7]提出了基于正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法在信道估計(jì)中的應(yīng)用，該算法提高了估計(jì)的精度，但是該算法以稀疏度為先驗(yàn)條件。

　　本文提出將自適應(yīng)匹配追蹤[8]（Signal Adaptive Matching Pursuit，SAMP）算法應(yīng)用于MC-CDMA系統(tǒng)進(jìn)行信道估計(jì)，在信道稀疏度未知情況下可以很好地進(jìn)行估計(jì)，并將該算法與其他重構(gòu)算法做比較，以增加部分的算法復(fù)雜度換取了較大的信道估計(jì)性能。

1 壓縮感知理論

　　假設(shè)需要重構(gòu)信號x，現(xiàn)可將信號x抽象為RN空間的N×1維列向量，在RN空間中，任何信號均可以使用N×1的規(guī)范正交基向量線性表示：

　　其中，∈RN為投影系數(shù)，但僅有K個非零元素（K<<N），此時是N維—K稀疏向量。在重構(gòu)信號x時，僅需估計(jì)K個未知參數(shù)而不是N個實(shí)際的未知參數(shù)，從而大大減少了采樣信號的量，同時可以恢復(fù)原信號x。

　　在CS理論中，對需要重構(gòu)的信號x的采樣，實(shí)際上是利用M×N的矩陣的M個行向量對投影系數(shù)向量的一個線性投影過程。信號x經(jīng)過線性變換后，輸出的觀測信號y包含M個參數(shù)，每一個參數(shù)均為信號x的一個觀測量，即：

　　其中，?椎稱為觀測矩陣，且M<<N。由于觀測信號參數(shù)M遠(yuǎn)小于重構(gòu)信號x的長度N，因此式（2）是欠定的。

　　CS理論認(rèn)為，若滿足以下兩個條件，則可以在重建時在不知道x非零位置的情況下，通過最優(yōu)化準(zhǔn)則從觀測信號y中較為準(zhǔn)確地恢復(fù)出x。

　　條件1 如果向量x在某個完備字典下是K-稀疏的（即x只有K個非零值），且K<<N。

　　條件2 觀測矩陣?椎滿足有限等距性質(zhì)。

2 MC-CDMA系統(tǒng)模型

　　在MC-CDMA系統(tǒng)的發(fā)送端，第m個用戶的第k個傳輸數(shù)據(jù)經(jīng)由調(diào)制映射的數(shù)據(jù)bm[k]復(fù)制分配到N個子載波上，然后與分配給該用戶的偽碼序列在頻域上進(jìn)行乘運(yùn)算，將得到的結(jié)果進(jìn)行IFFT運(yùn)算，并插入循環(huán)前綴，完成OFDM調(diào)制。

　　第m個用戶在一個符號周期內(nèi)，其發(fā)射的信號可表示為：

　　其中，?贅=2π/Ts（Ts為一個符號周期），bm[k]為用戶m的第k個傳輸數(shù)據(jù)，cm[n]（n=0，1，…，N-1）為分配給第m個用戶的偽碼序列。

　　假設(shè)各子信道的信道特性是獨(dú)立同分布的瑞利衰落，在子載波k上對應(yīng)的用戶m的傳輸函數(shù)為：

　　其中，ρm，k為幅度衰落，m，k為相位失真，認(rèn)為在一個OFDM符號周期內(nèi)二者為常數(shù)。因?yàn)椴煌脩鬽的數(shù)據(jù)通過相同子載波k調(diào)制傳輸，所以衰落與用戶m無關(guān)，僅與子載波k有關(guān)。

　　當(dāng)信道特性為瑞利衰落的隨機(jī)變量時，ρm，k的概率密度函數(shù)為：

　　由于每個用戶相關(guān)的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立分布的，因此對目標(biāo)用戶信號的幅度和相位進(jìn)行糾正時，不會對其他用戶的幅度和相位產(chǎn)生影響。

3 MC-CDMA系統(tǒng)信道估計(jì)

　　3.1 基于OMP的信道估計(jì)方法

　　OMP算法通過每一次的迭代選擇一個局部的最優(yōu)解來逐步逼近原始信號，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

　　輸入：測量矩陣，觀測向量Y，信道稀疏度K。

　　輸出：x的近似估計(jì)

　　初始化：殘差r0=Y，索引集S0=，迭代次數(shù)k=1。

　　（1）找出一個索引Sj滿足，S>|，S表示矩陣?椎的第s列；

　?。?）更新索引集Sj=Sj-1∪{sj}，記錄原子集k=[k-1，k]；

　　（3）根據(jù)LS計(jì)算得到信號x的第k次迭代的信號估計(jì)k=arg min‖Y-k‖2；

　?。?）更新殘差rk=Y-k，k=k+1；

　?。?）判斷迭代次數(shù)是否滿足k>K，如果滿足停止條件，則停止迭代，否則返回步驟（1）。

　　3.2 基于SAMP算法的信道估計(jì)方法

　　綜合MP算法、OMP算法，SAMP算法結(jié)合了自下而上和自上而下兩種追蹤方式的特點(diǎn)?；赟AMP的信道估計(jì)算法可描述如下：

　　輸入：測量矩陣，觀測向量Y，步進(jìn)值s。

　　輸出：x近似估計(jì)

　　初始化：初始值=0，殘余量r0=Y，支撐集F0=，算法停止閾值T，支撐集大小I=s，階段索引j=1，迭代次數(shù)k=1。

　　（1）計(jì)算相關(guān)值，選出相關(guān)值最大的I個元素所在的具體位置：Sk=max（|rk-1|，I），根據(jù)選出來的位置組成候補(bǔ)集Ck=Fk-1∪Sk；

　?。?）根據(jù)候選集Ck抽取中所對應(yīng)列向量組成子矩陣Ck：，取值最大的N個元素所在的位置，組成臨時稀疏支撐集；

　?。?）根據(jù)臨時稀疏支撐集計(jì)算臨時殘余分量：；

　?。?）根據(jù)初始化的閾值T判斷是否滿足算法停止條件，若滿足停止條件，則進(jìn)入步驟（6），否則進(jìn)入步驟（5）；

　?。?）判斷‖‖2≥‖rk-1‖2，若條件成立，則更新階段索引j=j+1，支撐集大小I=j×s，返回步驟（1）進(jìn)入下一次循環(huán)；若條件不成立，更新稀疏支撐集Fk=，殘余量rk=，迭代次數(shù)k=k+1，返回步驟（1）進(jìn)入下一次循環(huán)；

　?。?）輸出x的近似估計(jì)。

　　當(dāng)算法滿足下列兩個條件時，迭代停止：（1）殘余量小于某個閾值；（2）連續(xù)的兩個殘余量變化值小于某個閾值。步長s必須滿足s≤K，由于K值未知，最佳選擇是s=1，但是s越小，迭代次數(shù)越多，因此需要在s大小和重構(gòu)速度之間做出權(quán)衡。

4 仿真與性能分析

　　仿真參數(shù)設(shè)定如下：OFDM子載波數(shù)N=256，采用QPSK調(diào)制，循環(huán)前綴CP為64個采樣點(diǎn)，導(dǎo)頻數(shù)P=16，信道長度L=60，稀疏度K=8，SAMP算法初始步長s=1，閾值T為噪聲平均功率。

　　仿真結(jié)果比較不同信道估計(jì)方法的歸一化均方誤差（Mean Square Error，MSE）、信號誤比特率（BER）及算法時間復(fù)雜度來衡量各算法的性能。MSE定義為：

　　第一組仿真實(shí)驗(yàn)比較了不同信道估計(jì)方法的MSE性能。圖1為LS、OMP、SAMP 3種算法的MSE仿真曲線對比。由圖1可以看出，在相同導(dǎo)頻數(shù)情況下，隨著SNR的增加，各方法的MSE均隨之減小。當(dāng)SNR<5 dB時，3種方法的MSE相差不大，SAMP算法性能相比于傳統(tǒng)的LS算法優(yōu)勢并不明顯，但隨著SNR的增大，SAMP算法性能的優(yōu)越性就越發(fā)明顯。同時，SAMP算法與OMP算法的MSE曲線較為接近，且稍優(yōu)于OMP算法。

　　第二組仿真比較了不同信道估計(jì)方法的誤比特率情況。圖2為LS、OMP、SAMP 3種算法的BER仿真曲線對比。由圖2可以看出，基于壓縮感知的多載波系統(tǒng)信道估計(jì)性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的LS信道估計(jì)方法，這是因?yàn)榛贑S的多載波系統(tǒng)充分利用了信道的稀疏特性，所以在相同導(dǎo)頻數(shù)情況下可以做到更精確的信道估計(jì)。當(dāng)SNR>15 dB時，LS算法的BER改善較為有限，而基于壓縮感知的OMP算法和SAMP算法的BER則明顯地降低，且隨著SNR的增大，基于壓縮感知的估計(jì)算法降低BER的優(yōu)勢則更為明顯。

　　從算法復(fù)雜度來看，LS算法需要求矩陣的逆運(yùn)算，其復(fù)雜度與導(dǎo)頻數(shù)P有關(guān)。OMP算法復(fù)雜度來源于2K次的迭代過程，因此，OMP算法相對于傳統(tǒng)算法，復(fù)雜度有一定的增加。SAMP算法引入了階段的思想，重構(gòu)過程被分割為幾個階段，每個階段累加來擴(kuò)充支撐集，而每個階段又由若干次的迭代來更新支撐集中的原子，從而使得SAMP算法復(fù)雜度高于其他算法。LS、OMP、SAMP 3種算法的運(yùn)算時間如表1所示。

　　綜合仿真結(jié)果和上述分析，基于CS理論的SAMP算法相比于傳統(tǒng)算法有較大的優(yōu)勢，特別是在SNR較大的情況下，優(yōu)勢更為明顯。SAMP算法是對OMP算法的改進(jìn)，可以在不用稀疏度K作為前提條件做出信道估計(jì)，因而更為符合實(shí)際應(yīng)用。

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