摘 要: 針對(duì)多載波系統(tǒng)信道的稀疏特性,提出一種基于壓縮感知(CS)的MC-CDMA多載波系統(tǒng)信道估計(jì)方法。信號(hào)自適應(yīng)匹配追蹤(SAMP)是一種壓縮感知算法,詳細(xì)研究了該算法的設(shè)計(jì)原理和實(shí)現(xiàn)過程。將該算法與傳統(tǒng)信道估計(jì)方法及基于壓縮感知的OMP算法做比較,仿真結(jié)果表明,SAMP算法的信道估計(jì)均方誤差(MSE)和系統(tǒng)誤比特率(BER)均更小。對(duì)于在稀疏度未知的多載波系統(tǒng)信道中,該算法可以獲得很好的信道估計(jì)性能,降低系統(tǒng)的復(fù)雜度。
關(guān)鍵詞: 壓縮感知;MC-CDMA;信道估計(jì);SAMP
0 引言
多載波系統(tǒng)信道呈現(xiàn)稀疏特性,利用這種稀疏特性進(jìn)行信道估計(jì),可以有效提高頻帶利用率,增加系統(tǒng)實(shí)時(shí)性。壓縮感知[1](Compressed Sensing,CS)理論為上述信道估計(jì)[2-3]方法提供了理論基礎(chǔ)。
壓縮感知理論在信號(hào)處理領(lǐng)域有著廣泛運(yùn)用[4-5]。在目前基于壓縮感知的信道估計(jì)重構(gòu)算法研究中,參考文獻(xiàn)[6]提出了一種基于匹配追蹤(Matching Pursuit,MP)的重構(gòu)算法,但是MP算法并不穩(wěn)定。參考文獻(xiàn)[7]提出了基于正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)算法在信道估計(jì)中的應(yīng)用,該算法提高了估計(jì)的精度,但是該算法以稀疏度為先驗(yàn)條件。
本文提出將自適應(yīng)匹配追蹤[8](Signal Adaptive Matching Pursuit,SAMP)算法應(yīng)用于MC-CDMA系統(tǒng)進(jìn)行信道估計(jì),在信道稀疏度未知情況下可以很好地進(jìn)行估計(jì),并將該算法與其他重構(gòu)算法做比較,以增加部分的算法復(fù)雜度換取了較大的信道估計(jì)性能。
1 壓縮感知理論
假設(shè)需要重構(gòu)信號(hào)x,現(xiàn)可將信號(hào)x抽象為RN空間的N×1維列向量,在RN空間中,任何信號(hào)均可以使用N×1的規(guī)范正交基向量線性表示:
其中,∈RN為投影系數(shù),但僅有K個(gè)非零元素(K<<N),此時(shí)是N維—K稀疏向量。在重構(gòu)信號(hào)x時(shí),僅需估計(jì)K個(gè)未知參數(shù)而不是N個(gè)實(shí)際的未知參數(shù),從而大大減少了采樣信號(hào)的量,同時(shí)可以恢復(fù)原信號(hào)x。
在CS理論中,對(duì)需要重構(gòu)的信號(hào)x的采樣,實(shí)際上是利用M×N的矩陣的M個(gè)行向量對(duì)投影系數(shù)向量的一個(gè)線性投影過程。信號(hào)x經(jīng)過線性變換后,輸出的觀測信號(hào)y包含M個(gè)參數(shù),每一個(gè)參數(shù)均為信號(hào)x的一個(gè)觀測量,即:
其中,?椎稱為觀測矩陣,且M<<N。由于觀測信號(hào)參數(shù)M遠(yuǎn)小于重構(gòu)信號(hào)x的長度N,因此式(2)是欠定的。
CS理論認(rèn)為,若滿足以下兩個(gè)條件,則可以在重建時(shí)在不知道x非零位置的情況下,通過最優(yōu)化準(zhǔn)則從觀測信號(hào)y中較為準(zhǔn)確地恢復(fù)出x。
條件1 如果向量x在某個(gè)完備字典下是K-稀疏的(即x只有K個(gè)非零值),且K<<N。
條件2 觀測矩陣?椎滿足有限等距性質(zhì)。
2 MC-CDMA系統(tǒng)模型
在MC-CDMA系統(tǒng)的發(fā)送端,第m個(gè)用戶的第k個(gè)傳輸數(shù)據(jù)經(jīng)由調(diào)制映射的數(shù)據(jù)bm[k]復(fù)制分配到N個(gè)子載波上,然后與分配給該用戶的偽碼序列在頻域上進(jìn)行乘運(yùn)算,將得到的結(jié)果進(jìn)行IFFT運(yùn)算,并插入循環(huán)前綴,完成OFDM調(diào)制。
第m個(gè)用戶在一個(gè)符號(hào)周期內(nèi),其發(fā)射的信號(hào)可表示為:
其中,?贅=2π/Ts(Ts為一個(gè)符號(hào)周期),bm[k]為用戶m的第k個(gè)傳輸數(shù)據(jù),cm[n](n=0,1,…,N-1)為分配給第m個(gè)用戶的偽碼序列。
假設(shè)各子信道的信道特性是獨(dú)立同分布的瑞利衰落,在子載波k上對(duì)應(yīng)的用戶m的傳輸函數(shù)為:
其中,ρm,k為幅度衰落,m,k為相位失真,認(rèn)為在一個(gè)OFDM符號(hào)周期內(nèi)二者為常數(shù)。因?yàn)椴煌脩鬽的數(shù)據(jù)通過相同子載波k調(diào)制傳輸,所以衰落與用戶m無關(guān),僅與子載波k有關(guān)。
當(dāng)信道特性為瑞利衰落的隨機(jī)變量時(shí),ρm,k的概率密度函數(shù)為:
由于每個(gè)用戶相關(guān)的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立分布的,因此對(duì)目標(biāo)用戶信號(hào)的幅度和相位進(jìn)行糾正時(shí),不會(huì)對(duì)其他用戶的幅度和相位產(chǎn)生影響。
3 MC-CDMA系統(tǒng)信道估計(jì)
3.1 基于OMP的信道估計(jì)方法
OMP算法通過每一次的迭代選擇一個(gè)局部的最優(yōu)解來逐步逼近原始信號(hào),具體實(shí)現(xiàn)步驟如下:
輸入:測量矩陣,觀測向量Y,信道稀疏度K。
輸出:x的近似估計(jì)
初始化:殘差r0=Y,索引集S0=,迭代次數(shù)k=1。
?。?)找出一個(gè)索引Sj滿足,S>|,S表示矩陣?椎的第s列;
?。?)更新索引集Sj=Sj-1∪{sj},記錄原子集k=[k-1,k];
?。?)根據(jù)LS計(jì)算得到信號(hào)x的第k次迭代的信號(hào)估計(jì)k=arg min‖Y-k‖2;
?。?)更新殘差rk=Y-k,k=k+1;
?。?)判斷迭代次數(shù)是否滿足k>K,如果滿足停止條件,則停止迭代,否則返回步驟(1)。
3.2 基于SAMP算法的信道估計(jì)方法
綜合MP算法、OMP算法,SAMP算法結(jié)合了自下而上和自上而下兩種追蹤方式的特點(diǎn)?;赟AMP的信道估計(jì)算法可描述如下:
輸入:測量矩陣,觀測向量Y,步進(jìn)值s。
輸出:x近似估計(jì)
初始化:初始值=0,殘余量r0=Y,支撐集F0=,算法停止閾值T,支撐集大小I=s,階段索引j=1,迭代次數(shù)k=1。
?。?)計(jì)算相關(guān)值,選出相關(guān)值最大的I個(gè)元素所在的具體位置:Sk=max(|rk-1|,I),根據(jù)選出來的位置組成候補(bǔ)集Ck=Fk-1∪Sk;
?。?)根據(jù)候選集Ck抽取中所對(duì)應(yīng)列向量組成子矩陣Ck:,取值最大的N個(gè)元素所在的位置,組成臨時(shí)稀疏支撐集;
?。?)根據(jù)臨時(shí)稀疏支撐集計(jì)算臨時(shí)殘余分量:;
?。?)根據(jù)初始化的閾值T判斷是否滿足算法停止條件,若滿足停止條件,則進(jìn)入步驟(6),否則進(jìn)入步驟(5);
?。?)判斷‖‖2≥‖rk-1‖2,若條件成立,則更新階段索引j=j+1,支撐集大小I=j×s,返回步驟(1)進(jìn)入下一次循環(huán);若條件不成立,更新稀疏支撐集Fk=,殘余量rk=,迭代次數(shù)k=k+1,返回步驟(1)進(jìn)入下一次循環(huán);
?。?)輸出x的近似估計(jì)。
當(dāng)算法滿足下列兩個(gè)條件時(shí),迭代停止:(1)殘余量小于某個(gè)閾值;(2)連續(xù)的兩個(gè)殘余量變化值小于某個(gè)閾值。步長s必須滿足s≤K,由于K值未知,最佳選擇是s=1,但是s越小,迭代次數(shù)越多,因此需要在s大小和重構(gòu)速度之間做出權(quán)衡。
4 仿真與性能分析
仿真參數(shù)設(shè)定如下:OFDM子載波數(shù)N=256,采用QPSK調(diào)制,循環(huán)前綴CP為64個(gè)采樣點(diǎn),導(dǎo)頻數(shù)P=16,信道長度L=60,稀疏度K=8,SAMP算法初始步長s=1,閾值T為噪聲平均功率。
仿真結(jié)果比較不同信道估計(jì)方法的歸一化均方誤差(Mean Square Error,MSE)、信號(hào)誤比特率(BER)及算法時(shí)間復(fù)雜度來衡量各算法的性能。MSE定義為:
第一組仿真實(shí)驗(yàn)比較了不同信道估計(jì)方法的MSE性能。圖1為LS、OMP、SAMP 3種算法的MSE仿真曲線對(duì)比。由圖1可以看出,在相同導(dǎo)頻數(shù)情況下,隨著SNR的增加,各方法的MSE均隨之減小。當(dāng)SNR<5 dB時(shí),3種方法的MSE相差不大,SAMP算法性能相比于傳統(tǒng)的LS算法優(yōu)勢并不明顯,但隨著SNR的增大,SAMP算法性能的優(yōu)越性就越發(fā)明顯。同時(shí),SAMP算法與OMP算法的MSE曲線較為接近,且稍優(yōu)于OMP算法。
第二組仿真比較了不同信道估計(jì)方法的誤比特率情況。圖2為LS、OMP、SAMP 3種算法的BER仿真曲線對(duì)比。由圖2可以看出,基于壓縮感知的多載波系統(tǒng)信道估計(jì)性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的LS信道估計(jì)方法,這是因?yàn)榛贑S的多載波系統(tǒng)充分利用了信道的稀疏特性,所以在相同導(dǎo)頻數(shù)情況下可以做到更精確的信道估計(jì)。當(dāng)SNR>15 dB時(shí),LS算法的BER改善較為有限,而基于壓縮感知的OMP算法和SAMP算法的BER則明顯地降低,且隨著SNR的增大,基于壓縮感知的估計(jì)算法降低BER的優(yōu)勢則更為明顯。
從算法復(fù)雜度來看,LS算法需要求矩陣的逆運(yùn)算,其復(fù)雜度與導(dǎo)頻數(shù)P有關(guān)。OMP算法復(fù)雜度來源于2K次的迭代過程,因此,OMP算法相對(duì)于傳統(tǒng)算法,復(fù)雜度有一定的增加。SAMP算法引入了階段的思想,重構(gòu)過程被分割為幾個(gè)階段,每個(gè)階段累加來擴(kuò)充支撐集,而每個(gè)階段又由若干次的迭代來更新支撐集中的原子,從而使得SAMP算法復(fù)雜度高于其他算法。LS、OMP、SAMP 3種算法的運(yùn)算時(shí)間如表1所示。
綜合仿真結(jié)果和上述分析,基于CS理論的SAMP算法相比于傳統(tǒng)算法有較大的優(yōu)勢,特別是在SNR較大的情況下,優(yōu)勢更為明顯。SAMP算法是對(duì)OMP算法的改進(jìn),可以在不用稀疏度K作為前提條件做出信道估計(jì),因而更為符合實(shí)際應(yīng)用。
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