摘  要： 非下采樣剪切波（nonsubsampled Shearlet）是一種優(yōu)秀的多尺度幾何分析工具，其不僅可以檢測到所有奇異點，而且能夠自適應(yīng)跟蹤奇異曲線方向。基于非下采樣剪切波，提出了一種使用帶有一致性的臨近支持向量機(jī)（a Proximal Classifier with Consistency，PCC）的圖像去噪算法。首先，應(yīng)用非下采樣剪切波把含噪圖像分解成不同尺度不同方向的子帶；其次，非下采樣剪切波系數(shù)通過PPC訓(xùn)練被分成兩類（無噪系數(shù)和噪聲系數(shù)）；最后應(yīng)用自適應(yīng)閾值對含噪系數(shù)進(jìn)行去噪。仿真實驗結(jié)果表明，本文算法不僅擁有較強(qiáng)的抑制噪聲能力，而且具有較好的邊緣保護(hù)能力。

　　關(guān)鍵詞： 圖像去噪；非下采樣剪切波；帶有一致性的臨近支持向量機(jī)；自適應(yīng)閾值；邊緣保護(hù)

0 引言

　　圖像在獲取和傳輸?shù)倪^程中，經(jīng)常會受到各種噪聲的污染。噪聲的存在將大大降低原圖像的分辨率，從而嚴(yán)重影響后續(xù)的圖像處理，如圖像檢索、圖像分割等。因此，圖像去噪始終是圖像處理領(lǐng)域的研究熱點之一。

　　一般說來，傳統(tǒng)圖像去噪方法大致可以劃分為雙邊濾波、非局部均值、條件隨機(jī)場、各向異性擴(kuò)散和統(tǒng)計模型方法等[1]。

　　雙邊濾波[2]不僅考慮空間位置上的距離關(guān)系，同時也考慮相鄰像素灰度值之間的距離關(guān)系，然而，它常常使圖像過于平滑；非局部均值法[3]利用圖像中具有重復(fù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)來去除噪聲，可以得到較好的去噪效果，但它計算復(fù)雜度高；條件隨機(jī)場[4]建模比較靈活，且并不需要明確的先驗?zāi)Ｐ?。然而，在真實世界中，很難找到擁有全局最小值的能量函數(shù)；各向異性擴(kuò)散法[5]，它能在保持邊緣的前提下平滑噪聲，獲得較好的去噪效果，但是該方法過于平滑圖像且邊界過于尖銳；統(tǒng)計模型法[6]中，圖像處理通?；诤唵蔚慕y(tǒng)計模型去刻畫圖像信息，這些信息往往是自然圖像的某些共同特征。統(tǒng)計模型的目的就是使用少量的參數(shù)捕獲這些典型的特征，并且將這些特征在圖像處理中作為先驗信息使用。

　　近些年來，應(yīng)用分類方法進(jìn)行去噪越來越流行，PCC[7]是一種新型分類器，通過計算兩個距離（決策過程的測試點與超平面的距離和訓(xùn)練過程的測試點與超平面的距離）使得分類精度得到提高。本文以性能優(yōu)良的非下采樣Shearlet變換為基礎(chǔ)，結(jié)合先進(jìn)的PCC分類工具，提出了基于PCC的非下采樣Shearle域圖像去噪算法。

1 PCC簡介

　　支持向量機(jī)（SVM）在樣本處理的過程中用于解決二次規(guī)劃的問題十分耗時。O.L.Mangasarian和E.W.Wild提出利用廣義特征值的臨近支持向量[8]，它通過求解一組非平行超平面，使得計算效率優(yōu)于SVM。Shao Yuanhai等人提出了帶有一致性的臨近支持向量機(jī)（a Proximal Classifier with Consistency，PCC）[7]，它通過計算兩個距離（決策過程的測試點與超平面的距離和訓(xùn)練過程的測試點與超平面的距離），在計算效率提高的同時，使得分類精度也得到了提高。

　　PCC的目標(biāo)是同時找到一個p+和p-，記作：p+：w+T+b+=0和p-：w-T+b-=0。

　　首先定義正元素X+與正超平面l+的距離：

　　其中M=H+-vH-，N=H--vH+。這樣問題的最優(yōu)解可以轉(zhuǎn)化為求以下兩個最小值：

　　在獲得上面問題的結(jié)果u+=（w+，b+），u-=（w-，b-）后，就可以通過以下判別公式去判斷一個樣本x∈Rn屬于最近超平面所在的類：

2 非下采樣Shearlet變換簡介

　　圖像去噪時，邊緣和紋理等主要特征是需要保留下來的，Shearlet變換[9-10]是對紋理和邊緣具有很好表示能力的變換，它是Labate和Guo等人通過特殊的具有合成膨脹的仿射系統(tǒng)構(gòu)造的。其具有的合成膨脹仿射系統(tǒng)可以表示為：

　　如果ΨAB（Ψ）是緊框架，即滿足Parseval框架，那么對任意f∈L2（R2）都有：

　　ΨAB（Ψ）的元素其實是合成小波，Aj是與尺度變換相關(guān)聯(lián)的伸縮矩陣，Bl與剪切和旋轉(zhuǎn)等面積不變的幾何變換相關(guān)聯(lián)。當(dāng)時，其形式就是Shearlet變換。本方案采用非下采樣Shearlet變換，它不僅具有Shearlet變換的優(yōu)點：臨界采樣、局域性、各向異性、多方向性等，而且增加了平移不變性，這使得它在圖像去噪領(lǐng)域的應(yīng)用更加廣泛。設(shè)參數(shù)scale=[s1s2…sL]，則可分解為L尺度，每個尺度分解為2個方向。圖1為Zoneplate圖像在參數(shù)scale=[2 3]下的非下采樣Shearlet分解，第一尺度分解為8個方向，第二個尺度分解為4個方向。

3 基于PCC的非下采樣Shearlet域去噪

　　在非下采樣Shearlet域，有：

　　v=u+e（7）

　　其中u，v，e分別代表原始圖像非下采樣Shearlet系數(shù)、含噪圖像非下采樣Shearlet系數(shù)以及噪聲系數(shù)。問題就轉(zhuǎn)化成給定v估計u。去噪的步驟如下：

　　（1）對含噪圖像進(jìn)行非下采樣Shearlet變換得到不同尺度不同方向的變換子帶。

　　（2）有意義系數(shù)的測量。自然圖像經(jīng)變換后的高頻子帶中大部分區(qū)域是由小系數(shù)組成的，且這些小系數(shù)被少量的大系數(shù)（邊緣和紋理）分隔開來，其中只有邊緣和紋理可以被人眼清晰地看見。所以在圖像去噪過程中，人們通常把高頻子帶中邊緣和紋理部分盡可能地保留下來，其他部分當(dāng)成噪聲系數(shù)濾掉，進(jìn)而獲得不含噪聲的圖像。邊緣和紋理這些需要保留下來的系數(shù)定義為“有意義系數(shù)”。

　　對變換后子帶中的每個系數(shù)，使用下面的規(guī)則[11]將它們標(biāo)記為0和1：

　　其中tj為隨著分級不同而變化的閾值：

　　通過上述方法構(gòu)成了一幅“二元圖”（圖中只包含0和1）。數(shù)值為0的點和數(shù)值為1但孤立存在的點都認(rèn)為是噪聲點，其他的點是否為噪聲點還需要進(jìn)一步判斷。在文獻(xiàn)[12]中，只有系數(shù)為1的點連在一起的個數(shù)大于某一個值S時被認(rèn)為是有意義系數(shù)即非噪聲點，而數(shù)值小于S的點則為噪聲點。在有意義系數(shù)最多的一條路徑上挑出Nk個點所對應(yīng)的非下采樣Shearlet系數(shù)組成特征向量Fk1。在標(biāo)記為0的系數(shù)中隨機(jī)選擇Nk個點對應(yīng)的非下采樣Shearlet系數(shù)組成特征向量Fk2。Nk為最長連續(xù)路徑中點的總數(shù)。

　?。?）利用PCC對高頻子帶的系數(shù)進(jìn)行分類。應(yīng)用步驟（2）中所生成的特征向量作為訓(xùn)練樣本?贅k={Fk1，F(xiàn)k2}（k=1，2，…，N），送入PCC中，將對應(yīng)的高頻子帶的所有非下采樣Shearlet系數(shù)分成噪聲系數(shù)和有意義系數(shù)。

　?。?）應(yīng)用閾值函數(shù)進(jìn)行去噪，傳統(tǒng)的閾值函數(shù)分為硬閾值方法和軟閾值方法。

　　硬閾值方法：可以很好地保留信號或者圖像的邊緣等局部特征，但重構(gòu)所得的信號或圖像可能會出現(xiàn)震蕩、偽吉布斯效應(yīng)等視覺失真現(xiàn)象。

　　軟閾值方法：估計出來的系數(shù)連續(xù)性好，去噪效果也平滑很多，但可能會導(dǎo)致邊緣模糊等失真現(xiàn)象，會給信號或圖像的重構(gòu)帶來不必要的誤差。

　　本文采用全新的閾值函數(shù)[13]：

　　經(jīng)過多級非下采樣剪切波變換后使得含噪圖像的各尺度、各子帶的能量分布不同。本文根據(jù)變換的特性及噪聲的分布特點，參照文獻(xiàn)[14]，選取了合適的自適應(yīng)閾值：

　　①帶噪聲圖像信號的方差可用下式估計：

　　其中，J表示尺度，K表示該尺度上的方向。

　?、诳梢缘玫皆紙D像信號的標(biāo)準(zhǔn)差估計：

　?、塾嬎忝恳患壋叨葏?shù)：

　　其中，j=1，2，J；Lk表示k級子帶長度。

　?、艿玫阶赃m應(yīng)于不同尺度、不同方向的閾值：

　?。?）通過上述步驟得到去噪后系數(shù)，對去噪后的系數(shù)進(jìn)行非下采樣Shearlet逆變換，得到去噪圖像。

4 仿真實驗結(jié)果

　　為了檢驗算法的正確性和有效性，使用標(biāo)準(zhǔn)圖像Lena、Barbara疊加均值為零的高斯白噪聲進(jìn)行實驗。實驗中與幾種經(jīng)典去噪算法進(jìn)行了對比，結(jié)果如表1所示。圖2、圖3給出了Lena圖像的主觀視覺去噪結(jié)果，并對細(xì)節(jié)部分進(jìn)行了局部放大。

　　實驗結(jié)果表明，本方案不僅客觀指標(biāo)（PSNR）比其他方法要好，而且主觀效果也比其他方法好，這說明本算法在去除噪聲的同時很好地保護(hù)了邊緣和紋理信息。

5 結(jié)論

　　圖像去噪在整個圖像處理過程中占有十分重要的地位。本文基于優(yōu)秀的多尺度幾何分析工具（非下采樣Shearlet變換）和分類精度更好的臨近支持向量機(jī)（PCC），采用自適應(yīng)閾值確定方法，提出了新的圖像去噪算法。實驗結(jié)果表明該方法能夠很好地對噪聲分布進(jìn)行估計進(jìn)而去除圖像中的高斯白噪聲，提取圖像的輪廓細(xì)節(jié)，改善圖像的視覺效果，能夠在提高去噪圖像的PSNR值的同時保護(hù)邊緣紋理信息。

　　參考文獻(xiàn)

　　[1] QIU P， MUKHERJEE P S. Edge structure preserving image denoising[J]. Signal Processing， 2010， 90（10）：2851-2862.

　　[2] TIAN C， KRISHNAN S. Accelerated bilateral filtering with block  skipping[J]. IEEE Signal Processing. Lett， 2013，20（5）：419-422.

　　[3] 鄭鈺輝，孫權(quán)森，夏德深，基于2DPCA的有效非局部濾波方法[J].自動化學(xué)報，2010，36（10）：1379-1389.

　　[4] CHEN S， LIU M， ZHANG W.Edge preserving image denoising with a closed form solution[J]. Pattern Recognition， 2013，46（3）：976-988.

　　[5] TSIOTSIOS C， PETROU M.On the choice of the parameters for anisotropic diffusion in image processing[J]. Pattern Recognition， 2013，46（5）：1369-1381.

　　[6] Sun Qi， Wang Yaming， Xu Chunxia. Fabric image denoising method based on wavelet-domain HMT model[J]. Multimedia and Signal Processing， 2012，346（9）：383-388.

　　[7] Shao Yuanhai， Deng Naiyang， Chen Weijie. A proximal classifier with consistency[J]. Knowledge-Based Systems，2013，49（1）：171-178.

　　[8] MANGASARIAN O L， WILD E W. Multisurface proximal support vector classification via generalized eigenvalues[J]. IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence，2006，28（1）：69-74.

　　[9] Guo Kanghui，LABATE D. Optimally sparse multidimensional representation using Shearlets[J]. SIAM Journal on Mathematical Analysis， 2007，39（1）：298-318.

　　[10] EASLEY G R， LABATE D. Sparse directional image representations using the discrete shearlet transform[J]. Appl. Comput. Harmon. Anal， 2008，25（1）：25-46.

　　[11] 黃玉飛.基于支持向量機(jī)的圖像去噪和圖像質(zhì)量評價的研究[D].太原：中北大學(xué)，2013.

　　[12] BALSTER E J， ZHENG Y F， EWING R L. Feature-based wavelet shrinkage algorithm for image denoising[J]. IEEE Trans. on Image Processing，2005，14（12）：2024-2039.

　　[13] 劉楊.基于小波變換的圖像閾值去噪研究及實現(xiàn)[D].成都：成都理工大學(xué)，2011.

　　[14] 劉成云，陳振學(xué)，馬于濤.自適應(yīng)閾值的小波圖像去噪[J].光電工程，2007，34（6）：77-81.