0 引言

    磁流變阻尼器是應(yīng)用磁流變液在強(qiáng)磁場(chǎng)下快速可逆流變特性而制造出的一種有著廣泛應(yīng)用前景的減振控制裝置^[1]。由于磁流變阻尼器的非線性，建立較為精確的阻尼器動(dòng)力學(xué)模型是開(kāi)發(fā)和使用阻尼器獲得好的控制效果的關(guān)鍵因素之一^[2]。磁流變液的流體力學(xué)性能受到外加磁場(chǎng)等多因素影響，本構(gòu)關(guān)系復(fù)雜，難以建立精確的數(shù)學(xué)模型，目前還沒(méi)有統(tǒng)一的磁流變阻尼器力學(xué)模型^[3]。

    Bingham模型是一種常用的磁流變阻尼器塑性流體力學(xué)模型^[4]。Herschel-Bulkley模型是一種改進(jìn)的非線性Bingham模型，具有冪律的本構(gòu)關(guān)系，其整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型需要引入多個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和材料參數(shù)^[5]。分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以很好地描述具有冪律的復(fù)雜非線性自然和社會(huì)現(xiàn)象^[6]。為此，本文將分?jǐn)?shù)階微分和Bingham模型相結(jié)合，得到分?jǐn)?shù)階Bingham模型，描述磁流變阻尼器的動(dòng)力學(xué)過(guò)程。

    圖像去噪是圖像預(yù)處理的重要步驟^[7]，基于偏微分方程(PDE)的圖像去噪方法是圖像分析和處理的研究熱點(diǎn)^[8]。本文由分?jǐn)?shù)階Bingham模型推導(dǎo)得到分?jǐn)?shù)階Bingham PDE圖像去噪模型，并定義一種分?jǐn)?shù)階邊緣檢測(cè)算子，用于圖像去噪。試驗(yàn)結(jié)果證明了算法的有效性。

1 分?jǐn)?shù)階微積分與Bingham模型

1.1 分?jǐn)?shù)階微積分定義

    分?jǐn)?shù)階微積分是數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要分支，目前分?jǐn)?shù)階微積分有多種定義表達(dá)式^[9]，其中主要有3種經(jīng)典的時(shí)域表達(dá)式，包括Grümwald-Letnikov、Riemann-Liouville 和Capotu定義，3種定義在一定條件下是等價(jià)的。分?jǐn)?shù)階微積分的定義為：

式中，v為分?jǐn)?shù)階數(shù)，G表示G-L定義，下標(biāo)a和t表示積分式的下界和上界，a為時(shí)間t的初值。

1.2 Bingham模型

    Bingham模型是磁流變阻尼器常采用的力學(xué)模型之一，其應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系為：

1.3 Herschel-Bulkley模型

    Herschel-Bulkley模型是一種改進(jìn)的Bingham模型，能夠解釋磁流變液屈服后剪切稀化和剪切增稠行為。其模型表達(dá)式為：

2 分?jǐn)?shù)階Bingham磁流變阻尼器力學(xué)模型

    Herschel-Bulkley模型是一種整數(shù)階導(dǎo)數(shù)模型，式(3)具有冪律特性，其應(yīng)力與應(yīng)變響應(yīng)依賴(lài)于時(shí)間和應(yīng)變率，與載荷和變形歷史有關(guān)，具有記憶性。相比Bingham模型，它引入了多個(gè)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和材料參數(shù)，較準(zhǔn)確地描述了磁流變液的動(dòng)力學(xué)特性。針對(duì)模型的冪率特性，Gemant^[4]建議將分?jǐn)?shù)階時(shí)間導(dǎo)數(shù)引入到材料的本構(gòu)關(guān)系中，能用較少的材料參數(shù)便能準(zhǔn)確地描述大量復(fù)雜的具有記憶性的材料的動(dòng)力學(xué)特性。為此，將式(1)的分?jǐn)?shù)階引入到式(2)當(dāng)中，提出一種分?jǐn)?shù)階Bingham磁流變阻尼器力學(xué)模型，如式(4)所示。

3 分?jǐn)?shù)階Bingham圖像去噪模型 

3.1 圖像去噪模型

    再令u(0)=u₀為初始含噪圖像，得到PDE圖像去噪迭代模型：

3.2 數(shù)值解法

    數(shù)值解法采用有限差分方法。將圖像看成向量[1×MN]，向量元素ui為像素灰度值，i∈[1，…，MN]，h表示離散網(wǎng)格大小，t_k=τk為離散時(shí)間，其中k為正整數(shù)，τ為時(shí)間步長(zhǎng)。對(duì)圖像進(jìn)行時(shí)域微分：

得到分?jǐn)?shù)階微分掩模算子^[11]，即Tainsi算子，如圖1所示。利用Tainsi算子對(duì)式(11)作分?jǐn)?shù)階微分處理，得到一種分?jǐn)?shù)階邊緣檢測(cè)算子。

4 試驗(yàn)結(jié)果

4.1 性能評(píng)價(jià)

    圖像去噪結(jié)果評(píng)價(jià)采用的評(píng)價(jià)測(cè)度方法有兩種^[12-13]，即信噪比(SNR)和平均結(jié)構(gòu)相似度(MSSIM)。SNR圖像去噪評(píng)價(jià)采用式(17)：

式中，M為局域窗口數(shù)目，X、Y為參考標(biāo)準(zhǔn)和去噪圖像。

4.2 結(jié)果

    對(duì)人工合成圖像進(jìn)行去噪，并比較不同階數(shù)(0≤v≤1)的圖像去噪算法處理結(jié)果，如圖2所示。圖2(a)大小為150×150；噪聲圖像圖2(b)的SNR為7.966 5，噪聲σ=10；圖2(c)～(f)分別為分?jǐn)?shù)階數(shù)為0、0.3、0.7、1，迭代次數(shù)為40的圖像去噪結(jié)果。從圖中看出，當(dāng)階數(shù)為0.7時(shí)，圖像去噪效果最好，既保持了邊緣，又去除了噪聲。式(6)中v1和v2取不同值，用分?jǐn)?shù)階Bingham圖像去噪模型式(7)對(duì)圖2(b)去噪，得到SNR和MSSIM值，如表1所示。當(dāng)v1＝v2＝0.7時(shí)，SNR最大；當(dāng)v1＝v2＝0.5 時(shí)，MSSIM最大。

    對(duì)Lena圖像進(jìn)行去噪，并比較不同階數(shù)(0≤v≤1)圖像去噪算法處理結(jié)果，如圖3所示。圖3(a)大小為256×256，噪聲圖像3(b)的SNR為12.653 1，噪聲σ=10，圖3(c)～(f)分別為分?jǐn)?shù)階數(shù)為0、0.3、0.7、1，迭代次數(shù)為10的圖像去噪結(jié)果。從圖中看出，當(dāng)階數(shù)為0.3時(shí)，圖像去噪效果最好，既保持了邊緣，又去除了噪聲。式(6)中v1和v2取不同值，用分?jǐn)?shù)階Bingham圖像去噪模型式(7)對(duì)圖3(b)去噪，得到SNR和MSSIM值，如表2所示。當(dāng)v1＝0.2、v2＝0.3時(shí)，SNR最大；當(dāng)v1＝v2＝0.4 時(shí)，MSSIM最大。

4.3 算法分析 

    提取圖2中的第75行像素值，如圖4所示，圖中包括無(wú)噪像素值、含噪圖像素值、不同階數(shù)(v＝0、0.7、1)的去噪圖像素值。從圖看出，在平坦區(qū)域，當(dāng)v＝0.7時(shí)像素值更接近真實(shí)值，當(dāng)v＝1.0時(shí)像素值振蕩幅度最大，去噪效果最差；在邊緣區(qū)域，當(dāng)v＝1.0時(shí)邊緣保持效果最好，v＝0.7次之，v＝0最差；綜合比較，當(dāng)v＝0.7時(shí)，分?jǐn)?shù)階Bingham力學(xué)模型效果最好，既保持了圖像高頻邊緣信息，又抑制了低頻區(qū)域噪聲，此現(xiàn)象與表1數(shù)值表現(xiàn)一致。表1和表2中，SNR與MSSIM的峰值位置距離較近，且SNR與MSSIM的數(shù)值變化趨勢(shì)保持一致，從而證明選擇合適的分?jǐn)?shù)階數(shù)確能改善Bingham力學(xué)模型圖像去噪效果。

5 結(jié)論

    圖像去噪是圖像處理中最基本問(wèn)題之一，既實(shí)現(xiàn)去噪又保持圖像邊緣高頻信息是圖像去噪的重要目標(biāo)。本文利用Bingham磁流變阻尼器力學(xué)模型與分?jǐn)?shù)階微積分原理相結(jié)合，提出一種分?jǐn)?shù)階磁流變阻尼器力學(xué)圖像去噪模型，MATLAB試驗(yàn)結(jié)果表明：

    (1)根據(jù)Bingham磁流變阻尼器力學(xué)模型，對(duì)剪切應(yīng)變率作分?jǐn)?shù)階處理，推導(dǎo)得到分?jǐn)?shù)階Bingham圖像去噪模型是有效的。

    (2)定義的分?jǐn)?shù)階邊緣檢測(cè)算子及分?jǐn)?shù)階掩模算子(Tainsi算子)是可行的，能有效檢測(cè)圖像邊緣，具有較好抗噪性能。

    (3)通過(guò)選擇合適的分?jǐn)?shù)階階數(shù)，能夠優(yōu)化圖像去噪效果，既能保持圖像邊緣信息，又能較好實(shí)現(xiàn)圖像去噪。

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作者信息:

程玉柱，李趙春

（南京林業(yè)大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院 測(cè)控技術(shù)系，江蘇 南京210037）