基于Matlab的信號(hào)平穩(wěn)性檢驗(yàn)系統(tǒng)
華東師范大學(xué)信息科技學(xué)院 眭燁 李明
摘要： 本文參考了文獻(xiàn)[6]中的平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法，設(shè)計(jì)了一個(gè)信號(hào)平穩(wěn)性檢驗(yàn)系統(tǒng)，并在 Matlab的GUI開發(fā)環(huán)境下實(shí)現(xiàn)了圖形用戶界面的設(shè)計(jì)。實(shí)踐表明，本系統(tǒng)不但提供了友好的用戶界面，并且可以方便地完成信號(hào)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)。
Abstract：
Key words :
信號(hào)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)在隨機(jī)信號(hào)處理中起著十分基礎(chǔ)的作用。由于平穩(wěn)信號(hào)和非平穩(wěn)信號(hào)的性質(zhì)差別顯著，因此在處理信號(hào)之前先行判斷它的平穩(wěn)性就顯得尤為重要。雖然信號(hào)平穩(wěn)性的定義十分明確，但是實(shí)際判斷過程卻是復(fù)雜的，例如觀察尺度對(duì)信號(hào)平穩(wěn)性判斷就有很大的影響。
這一領(lǐng)域的研究已經(jīng)取得了一定的成果。一些人提出了受限和帶參數(shù)的非平穩(wěn)性判定方法，而另一些人則將他們的平穩(wěn)性判定建立在對(duì)原始數(shù)據(jù)的一些假設(shè)上。而對(duì)于更一般信號(hào)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)的研究還沒有取得太多成果。文獻(xiàn) [2，3]中又提到了這一問題，并且提出了一種新的檢驗(yàn)平穩(wěn)性框架。這一框架混合了時(shí)頻透視法和有名的替代數(shù)據(jù)法。它的基本思想是引入“可控噪聲”，即替代數(shù)據(jù)。并且由于替代數(shù)據(jù)的一些特性，它可以作為平穩(wěn)性的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)。本文參考了文獻(xiàn)[6]中的平穩(wěn)性檢驗(yàn)方法，設(shè)計(jì)了一個(gè)信號(hào)平穩(wěn)性檢驗(yàn)系統(tǒng)，并在 Matlab的GUI開發(fā)環(huán)境下實(shí)現(xiàn)了圖形用戶界面的設(shè)計(jì)。實(shí)踐表明，本系統(tǒng)不但提供了友好的用戶界面，并且可以方便地完成信號(hào)的平穩(wěn)性檢驗(yàn)。
1 平穩(wěn)性檢驗(yàn)原理
1.1 平穩(wěn)性定義及其檢驗(yàn)的重要性
假設(shè)有一個(gè)高斯過程{xl(t))(- ∞<t<∞)，其中xl(t)是樣本函數(shù)。令E為求取平均的符號(hào)，則：
為任意確定t時(shí)刻的全體平均。同時(shí)：
被稱為自相關(guān)函數(shù)(ACF)。
對(duì)于一個(gè)弱平穩(wěn)過程，它的μx(t) 和r(t1，t2)都是時(shí)不變的或者說與時(shí)間無關(guān)的。因此有：
式中：τ=t1-t2被稱為時(shí)延。因此，對(duì)于平穩(wěn)高斯過程{xl(t)}，它的自相關(guān)函數(shù)或者它的功率譜密度函數(shù)(PSD)為：
足以確定它的性質(zhì)。
另一方面，如果{xl(t))是非平穩(wěn)的，它的μx(t)和r(t1，t2)就是時(shí)變的或者說和時(shí)間相關(guān)的。這樣它的PSD就應(yīng)該放在時(shí)頻域分析。
由此可見，平穩(wěn)性檢驗(yàn)是任何信號(hào)處理前必不可少的一步，它決定了后續(xù)處理可以使用何種方法。
1.2 替代數(shù)據(jù)
替代數(shù)據(jù)的概念最初是由Theiler和其合作作者提出的，這種技術(shù)是用來產(chǎn)生一種所謂的“替代數(shù)據(jù)”，這種替代數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，同時(shí)保持了原數(shù)據(jù)的一些相關(guān)的統(tǒng)計(jì)特性。
Theiler在文獻(xiàn)[4]中提出了一種具體的產(chǎn)生替代數(shù)據(jù)的方法。由這種方法產(chǎn)生的替代數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的，同時(shí)保持了原數(shù)據(jù)的二階統(tǒng)計(jì)特性。具體地說，替代數(shù)據(jù)保持了原數(shù)據(jù)功率譜的幅度值不變。
根據(jù)Wiener- Khintchin理論，信號(hào)的功率譜等于其傅里葉變換的幅值平方。因此保持信號(hào)的功率譜幅度值不變，就是保持其傅里葉變換的幅度值不變。因此，假設(shè)原數(shù)據(jù)為x(t)，它的傅里葉變換為
產(chǎn)生。其中，φf是在[-π，π]上均勻分布的隨機(jī)相位。這樣就保證了s(t)和x(t)有相同的傅里葉變換幅值。在下面的例子中也可以看到，這樣產(chǎn)生的s(t)也是平穩(wěn)的。
1.3時(shí)頻分布
時(shí)頻分布主要用于分析非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜。由于非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜是時(shí)變的，因此在原來功率譜的基礎(chǔ)上再引入時(shí)間軸，成為時(shí)頻分布(TFD)。TFD可以顯示出信號(hào)的功率譜隨時(shí)間的變化情況。
具體來說，根據(jù)文獻(xiàn)[9]中的定義，信號(hào)x(t)的時(shí)頻分布Sx，K(t，f)可以表示為：
1.4 平穩(wěn)性檢驗(yàn)
平穩(wěn)性可以體現(xiàn)在頻譜隨時(shí)間的波動(dòng)上。具體來說，對(duì)于平穩(wěn)信號(hào)，其頻譜不隨時(shí)間變化；而對(duì)于非平穩(wěn)信號(hào)，其頻譜會(huì)隨時(shí)間改變。因此，可以通過比較不同時(shí)間點(diǎn)上頻譜的相似程度來判斷信號(hào)的平穩(wěn)性。
按照文獻(xiàn)[4]中的檢驗(yàn)方法，定義不同時(shí)間點(diǎn)上的頻譜與頻譜平均值的距離cn(x)為：
2用戶界面生成
2.1 Matlab中用戶界面的生成
Matlab 為用戶設(shè)計(jì)圖形界面提供了一個(gè)高效、方便的集成環(huán)境。在Matlab中，基本的圖形對(duì)象主要包括坐標(biāo)軸、控件、下拉菜單和內(nèi)容菜單。用戶可以通過這些對(duì)象設(shè)計(jì)出界面友好，功能強(qiáng)大，操作簡(jiǎn)單的圖形用戶界面。圖形用戶界面的生成主要分為以下幾個(gè)步驟：
(1)規(guī)劃所設(shè)計(jì)的圖形用戶界面，主要包括：確定需要哪些窗口，每個(gè)窗口怎樣布局，窗口中的各個(gè)對(duì)象各有什么功能，對(duì)象之間如何配合工作，以及相應(yīng)的異常處理；
(2)在 Matlab提示行下輸入GUIDE，載人用戶界面開發(fā)環(huán)境；
(3)利用Layout Editor，完成用戶面板以及界面的制作，并對(duì)相應(yīng)的按鈕及控件屬性進(jìn)行適當(dāng)?shù)脑O(shè)置；
(4)在Programme Editot中編輯各個(gè)對(duì)象的回調(diào)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)各個(gè)對(duì)象韻具體功能；
(5)利用Mfile編譯器生成客戶端，完成隨機(jī)數(shù)據(jù)仿真系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。
2.2 用戶界面介紹
本文所實(shí)現(xiàn)的用戶界面主要包括兩個(gè)窗口，分別是主窗口和數(shù)據(jù)生成窗口。由于Matlab對(duì)保存繪圖區(qū)域有限制，因此設(shè)計(jì)時(shí)沒有在窗口中設(shè)置固定的繪圖區(qū)域。窗口只相當(dāng)于一個(gè)命令菜單，所有的繪圖將會(huì)以獨(dú)立窗口的形式根據(jù)用戶需求動(dòng)態(tài)產(chǎn)生。這樣便于用戶對(duì)比和保存圖片。下面對(duì)主要窗口分別加以介紹。
2.2.1 主窗口介紹
主窗口如圖1所示。主窗口主要用于繪制原數(shù)據(jù)和替代數(shù)據(jù)的各種波形以及顯示平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果。其中，“Create／Open Original Data”按鈕用來打開數(shù)據(jù)生成窗口。
“View／Change Parameters”按鈕用來查看或改變當(dāng)前仿真參數(shù)，它在原始數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。主要的仿真參數(shù)有：
“Time Scale of TFD”和“Frequency Scale of TFD”用于確定繪制TFD圖片時(shí)的時(shí)間／頻率軸采樣周期，由于計(jì)算和顯示時(shí)頻分布圖比較耗費(fèi)時(shí)間，將采樣周期設(shè)大，可以提高速度，但是相應(yīng)的時(shí)頻分布圖的分辨率會(huì)下降。
“Max Level of Hermite Function”用于確定求TFD時(shí)所使用Hermite函數(shù)的最高階數(shù)。最高階數(shù)越高，則分辨率越高，但是相應(yīng)的計(jì)算時(shí)間會(huì)加長(zhǎng)。
“The Number of Surrogates”用于確定平穩(wěn)性檢驗(yàn)時(shí)所用的參考替代數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。個(gè)數(shù)越多，則檢驗(yàn)結(jié)果越精確，但是會(huì)極大地延長(zhǎng)計(jì)算時(shí)間。
“Create Surrogate”按鈕用于產(chǎn)生替代數(shù)據(jù)，其在原始數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。由于替代數(shù)據(jù)具有隨機(jī)性，因此用戶可以多次產(chǎn)生不同的替代數(shù)據(jù)，觀察它們的性質(zhì)。
右上方的下拉菜單用于選擇需要繪圖或者保存數(shù)據(jù)的對(duì)象，主要包括原始數(shù)據(jù)的時(shí)域、頻域和時(shí)頻域圖，替代數(shù)據(jù)的時(shí)域、頻域和時(shí)頻域圖，以及替代數(shù)據(jù)的平穩(wěn)度分布。它在原始數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。
“Show Selected Plot”按鈕用于在新窗口中繪制下拉菜單所選圖線，它在原始數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。
“Save Selected Data”按鈕用于保存下拉菜單所選圖線對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，它在原始數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。
2.2.2 數(shù)據(jù)生成窗口
數(shù)據(jù)生成窗口如圖2所示。數(shù)據(jù)生成窗口主要用來產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)用數(shù)據(jù)或者打開已經(jīng)存在的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。
“Creat Original Data”按鈕用來產(chǎn)生測(cè)試用數(shù)據(jù)。按下此按鈕后會(huì)提示輸入產(chǎn)生數(shù)據(jù)用的參數(shù)。由于數(shù)據(jù)是通過公式：
產(chǎn)生的調(diào)頻信號(hào)，因此需要確定參數(shù)P1和P2，另外還要確定t的區(qū)間和采樣周期。數(shù)據(jù)成功產(chǎn)生后會(huì)在新建窗口中顯示該數(shù)據(jù)時(shí)域波形。如果當(dāng)前存在數(shù)據(jù)波形，將會(huì)覆蓋它。
“Open Original Data”按鈕用來打開已經(jīng)存在的數(shù)據(jù)文件。選擇好文件后會(huì)提示輸人參數(shù)。主要包括讀人數(shù)據(jù)的時(shí)間起點(diǎn)、時(shí)間采樣周期和數(shù)據(jù)長(zhǎng)度。數(shù)據(jù)成功讀入后會(huì)在新建窗口中顯示該數(shù)據(jù)時(shí)域波形。如果當(dāng)前存在數(shù)據(jù)波形，將會(huì)覆蓋它。
“Confirm”按鈕用于確認(rèn)新建窗口顯示的數(shù)據(jù)就是用戶想要的數(shù)據(jù)，并返回主窗口。它在創(chuàng)建或打開的數(shù)據(jù)存在的情況下才有效。
3數(shù)據(jù)仿真和分析
將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)取為調(diào)頻信號(hào) x(t)=sin(sin(t／8)πt)。t起始為0，采樣周期為0.1 s，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為400個(gè)點(diǎn)，其時(shí)域波形和頻域波形如圖3所示。
由式(6)產(chǎn)生的替代數(shù)據(jù)s(t)的時(shí)域波形和頻域波形如圖4所示。
由圖3和圖4不難看出，替代數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)的傅里葉變換幅值相同，但替代數(shù)據(jù)傅里葉變換的相位是隨機(jī)的。
圖5顯示了由式(7)計(jì)算得到的原數(shù)據(jù)和替代數(shù)據(jù)的時(shí)頻分布圖。由圖5中可見，原數(shù)據(jù)的時(shí)頻分布圖有明顯的結(jié)構(gòu)性。它表明是非平穩(wěn)的，而替代數(shù)據(jù)的時(shí)頻分布圖的結(jié)構(gòu)性較原數(shù)據(jù)有明顯減弱，表明替代數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性增加。
由式(11)計(jì)算得到的?0的概率密度函數(shù)f(?0) 如圖6所示，其中一共計(jì)算了1 000次替代數(shù)據(jù)。
由圖6可見，替代數(shù)據(jù)的平穩(wěn)度主要分布在0.02附近。數(shù)據(jù)的平穩(wěn)度落在0～0.04 之間可以認(rèn)為是平穩(wěn)的，而在此之外可以認(rèn)為是非平穩(wěn)的。
由式(11)計(jì)算得到的?1=0.046。位于上述區(qū)間之外，因此判為非平穩(wěn)。這一結(jié)果也與圖5所示的結(jié)果相吻合。
4結(jié) 語
利用替代數(shù)據(jù)法和時(shí)頻透視法，并采用Matlab 的GUI開發(fā)環(huán)境，設(shè)計(jì)了一個(gè)信號(hào)平穩(wěn)性檢驗(yàn)系統(tǒng)。該系統(tǒng)的用戶界面友好。利用該系統(tǒng)可以觀察信號(hào)及其替代數(shù)據(jù)的頻域和時(shí)頻域波形，檢驗(yàn)信號(hào)的平穩(wěn)性。
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