1 引 言
機(jī)械故障診斷中由傳感器檢測(cè)到的信號(hào)往往十分復(fù)雜，且信號(hào)中的奇異部分常載有機(jī)械設(shè)備運(yùn)行狀態(tài)特征的重要信息。因此判斷狀態(tài)信號(hào)的奇異點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)刻，并對(duì)信號(hào)奇異性實(shí)現(xiàn)定量描述，在機(jī)械故障診斷信號(hào)分析和處理中有著非常重要的意義。
信號(hào)的奇異性分析是提取信號(hào)特征的重要手段，傅里葉變換一直是研究信號(hào)奇異性的經(jīng)典工具，但是由于傅里葉變換只能確定信號(hào)的整體信息，難以刻畫信號(hào)的局部奇異性，而小波分析理論能實(shí)現(xiàn)信號(hào)的時(shí)-頻局部化描述，為信號(hào)奇異性分析提供有了力的工具。利用小波奇異性檢測(cè)理論，本文提出了一一種根據(jù)奇異點(diǎn)的局部奇異性信息來(lái)診斷機(jī)械故障的新方法。
2 信號(hào)奇異性
數(shù)學(xué)上稱無(wú)限次可導(dǎo)函數(shù)是光滑的或沒(méi)有奇異性的，若函數(shù)在某處有間斷或某階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則稱函數(shù)在此處有奇異性，該點(diǎn)就是奇異點(diǎn)。奇異性反映了信號(hào)的不規(guī)則程度，信號(hào)的奇異性由Lipschitz指數(shù)來(lái)描述和衡量。
設(shè)n為非負(fù)整數(shù)，n≤α≤n+1，如果存在兩個(gè)常數(shù)A和h0(>0)，及n次多項(xiàng)式Pn(t)，使得對(duì)任意的t0，均有：
則稱f(t)在點(diǎn)t0處具有Lipschitz指數(shù)α。
由此可以看出，Lipschitz指數(shù)刻畫了函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0的奇異性。Lipschitz指數(shù)α越大，則函數(shù)f(t)越光滑。如果函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0連續(xù)、可微，那么Lipschitz指數(shù)α=1；如果在點(diǎn)t0不連續(xù)，但有界，則Lipschitz指數(shù)α=0，當(dāng)Lipschitz指數(shù)α<1時(shí)，函數(shù)f(t)在點(diǎn)t0是奇異的。
3 小波變換與信號(hào)奇異性
小波變換是將信號(hào)與一個(gè)時(shí)域和頻域均具有局部化性質(zhì)的平移伸縮小波基函數(shù)進(jìn)行卷積，將信號(hào)分解成位于不同頻帶時(shí)段上的各個(gè)成分。
若基本小波函數(shù)Ψ(τ)∈L2(R)，且滿足容許性條件：
則函數(shù)(信號(hào))f(t)∈L2(R)在尺度s和位置t的小波變換定義為：
由小波變換的特征可知，小波變換Wf(s，t0)的值強(qiáng)烈依賴于信號(hào)f(t)在點(diǎn)t0處領(lǐng)域附近的值，并且尺度s越小，領(lǐng)域問(wèn)也越小，因此在合適的尺度上，Wf(s，t0)將提供所需要的信號(hào)在點(diǎn)t0附近的局部信息。下面的定理給出了信號(hào)小波變換沿尺度的衰減與信號(hào)局部Lipschitz指數(shù)的關(guān)系，并由此得到信號(hào)奇異性的特征。
定理1 設(shè)f(t)∈L2(R)，Ψ(t)為基本小波。則f(t)在某開(kāi)區(qū)間上為L(zhǎng)ipschitz指數(shù)α的充要條件是：
由定理1可以看出當(dāng)s→0時(shí)，∣f(s，t)∣衰減的快慢。如果將尺度理解為頻率的倒數(shù)，則式(3)給出的Lipschitz α是對(duì)信號(hào)在區(qū)間內(nèi)奇異性的局部刻畫，而不僅僅是全部實(shí)數(shù)域上的整體刻畫。
信號(hào)的奇異性在小波變換下的特征由定理2描述，但是如何從信號(hào)小波變換來(lái)確定信號(hào)的奇異性?研究發(fā)現(xiàn)，信號(hào)的奇異點(diǎn)與小波變換模極大值與該點(diǎn)Lipschitz指數(shù)有密切的關(guān)系。在尺度s下，若d/dtWf(s，t)在t0處有一過(guò)零點(diǎn)，則t0是小波變換的局部極值點(diǎn)，若在某一領(lǐng)域δt0，∨t∈δt0，∣Wf(s，t)∣≤∣Wf(s，t0)∣，則t0掬小渡變換的模極值。若∨(s,tΓ)∈Γ，tΓ是在尺度s下的小渡變換的模極大值點(diǎn)，則稱{(s，tΓ∣s>0)}中的某一條曲線Γ為小波變換極值鏈。
定理2 設(shè)n為正數(shù)，Ψ(t)是具有緊支集的小波函數(shù)，有n階消失矩而且n階連續(xù)可微。那么，如果有尺度s
定理2 說(shuō)明如果小波變換無(wú)局部最大值，在該區(qū)間信號(hào)非奇異。由此進(jìn)一步可以推論，f(t)非Lipschitzn的點(diǎn)t的閉包，包含在f(t)的小波變換模極值點(diǎn)的閉包之內(nèi)，說(shuō)明f(t)的所有奇異點(diǎn)均可沿小波變換極值鏈定位，實(shí)際應(yīng)用中便是用考查小波變換的模極值點(diǎn)得到信號(hào)奇異點(diǎn)。從奇異信號(hào)在小波變換下的特征分析，可以有這樣的結(jié)論：信號(hào)小渡變換模極值點(diǎn)即是信號(hào)的奇異點(diǎn)，而描述信號(hào)奇異性Lipschitz指數(shù)是由沿小波變換尺度的衰減計(jì)算。這對(duì)信號(hào)分析、特征提取等均有重要的應(yīng)用價(jià)值。
4 信號(hào)奇異性檢測(cè)
當(dāng)小波函數(shù)可看作某一平滑函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，信號(hào)小波變換模的局部極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)予信號(hào)的突變點(diǎn)；當(dāng)小波函數(shù)可看作巢一平滑蕊數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，信號(hào)小波變換的過(guò)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)于信號(hào)的突變點(diǎn)。因此，采用小波變換模的過(guò)零點(diǎn)和局部極值點(diǎn)的方法可以檢測(cè)信號(hào)的突變點(diǎn)。比較來(lái)說(shuō)，用局部極值點(diǎn)的方法進(jìn)行檢測(cè)更具優(yōu)越性。
一般信號(hào)奇異性分為兩種情況：
(1)信號(hào)在某一時(shí)刻其幅值發(fā)生突變，引起信號(hào)的不連續(xù)，這種類型的突變稱為第一種類型的間斷點(diǎn)(見(jiàn)圖1)；
(2)信號(hào)外觀上很光滑，幅值沒(méi)有發(fā)生突變，但是信號(hào)的一階微分有突變發(fā)生且一階不連續(xù)，這種類型的突變稱為第二種類型的間斷點(diǎn)(見(jiàn)圖2)。
應(yīng)用小波分析可以檢測(cè)出信號(hào)中突變點(diǎn)的位置、類型以及變化的幅度，下面分別對(duì)這兩類間斷點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)。
圖1中信號(hào)的不連續(xù)是由予低頻特征的正弦信號(hào)在后半部分突然有高頻特征的正弦信號(hào)加入，首先利用傅里葉變換對(duì)信號(hào)在頻城進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)無(wú)法檢測(cè)信號(hào)的間斷點(diǎn)，這是由于傅里葉變換不具有時(shí)間分辨力。接著利用小波分析進(jìn)行分析，如圖3所示，使用db6小渡將信號(hào)進(jìn)行6層分解，以檢測(cè)第一種類型的間斷點(diǎn)，可以非常清楚地觀察到信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)，即高頻特征的正弦信號(hào)的加入點(diǎn)，這是因?yàn)殚g斷點(diǎn)包含了高頻信息。如果只需要識(shí)別檢測(cè)第一種類型的間斷點(diǎn)，可以非常清楚地觀察到信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)，即高頻特征的正弦信號(hào)的加入點(diǎn)，這是因?yàn)殚g斷點(diǎn)包含了商頻信息。如果只需要識(shí)別信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)，用dbl小波比db6小波效果要好。
以上檢測(cè)實(shí)例表明小波分析在檢測(cè)信號(hào)的奇異點(diǎn)時(shí)具有傅里葉變換無(wú)法比擬的優(yōu)越性，利用小波分析可以精確地檢測(cè)出信號(hào)的突變點(diǎn)。即高頻特征的正弦信號(hào)的加入點(diǎn)，這是因?yàn)殚g斷點(diǎn)包含了高頻信息。而如果只需要識(shí)別信號(hào)的不連續(xù)點(diǎn)，用dbl小波比db6小波效果要好。
圖2中，原始信號(hào)是由兩個(gè)獨(dú)立的滿足指數(shù)方程的信號(hào)在t=400處連接起來(lái)的。因此它看上去是光滑的，但它的一階微分有突變。采用db6小波對(duì)信號(hào)分解后，在信號(hào)的第一層高頻系數(shù)d1中可以明顯地看到t=100的間斷點(diǎn)。要注意的是，在信號(hào)奇異點(diǎn)的檢測(cè)中，選擇小波的正則性(正則性一般甩來(lái)刻畫函數(shù)的光滑程度，正則性越高，函數(shù)的光滑性越好)非常重要，因?yàn)檫@時(shí)小波可實(shí)現(xiàn)一個(gè)長(zhǎng)的沖激響應(yīng)濾波器。
5 故障診斷實(shí)例分析
小波變換在故障診斷中的應(yīng)用十分廣泛，如奇異信號(hào)檢測(cè)、信噪分離和頻帶分析等。本文采用奇異指數(shù)德量來(lái)實(shí)現(xiàn)信號(hào)的奇異性檢測(cè)，從而實(shí)現(xiàn)故障診斷。信號(hào)奇異性指數(shù)的大小直接反映了故障的程度。故障的發(fā)生往往引起時(shí)域波形的波峰突變，因此，通過(guò)奇異性指數(shù)提取和統(tǒng)計(jì)，可作為信號(hào)時(shí)域的特征因子，以實(shí)現(xiàn)故障的自動(dòng)診斷。
5.1 試驗(yàn)方案
試驗(yàn)對(duì)象是某齒輪減速箱的406滾動(dòng)軸承，試驗(yàn)通過(guò)研磨滾動(dòng)軸承內(nèi)圈來(lái)模擬軸承內(nèi)圈的磨損故障，以不同的配合間隙模擬故障的嚴(yán)重程度。測(cè)試轉(zhuǎn)速1 480 r／min，采樣頻率確定10 kHz是完全能夠滿足測(cè)試要求的，整個(gè)試驗(yàn)在減速箱試驗(yàn)臺(tái)架上進(jìn)行，信號(hào)采集系統(tǒng)框圖如圖4所示。
5.2 試驗(yàn)信號(hào)的處理與分析
模擬故障間隙0.2～0.3 mm，提取一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)域振動(dòng)信號(hào)如圖5所示。
由試驗(yàn)可得出以下結(jié)論：
(1)由滾動(dòng)軸承內(nèi)圈磨損引起的故障在振動(dòng)信號(hào)中體現(xiàn)為奇異的沖擊波形，通過(guò)基于小波變換的信號(hào)奇異性檢測(cè)可以有效定位該故障波形，從而檢測(cè)出故障。
(2)根據(jù)理論分析，若磨損越嚴(yán)重，則沖擊越大，波形越陡，表征信號(hào)波形奇異性Lipschitz指數(shù)越??；通過(guò)試驗(yàn)，驗(yàn)證了Lipschitz指數(shù)可以表征故障嚴(yán)重程度，為故障嚴(yán)重的判別提供了依據(jù)。
6 結(jié)語(yǔ)
信號(hào)奇異點(diǎn)可通過(guò)信號(hào)的小波變換局部極大值來(lái)定位，而奇異性運(yùn)用該點(diǎn)的Lipschitz指數(shù)a來(lái)定量描述，運(yùn)用該理論來(lái)實(shí)現(xiàn)機(jī)械故障信號(hào)的奇異性檢測(cè)，比常規(guī)手段更優(yōu)越。本文通過(guò)實(shí)例說(shuō)明，若將該方法應(yīng)用到機(jī)械設(shè)備故障的診斷中，快速實(shí)現(xiàn)故障的正確診斷，對(duì)于提高機(jī)械設(shè)備工作的穩(wěn)定性具有十分重要的意義。
在試驗(yàn)中故障信號(hào)是奇異的，其Lipschitz指數(shù)小于1，因此Haar小波可滿足檢測(cè)的要求，并且使小波變換的模極大值最小。試驗(yàn)分別模擬了3種故障間隙，測(cè)得Lipschitz指數(shù)如表1所示。
