摘 要： 闡述了現(xiàn)代信號(hào)處理的具體過程，分析了在頻域中對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)產(chǎn)生頻譜泄漏現(xiàn)象的原因。在分析研究傳統(tǒng)的減小頻譜泄露所采取的手段的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了如何通過合適窗函數(shù)的選擇以減小頻譜泄露對(duì)信號(hào)分析的影響，探討了提高頻譜分析質(zhì)量的方法，并給出了相應(yīng)的Matlab仿真結(jié)果。
??? 關(guān)鍵詞： 窗函數(shù)；頻譜泄露；頻譜分析

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　　在現(xiàn)代信號(hào)處理中，由于信號(hào)的頻域分析比時(shí)域分析具有更加清晰的物理概念和深刻含義，因而在信息技術(shù)領(lǐng)域FFT運(yùn)算和頻譜分析是一種常用的分析手段^[1]。對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析首先需要通過信號(hào)的傅里葉變換計(jì)算出信號(hào)對(duì)應(yīng)的頻譜函數(shù)。但是由于實(shí)際應(yīng)用中接觸到的大量非周期連續(xù)信號(hào)x(t)的頻譜函數(shù)X(jω)是連續(xù)函數(shù)，利用計(jì)算機(jī)對(duì)其進(jìn)行頻譜分析時(shí)往往需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行離散化處理以近似分析相應(yīng)的頻譜。在離散化處理過程中由于被處理信號(hào)的有限記錄長(zhǎng)度和時(shí)域、頻域的離散性往往造成在頻譜分析中會(huì)出現(xiàn)一些特殊的效應(yīng)：混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象和柵欄現(xiàn)象。本文主要結(jié)合信號(hào)分析中常用的窗函數(shù)，針對(duì)頻譜分析中出現(xiàn)的泄漏現(xiàn)象進(jìn)行分析研究，給出減小頻譜泄露的辦法以提高頻譜分析的質(zhì)量。
1 泄露現(xiàn)象產(chǎn)生機(jī)理分析
　　利用離散傅里葉變換分析連續(xù)非周期信號(hào)x(t)的傅里葉變換X(jω)，需要對(duì)于x(t)進(jìn)行如圖1所示的離散化處理(其中H_r(jω)為重建低通濾波器)。設(shè)x[k]表示對(duì)連續(xù)信號(hào)x[t]的等間隔T抽樣得到的離散信號(hào)^[2]，亦即：x[k]=x(t)|_t=kT，則離散信號(hào)x[k]的離散時(shí)間傅里葉變換X(e^jω)與連續(xù)信號(hào)x(t)的傅里葉變換X(jω)的關(guān)系為：
　　

　　其中ω_sam=2π/T=2πf_sam表示對(duì)連續(xù)信號(hào)抽樣的角頻率，f_sam為抽樣頻率，ω為模擬角頻率，Ω為數(shù)字角頻率。由(1)式可知，X(e^jΩ)是X(jω)的周期化，且周期是2π。可見在滿足抽樣定理的前提下，采用離散手段分析連續(xù)信號(hào)的頻譜X(jω)時(shí)，可以將x(t)經(jīng)等間隔T抽樣得到序列x[k]，再對(duì)x[k]進(jìn)行N點(diǎn)的離散傅里葉變換，得到X(e^jΩ)在[0，2π)上N個(gè)頻譜抽樣點(diǎn)X[m]，從而得到X(jω)的頻譜信息。
??? 如果連續(xù)信號(hào)x(t)在時(shí)域?yàn)闊o限長(zhǎng)，在對(duì)其進(jìn)行離散化處理后得到了離散序列x[k]也同樣為無限長(zhǎng)序列，則無法使用DFT分析，在具體的信號(hào)處理過程中往往采取對(duì)獲得的離散序列x[k]進(jìn)行時(shí)域加窗截短處理，使之成為有限長(zhǎng)序列x_N(k)，即：
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　　其中w_N[k]為窗函數(shù)。
??? 在信號(hào)的加窗處理過程中，常用的窗函數(shù)主要有矩形窗和漢明窗(Hamming)、漢寧窗(Hanning)、布萊克曼窗(Blackman)等非矩形窗，不同的窗函數(shù)在信號(hào)處理中對(duì)譜函數(shù)質(zhì)量的影響很大[3]，因此合理地選擇窗函數(shù)在信號(hào)的處理中顯得尤為重要。
??? 使用長(zhǎng)度為N的矩形窗函數(shù)R_N[k]對(duì)離散序列x[k]加窗，相當(dāng)于對(duì)序列x[k]直接截?cái)啵瑢?duì)于(2)式，采用矩形窗函數(shù)R_N[k]加窗后所得序列x_N[k]的頻譜X_N(e^jΩ)為：
???
??? 其幅度譜如圖2所示。從圖中可以看出，矩形窗的幅度譜函數(shù)主要是高度為N的主瓣以及若干個(gè)幅度較小的旁瓣組成，頻譜中的旁瓣主要是由于矩形窗在兩個(gè)端點(diǎn)突然截?cái)喽谧V中產(chǎn)生的高頻分量引起的。因而在利用矩形窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗處理時(shí)，得到的譜函數(shù)會(huì)以譜的實(shí)際頻率值為中心，以窗函數(shù)頻譜波形的形狀向兩邊擴(kuò)散，這樣就產(chǎn)生了在頻譜分析中所謂的“頻譜泄露”現(xiàn)象。

2 泄露現(xiàn)象的消除
??? 泄漏現(xiàn)象的產(chǎn)生主要是由于窗函數(shù)的突然截?cái)嘈盘?hào)在譜函數(shù)中產(chǎn)生旁瓣而引起的，對(duì)于矩形窗函數(shù)的幅度譜|W_N(e^jΩ)|，其主瓣峰值和第一旁瓣峰值的比值為：
???
　　譜函數(shù)中主瓣的幅值與旁瓣幅度的比值越大則泄漏現(xiàn)象對(duì)信號(hào)頻譜分析的影響就越小。增加窗信號(hào)窗口的寬度N可以增加主瓣的高度，減小其寬度，改善頻譜的分辨率^[4]。
　　設(shè)待分析連續(xù)信號(hào)為x(t)=cos(2πft)，其中f=100 Hz，設(shè)采樣頻率f_sam=600 Hz，采用矩形窗對(duì)其進(jìn)行加窗截短，采樣長(zhǎng)度分別為32和64，利用Matlab軟件可以得到如圖3所示的仿真結(jié)果。

　?? 由仿真可以看出，增加窗信號(hào)窗口的寬度N可以減小W_N(e^jΩ)的主瓣寬度，改善頻譜分辨率，但是減小主瓣寬度同時(shí)也降低了窗函數(shù)抑制雜波的能力；再者增加N也會(huì)增加旁瓣的能量，影響信號(hào)中弱信號(hào)頻率分量的分辨，有時(shí)甚至導(dǎo)致更多的頻率泄露，可見單純地增加窗口寬度N并不能真正意義上地減小頻率泄漏現(xiàn)象。
　　由于泄露現(xiàn)象是由窗函數(shù)突然截?cái)嘈盘?hào)x[k]而引起的，采用如圖4所示幅度逐漸減小的非矩形窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗^[5]，由于信號(hào)x[k]是被逐漸截?cái)?，在一定程度上可以減小泄露對(duì)頻譜分析的影響。

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??? 當(dāng)然還可以采用其他幾種幅度逐漸減小的非矩形窗函數(shù)如漢明窗或者布萊克曼窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗處理。對(duì)于漢明窗，其窗函數(shù)的幅度譜旁瓣的最大泄露為-41dB，大于漢寧窗的-21dB，衰減效果較為明顯，但是其遠(yuǎn)隔旁瓣的衰減速度僅為-2dB/個(gè)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于漢寧窗的-6dB/個(gè)，因而從整體處理效果來看，選擇漢寧窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行截短處理要比采用漢明窗效果更好。對(duì)于布萊克曼窗雖然旁瓣的衰減大，但計(jì)算相對(duì)復(fù)雜，因而采用布萊克曼窗對(duì)信號(hào)進(jìn)行加窗處理往往會(huì)使頻譜分析趨于復(fù)雜化。
? 連續(xù)信號(hào)的離散化頻譜分析不僅有頻率泄露現(xiàn)象，同時(shí)還會(huì)出現(xiàn)諸如混疊和柵欄現(xiàn)象，對(duì)于混疊可以采用在抽樣前添加抗混疊濾波器的方式進(jìn)行處理^[7]，以提高頻譜的分析精度。而對(duì)于柵欄現(xiàn)象可以在譜函數(shù)XN(ej?贅)中抽取更多的樣點(diǎn)值，在序列xN[k]后補(bǔ)零構(gòu)成一個(gè)L>N序列x_L[k]，將序列人為地改為L(zhǎng)點(diǎn)，改變采樣點(diǎn)的位置，使各采樣點(diǎn)的間隔更小，從而提高頻率檢測(cè)的精度[8]，減小柵欄現(xiàn)象對(duì)頻譜分析的影響。
??? 本文針對(duì)連續(xù)信號(hào)在頻域分析中常常出現(xiàn)的頻譜泄漏現(xiàn)象產(chǎn)生的原因進(jìn)行了分析研究，提出了在頻譜分析中減小頻譜泄露的方法與途徑，給出了Matlab軟件的仿真結(jié)果。采用此種處理手段可以使信號(hào)的頻譜分析精度更準(zhǔn)確，函數(shù)譜更加貼近實(shí)際，處理效果更加理想。

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