摘 要： 通過(guò)理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換" title="分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換">分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換過(guò)程中的抽取與內(nèi)插" title="內(nèi)插">內(nèi)插的先后順序進(jìn)行了研究。
關(guān)鍵詞： 分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換 欠采樣" title="欠采樣">欠采樣 過(guò)采樣" title="過(guò)采樣">過(guò)采樣 運(yùn)算效率
在多抽樣率信號(hào)處理中，分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換是一類比較重要的應(yīng)用，對(duì)分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換的研究很多[1~4]，L/M倍的抽樣率轉(zhuǎn)換通過(guò)一個(gè)L倍內(nèi)插和M倍抽取的串聯(lián)實(shí)現(xiàn)。分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換必須先內(nèi)插再抽取才能保證中間處理過(guò)程不丟失信息[1]。但先內(nèi)插再抽取的弊端是濾波器工作在高采樣率下運(yùn)算效率較低。能否通過(guò)先抽取再內(nèi)插的辦法進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換呢？本文就是分析分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換過(guò)程中內(nèi)插與抽取的先后順序是否可以互換。
設(shè)基帶信號(hào)" title="基帶信號(hào)">基帶信號(hào)最高頻率為fs，原始信號(hào)采樣率為Nfs，分?jǐn)?shù)倍采樣因子為L(zhǎng)/M，則采樣后信號(hào)的采樣率為L(zhǎng)Nfs/M。由奈奎斯特采樣定理可知，只要采樣率大于奈奎斯特頻率，就可以無(wú)失真地恢復(fù)出原始信號(hào)。顯然先內(nèi)插再抽取的方法不會(huì)在中間過(guò)程造成基帶信號(hào)的丟失；而采用先抽取再內(nèi)插的方法，則當(dāng)N/M≥2即奈奎斯特采樣或者過(guò)采樣時(shí)不會(huì)造成基帶信號(hào)的丟失，而當(dāng)N/M<2即欠采樣時(shí)，先抽取必定會(huì)造成基帶信號(hào)的丟失。
1 欠采樣
在欠采樣下進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換時(shí)，如果先抽取，則不滿足奈奎斯特采樣定理的條件，中間處理過(guò)程一定會(huì)造成基帶信號(hào)的丟失，這樣再內(nèi)插后丟失的信號(hào)仍然得不到恢復(fù)，從而造成采樣信號(hào)的失真；如果先內(nèi)插，將采樣率提高，再抽取降采樣，就可以有效地避免基帶信號(hào)丟失的現(xiàn)象。因此，在欠采樣下進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換，必須先內(nèi)插再抽取。
2 奈奎斯特采樣或過(guò)采樣
奈奎斯特采樣或者過(guò)采樣下無(wú)論先抽取還是先內(nèi)插，均滿足奈奎斯特采樣定理，因此進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換時(shí)即可以先抽取再內(nèi)插，也可以先內(nèi)插再抽取。
下面通過(guò)仿真實(shí)例來(lái)說(shuō)明在過(guò)采樣下進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換的情況。設(shè)原始采樣率48.96MHz，基帶信號(hào)最高頻率為4.08MHz，進(jìn)行2/3倍抽樣率轉(zhuǎn)換，通帶紋波Rp=0.5dB，阻帶衰減Rs=20dB，通帶上限截止頻率fp=4.08MHz，阻帶下限截止頻率fs=5MHz。
2.1 先抽取再內(nèi)插
先三倍抽取再兩倍內(nèi)插的實(shí)現(xiàn)框圖如圖1。其中h1(n)為抗混疊濾波器，h2(n)為去鏡像濾波器，可以求得h1(n)的階數(shù)為57階，h2(n)的階數(shù)為37階。它們的幅頻響應(yīng)分別示于圖2中。
2.2 先內(nèi)插再抽取
先兩倍內(nèi)插再三倍抽取的實(shí)現(xiàn)框圖如圖3。其中，h(n)既是抗混疊濾波器，也是去鏡像濾波器，可求得濾波器階數(shù)為113階，幅頻響應(yīng)如圖4。
2.3 運(yùn)算效率比較
圖5給出了過(guò)采樣下原始信號(hào)和先抽取再內(nèi)插以及先內(nèi)插再抽取后信號(hào)的周期圖功率譜。從中可以看出，先抽取再內(nèi)插的方法與先內(nèi)插再抽取的方法都實(shí)現(xiàn)了2/3倍采樣率轉(zhuǎn)換。現(xiàn)在再比較一下兩種方法的運(yùn)算效率。
用RT*表示每秒所需要的乘法次數(shù)(MPS)，用NT表示存儲(chǔ)系數(shù)和數(shù)據(jù)所需要的運(yùn)算量，Ri表示第i級(jí)所需要的每秒乘法次數(shù)，Ni表示第i級(jí)FIR內(nèi)插濾波器的階數(shù)，F(xiàn)i表示第i級(jí)濾波器的采樣率，I表示多級(jí)實(shí)現(xiàn)時(shí)的總級(jí)數(shù)，單級(jí)實(shí)現(xiàn)時(shí)I=1。由文獻(xiàn)[1]可知：
若濾波器為對(duì)稱的，則
利用濾波器的對(duì)稱性，先三倍抽取再兩倍內(nèi)插每秒所需的乘法次數(shù)為：
所需的存儲(chǔ)量為:N2=113
因此先三倍抽取再兩倍內(nèi)插的運(yùn)算效率比先兩倍內(nèi)插再三倍抽取的運(yùn)算效率高。
分?jǐn)?shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換過(guò)程中抽取與內(nèi)插的先后順序不僅決定是否能正確地采樣，還決定著采樣率轉(zhuǎn)換運(yùn)算效率的高低。本文通過(guò)理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了研究。研究結(jié)果表明：在欠采樣下，進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換必須先內(nèi)插再抽取；在奈奎斯特采樣率或者過(guò)采樣下進(jìn)行分?jǐn)?shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換時(shí)，從信號(hào)保持角度看，先抽取再內(nèi)插和先內(nèi)插再抽取均可以實(shí)現(xiàn)無(wú)失真采樣；但從運(yùn)算效率角度看，則應(yīng)該選擇先抽取再內(nèi)插的方法。
參考文獻(xiàn)
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