在多抽樣率信號處理中，分數(shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換是一類比較重要的應用，對分數(shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換的研究很多[1~4]，L/M倍的抽樣率轉(zhuǎn)換通過一個L倍內(nèi)插和M倍抽取的串聯(lián)實現(xiàn)。分數(shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換必須先內(nèi)插再抽取才能保證中間處理過程不丟失信息^[1]。但先內(nèi)插再抽取的弊端是濾波器工作在高采樣率下運算效率較低。能否通過先抽取再內(nèi)插的辦法進行分數(shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換呢？本文就是分析分數(shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換過程中內(nèi)插與抽取的先后順序是否可以互換。
　　設基帶信號" title="基帶信號">基帶信號最高頻率為fs，原始信號采樣率為Nfs，分數(shù)倍采樣因子為L/M，則采樣后信號的采樣率為LNfs/M。由奈奎斯特采樣定理可知，只要采樣率大于奈奎斯特頻率，就可以無失真地恢復出原始信號。顯然先內(nèi)插再抽取的方法不會在中間過程造成基帶信號的丟失；而采用先抽取再內(nèi)插的方法，則當N/M≥2即奈奎斯特采樣或者過采樣時不會造成基帶信號的丟失，而當N/M<2即欠采樣時，先抽取必定會造成基帶信號的丟失。
1 欠采樣
　　在欠采樣下進行分數(shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換時，如果先抽取，則不滿足奈奎斯特采樣定理的條件，中間處理過程一定會造成基帶信號的丟失，這樣再內(nèi)插后丟失的信號仍然得不到恢復，從而造成采樣信號的失真；如果先內(nèi)插，將采樣率提高，再抽取降采樣，就可以有效地避免基帶信號丟失的現(xiàn)象。因此，在欠采樣下進行分數(shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換，必須先內(nèi)插再抽取。
2 奈奎斯特采樣或過采樣
　　奈奎斯特采樣或者過采樣下無論先抽取還是先內(nèi)插，均滿足奈奎斯特采樣定理，因此進行分數(shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換時即可以先抽取再內(nèi)插，也可以先內(nèi)插再抽取。
　　下面通過仿真實例來說明在過采樣下進行分數(shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換的情況。設原始采樣率48.96MHz，基帶信號最高頻率為4.08MHz，進行2/3倍抽樣率轉(zhuǎn)換，通帶紋波R_p=0.5dB，阻帶衰減R_s=20dB，通帶上限截止頻率f_p=4.08MHz，阻帶下限截止頻率f_s=5MHz。
2.1 先抽取再內(nèi)插
　　先三倍抽取再兩倍內(nèi)插的實現(xiàn)框圖如圖1。其中h₁(n)為抗混疊濾波器，h₂(n)為去鏡像濾波器，可以求得h₁(n)的階數(shù)為57階，h₂(n)的階數(shù)為37階。它們的幅頻響應分別示于圖2中。

2.2 先內(nèi)插再抽取
　　先兩倍內(nèi)插再三倍抽取的實現(xiàn)框圖如圖3。其中，h(n)既是抗混疊濾波器，也是去鏡像濾波器，可求得濾波器階數(shù)為113階，幅頻響應如圖4。

2.3 運算效率比較
　　圖5給出了過采樣下原始信號和先抽取再內(nèi)插以及先內(nèi)插再抽取后信號的周期圖功率譜。從中可以看出，先抽取再內(nèi)插的方法與先內(nèi)插再抽取的方法都實現(xiàn)了2/3倍采樣率轉(zhuǎn)換?，F(xiàn)在再比較一下兩種方法的運算效率。

　　用R_T^*表示每秒所需要的乘法次數(shù)(MPS)，用NT表示存儲系數(shù)和數(shù)據(jù)所需要的運算量，R_i表示第i級所需要的每秒乘法次數(shù)，N_i表示第i級FIR內(nèi)插濾波器的階數(shù)，F(xiàn)_i表示第i級濾波器的采樣率，I表示多級實現(xiàn)時的總級數(shù)，單級實現(xiàn)時I=1。由文獻^[1]可知：
　　
　　若濾波器為對稱的，則
　　
　　利用濾波器的對稱性，先三倍抽取再兩倍內(nèi)插每秒所需的乘法次數(shù)為：
　　
　　所需的存儲量為:N₂=113
　　因此先三倍抽取再兩倍內(nèi)插的運算效率比先兩倍內(nèi)插再三倍抽取的運算效率高。
　　分數(shù)倍采樣率轉(zhuǎn)換過程中抽取與內(nèi)插的先后順序不僅決定是否能正確地采樣，還決定著采樣率轉(zhuǎn)換運算效率的高低。本文通過理論分析和仿真實驗，對這一問題進行了研究。研究結(jié)果表明：在欠采樣下，進行分數(shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換必須先內(nèi)插再抽??；在奈奎斯特采樣率或者過采樣下進行分數(shù)倍抽樣率轉(zhuǎn)換時，從信號保持角度看，先抽取再內(nèi)插和先內(nèi)插再抽取均可以實現(xiàn)無失真采樣；但從運算效率角度看，則應該選擇先抽取再內(nèi)插的方法。
參考文獻
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