0 引言

    在MIMO網(wǎng)絡(luò)中，隨著發(fā)射機(jī)與接收機(jī)數(shù)量的增加，信道中接收機(jī)所受到的干擾也會隨之增大。如何減少信道中各個用戶所受到的干擾是一個重要研究課題。之前的學(xué)者已經(jīng)提出了許多處理信道中干擾的方法，譬如，多天線下的波束成形法^[1]，其中在大多數(shù)干擾處理方法中，接收機(jī)所受到的干擾都會隨著收發(fā)對數(shù)量的增長急劇增加，而干擾對齊(Interference Alignment，IA)方案的提出可以有效減少信道間干擾，并且越來越被人們所關(guān)注。

    當(dāng)沒有足夠的信道資源用于消除干擾時，IA方法嘗試將每個接收機(jī)的所有干擾對齊到小部分資源維度中去，而剩余的資源維度可以用來存放每個接收機(jī)的期望消息。IA方法被提出后，就相繼被運(yùn)用到干擾信道^[2](Interference Channel，IC)、X信道^[3](X Channel，XC)等基本網(wǎng)絡(luò)信道模型中。其中X信道可以看作是干擾信道、廣播信道(Broadcast Channel，BC)以及多輸入信道(Multiple Access Channel，MAC)的復(fù)合信道，因此，研究干擾對齊在MIMO X信道中的可行性意義重大。干擾對齊在M×N X信道中完美實(shí)現(xiàn)時^[4]，信道中的自由度(Degree of Freedom，DoF)可以達(dá)到上界(MN)/(M+N-1)。

    在傳播延遲較大的信道中時，譬如水聲信道以及深空信道，干擾對齊方法可以發(fā)揮巨大作用，但是對于具有較大傳播時延的M×N X信道的具體干擾對齊方案還在繼續(xù)探索中。其中，2×2 X 信道^[5-6]、K×2 X信道^[7]基于傳播延遲的干擾對齊方案已經(jīng)被證實(shí)可以完美實(shí)現(xiàn)，且已經(jīng)得到具體的干擾對齊信道設(shè)計(jì)方案。但是，當(dāng)發(fā)送端數(shù)目K≥3時，還沒有文獻(xiàn)給出能實(shí)現(xiàn)完美干擾對齊的具體信道設(shè)計(jì)方案，并且K×3 X信道已經(jīng)被證明，其不存在完美的干擾對齊方案^[8]。 

    為了盡可能達(dá)到3×3 X信道的自由度上界9/5，本文在完美干擾對齊自由度中5個時隙的基礎(chǔ)上增加一個額外時隙。在多天線信道中，可以使用空間干擾對齊的預(yù)編碼方案^[9]，在單天線情況下，信道中消息的編解碼使用循環(huán)多項(xiàng)式的表示方法，首先對發(fā)送端發(fā)送的每個消息設(shè)計(jì)合理的編碼方案，其次為每對發(fā)射機(jī)和接收機(jī)之間設(shè)置合理的傳播時延，最終在接收端進(jìn)行解碼后，該3×3 X信道可以達(dá)到3/2自由度，比傳統(tǒng)的時分多址的方案在時間上可以節(jié)省33.3%。進(jìn)而，分析了本方案中各個發(fā)射機(jī)以及接收機(jī)在歐幾里得二維以及三維空間中的可行性范圍，并給出了具體示例。

1 系統(tǒng)模型

1.1 3×3 X信道系統(tǒng)模型

    3×3 X信道模型如圖1所示，信道中有3個發(fā)射機(jī)和3個接收機(jī)，分別用S_j和D_i表示，i，j∈{1，2，3}，且假設(shè)信道中每個節(jié)點(diǎn)只有一根天線。使用W_ij表示發(fā)送機(jī)Sj發(fā)送到接收機(jī)D_i的唯一期望消息，τ_ij表示發(fā)射機(jī)S_j到接收機(jī)D_i之間的傳播延遲，v_j和r_i分別表示發(fā)射機(jī)Sj發(fā)送的和接收機(jī)D_i所接收到的消息多項(xiàng)式。

1.2 算法說明

    每個發(fā)射機(jī)S_j和接收機(jī)D_i之間的信道被等分為n個時隙，每個時隙中只能發(fā)送一個消息。假設(shè)傳播延遲是一個時隙的靜態(tài)和非負(fù)整數(shù)倍。與傳統(tǒng)的正交多址方案類似，消息在n個時隙之后，根據(jù)傳播延遲的信道特性循環(huán)右移。該過程可以通過循環(huán)右移多項(xiàng)式建立模型，且周期為n。

    要發(fā)送的消息在發(fā)射機(jī)處設(shè)置偏移量為x^s發(fā)送，且信道延遲矩陣延遲t個時隙。在一個周期(n個時隙)后，得到的延遲消息由x^s+tW_ijmod(xⁿ-1)表示，此處的s和t即為式(2)和式(3)中的p_ij和τ_ij。

    編碼方案：從S_j發(fā)送的3個消息W_1j、W_2j、W_3j，通過編碼函數(shù)的編碼函數(shù)e_j轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式v_j(x)中，如式(1)所示：

2 添加額外時隙的干擾對齊方案

    已知，3×3 X信道自由度上界為9/5^[2]，理論上可以通過基于無限符號擴(kuò)展的漸近干擾對齊（IA）來實(shí)現(xiàn)，這需要無窮資源來逼近，實(shí)際中不可能實(shí)現(xiàn)。此外，已經(jīng)證明，對于K×3 X信道，不能通過傳播時延來達(dá)到DoF上限^[8]。因此，無法在5個時隙(對于3×3 X信道，n的最小值為5)內(nèi)正確發(fā)送信道中所有9個消息。 

    一方面，本文需要通過3×3 X信道發(fā)送所有9個獨(dú)立消息；另一方面，期望最小的額外延遲成本以獲得盡可能大的DoF。因此，除了最小的5個時隙之外，僅添加一個額外的時隙以減少最多的延遲是合理的，即n=6。

    接下來本文提出一種方案來完成在n=6個時隙上發(fā)送M=9個消息的基本任務(wù)，即自由度為3/2。

    首先，考慮各個消息在發(fā)射機(jī)處設(shè)置的偏移量（偏移量有多種設(shè)置方案，此時僅以如下偏移量為例說明），假設(shè)各個消息在各個發(fā)射機(jī)的偏移量后代入式(2)后可得式(8)：

    通過設(shè)置每個待發(fā)送消息的偏移量，可以得到發(fā)送端的消息發(fā)送順序，如圖2所示。

    其中，信道中的傳輸延時矩陣D如式(9)所示：

    已知傳播周期(即一個周期所包含的總時隙數(shù))n=6，接收機(jī)所接收到的消息多項(xiàng)式如下。

    在接收機(jī)D₁處，r₁(x)如式(10)所示：

    由式(10)可以看出，在接收機(jī)D₁處，期望消息W₁₁、W₁₂和W₁₃分別在每個循環(huán)中的第1、第2以及第6個時隙中被無干擾地接收到。同理，在接收機(jī)D₂處，所接收到的多項(xiàng)式如式(11)所示：

    很明顯，在接收機(jī)D₂處，D₂的期望消息W₂₂、W₂₁和W₂₃分別在每個循環(huán)周期的第2、第3和第5個時隙上被無干擾地接收。最后，接收機(jī)D₂處所接收到的多項(xiàng)式如式(12)所示：

    由式(12)可以看出，D₃的期望消息W₃₃、W₃₁和W₃₂分別在每個循環(huán)周期的第1、第5和第6個時隙里被無干擾地接收到。

    通過本方案，3個接收機(jī)均可以在一個周期內(nèi)(即6個時隙內(nèi))接收到各自的期望消息，并對齊絕大多數(shù)干擾。每個接收端的消息接收情況如圖3所示。

    總的來說，對于3×3 X信道中的9個消息，通過對發(fā)送端的消息進(jìn)行合理的編碼設(shè)計(jì)，以及信道中的傳播延遲矩陣的設(shè)計(jì)，可以在n=6個時隙中實(shí)現(xiàn)干擾對齊方案，并且能達(dá)到DoF=9/6=3/2。

3 對比分析

    本文運(yùn)用MATLAB軟件對3×3 X信道添加額外時隙的干擾對齊方案下，每個時隙內(nèi)成功接收的總有效消息數(shù)進(jìn)行分析，并與3×3 X信道在時分多址方案下的每個時隙成功接收的總有效消息數(shù)進(jìn)行對比。

    本文提出的外加額外時隙的干擾對齊方案中，每個傳輸周期內(nèi)，需要占用6個時隙即可以成功傳輸9個期望消息，信道可達(dá)自由度為3/2；在時分多址情況下，每個傳輸周期需要占用9個時隙才能成功傳輸這9個期望消息，信道可達(dá)自由度為1。即采用本文方案，每個周期可以節(jié)省3個時隙數(shù)。

    下面是針對兩種方案，接收端所能接收的有效消息總數(shù)的對比，如圖4所示。當(dāng)發(fā)送9n個消息時，干擾對齊方案需要6n個時隙，時分多址方案需要9n個時隙，比本文所提出的方案多花費(fèi)3n個時隙數(shù)。由此可以看出，對于3×3 X信道，使用增加額外一個時隙的干擾對齊方案時，比傳統(tǒng)的時分多址方案使用的時間減少33.3%。通過比較發(fā)現(xiàn)，添加一個額外時隙的干擾對齊方案能大大提高網(wǎng)絡(luò)中的消息傳輸效率。

4 歐幾里得空間中的可行性分析

    在本節(jié)中，討論所提出的方案在歐幾里得二維或三維空間中的可行性。為簡單起見，假設(shè)傳播速度v在所有鏈路中是恒定的，這意味各對收發(fā)機(jī)之間的傳播延遲量也代表其距離關(guān)系。

    S_j和D_i之間的距離可以用d_ij=v(τ_ij+τ₀)表示，其中τ₀是傳播延遲的參考原點(diǎn)。用a表示為D₁和D₂之間的距離，b表示D₁和D₃之間的距離，c表示D₂和D₃之間的距離。在本文模型中，Δτ（傳播延遲）增加表示此對收發(fā)機(jī)之間相應(yīng)的距離增加，步長為Δd=vΔτ。用O_i(S_j)表示以D_i為中心的圓/球，其圓周上帶有S_j。

式中，d₀可以根據(jù)實(shí)際情況設(shè)置成不同的值，可以將此可行性條件應(yīng)用于不同場景，圖5即為該3×3 X信道中，3個發(fā)射機(jī)和3個接收機(jī)在二維歐氏空間上的一種可行性位置排布。

    下面給出一個參考示例。例：假設(shè)d₀=1 000，由式(20)可以得知：0≤Δd≤1 000，分別考慮Δd取最小值、中間值和最大值時的可行性范圍。

    通過上述例子可以發(fā)現(xiàn)，通過增加一個額外時隙進(jìn)而實(shí)現(xiàn)干擾對齊這一方案在歐氏空間中是可行的，并且可以通過不同的場景設(shè)置不同的d₀和Δd來得出節(jié)點(diǎn)排布的位置范圍，即a、b、c的取值范圍。

5 結(jié)論

    本文研究了3×3 X信道時域上外加一個額外時隙的干擾對齊方案的可行性，基于信道傳播延遲，在信道發(fā)送端和接收端使用循環(huán)多項(xiàng)式的編解碼方案，在接收端解碼之后，可以成功傳送全部期望消息，信道自由度可以達(dá)到3/2。把該方案與時分多址的方法進(jìn)行對比可以發(fā)現(xiàn)，該方案在每個傳輸周期內(nèi)可以節(jié)約1/3的時間。同時分析了此方案在歐幾里得二維和三維空間中的可行性范圍，證明了該方案的可行性。

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作者信息:

劉  鋒，王淑萍，姜勝明

(上海海事大學(xué) 信息工程學(xué)院，上海201306)