0 引言

    2009年ARIKAN E教授提出了極化碼^[1]，并且通過數(shù)學方法證明了當碼長無限長時其性能可以達到香農(nóng)極限。極化碼一經(jīng)提出就在國際上引起廣泛的關(guān)注，并且在2016年11月3GPP RAN1 #87會議上確定5G eMBB場景控制信道編碼為極化碼。

    極化碼在實際應用中存在著一些缺點。連續(xù)刪除(Successive Cancellation，SC)譯碼對于長碼有很好的糾錯性能，但是對中短碼長譯碼性能有顯著的降低。為了克服這個問題，學者們提出了許多改進方法，如置信傳播（Belief Propagation，BP）譯碼算法^[2]、線性規(guī)劃（Linear Programming，LP）譯碼算法^[3]等。這些算法雖然可以提高一部分譯碼性能，但是譯碼算法的復雜度太大。一些算法針對SC算法進行了改進，文獻[4]提出了連續(xù)刪除列表(Successive Cancellation List，SCL)譯碼算法，特別是在冗余循環(huán)校驗(Cyclic Redundancy Check，CRC)輔助下的SCL的譯碼性能可以超過最大似然(Maximum Likelihood，ML)譯碼^[5]。但同時SCL譯碼的復雜度也隨之增加。文獻[6]中提出的堆棧SC（SCStack，SCS）譯碼有和SCL譯碼相同的譯碼性能，此外SCS譯碼的時間復雜度遠低于SCL譯碼，并且在高的信噪比下可以降低搜索寬度L。

    本文對SC譯碼和SCL譯碼進行了算法簡化，降低了算法的復雜度和時延。并且用數(shù)學證明的方法證明了簡化算法的可行性。

1 極化碼編碼

    Polar Code是一種結(jié)構(gòu)性與迭代性極強的信道編碼技術(shù)，其設計核心理論是對信道的極化，信道極化過程主要包括兩部分^[1]：信道聯(lián)合過程和信道分裂過程。

1.1 信道極化^[1]

    信道聯(lián)合：對已知的二進制離散無記憶信道W進行N次迭代復制W^N：X^N→Y^N，N=2ⁿ，并對復制所得信道進行遞推方式組合。W_N和W^N之間的轉(zhuǎn)移概率關(guān)系為：

    圖1所示為在高斯信道下，碼長為N=4 096的信道極化仿真圖。根據(jù)仿真結(jié)果，可以看出部分信道的信道容量成兩極分化。據(jù)此可以選出I(W)→1的信道傳輸信息比特作為信息位，I(W)→0的信道傳輸固定比特作為凍結(jié)位。

1.2 極化碼編碼

2 SC譯碼算法

    把β_v傳遞給p_v。這時v節(jié)點的譯碼消息傳遞終止，因為在余下譯碼過程中將不會再次激活節(jié)點v。

2.1 簡化的SC譯碼算法

    本節(jié)通過簡化傳統(tǒng)譯碼的消息傳遞規(guī)則，簡化了SC譯碼算法。并且證明簡化譯碼算法的譯碼性能是與傳統(tǒng)的譯碼性能相同。

    (1)Rate-0節(jié)點

    對于Rate-0節(jié)點v，由于它所有后代都是Rate-0節(jié)點，因此當v接收到軟信息α_v時，不去激活左右的子節(jié)點而直接計算β_v：

    對于任意d_v=n-1的Rate-1節(jié)點一定滿足式(15)。假設d_v=i的Rate-1節(jié)點也滿足(15)，于是對于d_v=i-1的Rate-1節(jié)點v的子節(jié)點d_v=i，滿足式(15)。因此，根據(jù)上面的推導可以證明式(12)成立。

    ②證明式(13)成立：當d_v=n時，對Rate-1節(jié)點，式(13)顯然是成立，因此，可以通過歸納法證明d_v<n的Rate-1節(jié)點也是滿足式(13)的。

2.2 算法復雜度分析

3 SCL譯碼算法

    為了提高SC譯碼算法在碼長較短情況下糾錯能力，SCL譯碼算法被提出，L代表搜索寬度。每次必須有一點被估計，它的可能值0和1都需要被考慮。因為存在L組碼字候選，所以每次新的位估計產(chǎn)生2L組候選路徑，其中一半需要丟棄。因此，路徑度量值(Path Metric，PM)被提出。PM計算如下：

    SCL譯碼算法是從根節(jié)點出發(fā)，按廣度優(yōu)先的方法對路徑進行擴展；每一層向下一層擴展時，選擇當前層中具有較小PM的L條。當沒有到達葉節(jié)點而搜索寬度已經(jīng)達到，按照PM的從大到小的排列保留PM小的L條路徑。直到到達葉節(jié)點，然后選取PM最小路徑作為譯碼結(jié)果。

    為了進一步提高極化碼的譯碼性能，編碼前在信息比特中添加CRC，然后利用SCL譯碼算法獲得L條搜索路徑，最后借助“正確信息比特可以通過CRC校驗”的先驗信息，對這L條搜索路徑進行挑選，從而得到正確譯碼結(jié)果。

4 簡化的SCL譯碼算法

    傳統(tǒng)的SCL譯碼算法每次進行路徑擴展時都會產(chǎn)生2L條路徑，但是對于凍結(jié)比特，由于譯碼結(jié)果是已知的，因此對于凍結(jié)比特不進行路徑擴展，直接判決比特，路徑度量值也不改變，從而減少剪枝算法執(zhí)行的次數(shù)，達到降低算法復雜度的目的。

    由上述的譯碼過程分析，式(20)PM的計算可以改為：

    因為凍結(jié)比特在譯碼過程中結(jié)果是已知的，所以不需要去選擇路徑，進而PM也不需要計算。另外，由于分裂次數(shù)的減少，剪枝算法也隨之減少，并最終達到了降低算法復雜度的目的。

5 仿真結(jié)果與分析

    如圖4所示，在高斯信道下，碼長為1 024，碼率為0.5，采用二進制相移鍵控調(diào)制，譯碼輸出使用24位CRC校驗。搜索寬度L分別為1，2，4，8，16，32 的CA-SCL譯碼性能，仿真數(shù)據(jù)是106幀，一幀長1 024個比特。仿真結(jié)果表明，隨著L的值增加，誤碼率在逐漸降低，CA-SCL譯碼算法的性能明顯要優(yōu)于SC(L=1)譯碼算法。

6 結(jié)論

    極化碼是目前唯一可以通過數(shù)學證明達到香農(nóng)極限的信道編碼技術(shù)，并且已經(jīng)成為5G控制信道的編碼方案。本文詳細敘述極化碼編譯碼的原理和結(jié)構(gòu)，并提出關(guān)于SC譯碼和SCL譯碼的優(yōu)化算法，在不改變譯碼性能的前提下，降低了算法復雜度。通過對SC譯碼和SCL譯碼的性能進行了仿真分析，結(jié)果表明，隨著搜索寬度L的增加，極化碼的譯碼性更優(yōu)，但復雜度也隨著增加。因此關(guān)于SCL的復雜度和數(shù)據(jù)吞吐量是下一步研究方向。

參考文獻

[1] ARIKAN E.Channel polarization：a method for constructing capacity-achieving codes for symmetric binary-input memoryless channels[M].IEEE Press，2009.

[2] ARIKAN E.A performance comparison of polar codes and Reed-Muller codes[J].Communications Letters IEEE，2008，12(6)：447-449.

[3] GOELA N，KORADA S B，GASTPAR M.On LP decoding of polar codes[C].Information Theory Workshop.IEEE，2010：1-5.

[4] TAL I，VARDY A.List decoding of polar codes[J].IEEE Transactions on Information Theory，2012，61(5)：2213-2226.

[5] NIU K，CHEN K.Stack decoding of polar codes[J].Electronics Letters，2012，48(12)：695-697.

[6] NIU K，CHEN K.CRC-aided decoding of polar codes[J].IEEE Communications Letters，2012，16(10)：1668-1671.

[7] BALATSOUKAS-STIMMING A，PARIZI M B，BURG A.LLR-based successive cancellation list decoding of polar codes[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2015，63 (19)：5165-5179.

作者信息:

王  丹，李孟杰，李玉河，賈東升

(重慶郵電大學 重慶市移動通信技術(shù)重點實驗室，重慶400065)