0 引言

    近年來，隨著信息交互和數(shù)據(jù)共享的不斷增加，社交網(wǎng)絡的數(shù)量顯著提高。在分析此類網(wǎng)絡時，圖論提供了一個重要的建模模型。當節(jié)點代表用戶，邊表示互聯(lián)時，可以將此類網(wǎng)絡定義為一張圖^[1-3]，該圖中的節(jié)點可以是直接或間接相連的。在分析社交網(wǎng)絡數(shù)據(jù)時，定義和計算社區(qū)是最關鍵的步驟。同時,社區(qū)可以被看作是對整個網(wǎng)絡的概要表示(Summarization)，因此,在社區(qū)檢測中需要使用這種概要設計理念^[4]。

    當前對于社區(qū)網(wǎng)絡劃分研究已取得了很多研究成果，特別是社會網(wǎng)絡分析，但其仍然是一項具有挑戰(zhàn)性和吸引力的研究。因為在給定的圖中進行社區(qū)檢測，可以用于搜索潛在的合作者，用于優(yōu)化社會關系，或在不同的社區(qū)中搜索一個關鍵人物等^[5]。

    基于圖論的原理，已經提出了不少方法用來解決社區(qū)檢測的問題，如譜分析方法^[6]，其代表了一種非常特殊的社區(qū)檢測技術。這種方法的特殊性表現(xiàn)在其分類性能上，并以拉普拉斯矩陣的特征向量為基礎。使用這樣一個矩陣在時間和內存方面需要付出很高的代價。此外，在時間復雜度上，k個特征向量的計算復雜度為O(n³)。雖然，很容易計算出給定矩陣的特征向量，但是不方便計算大型拉普拉斯矩陣。這個方法的第二個缺點是假設社區(qū)的數(shù)量必須是已知的，但是在實際的大型社交網(wǎng)絡中很難獲得這一信息。文獻[7]提出了一種基于聚類概念的社區(qū)檢測方法。這種技術的優(yōu)點是它能夠提供豐富的結果，使用這種方法發(fā)現(xiàn)的社區(qū)節(jié)點之間相互連接非常緊密。然而，在時間和內存方面代價很高，而且非常復雜。BASUCHOWDHURI P等人^[8]提出了一種基于最大生成樹的并發(fā)方法。該方法使用共同鄰居的相似性作為邊的權重。將每個節(jié)點都與鄰居相連接，共享了大量的共同鄰居，從而建造了最大生成樹。與文獻[7]的方法相比較，這種方法在占用內存方面效果較好，但是其時間運行成本還是較高。文獻[9]提出了一種基于節(jié)點和邊的檢測社區(qū)方法，可廣泛用于查找網(wǎng)橋和服務供應商。但是，對于大型的社交網(wǎng)絡而言，這些方法的適用性均較差。

    在以上文獻提出的方法中，運行時間的復雜度和內存的使用成本問題仍然存在。因此，它們的適用性具有一定的局限。為了解決這些問題，本文提出了一種有效的社區(qū)檢測算法方法，該方法基于聚類系數(shù)和共同鄰居指標。實驗結果表明，在大規(guī)模社會網(wǎng)絡數(shù)據(jù)集中提出的方法提供了較高質量的社區(qū)劃分結果，并具備線性運行時間的復雜度特性。

1 模型和指標定義

1.1 問題描述

    在一個網(wǎng)絡模型中，一張圖G由有限集合(V，E)構成，其中V表示節(jié)點集合(網(wǎng)絡的用戶)，E表示邊或節(jié)點之間相互聯(lián)系的集合，V={v_i|i=1，…，n}，E={e_ij|v_i，v_j∈V}，n=|V|為節(jié)點總數(shù)，m=|E|為邊的總數(shù)。此外，當圖G′中節(jié)點的集合E′和邊的集合V′都是圖G中V和E的子集時，G′表示G的子圖。社交網(wǎng)絡可以建模為一個有向圖或一個無向圖，其中節(jié)點表示個體，邊表示節(jié)點之間的關系。本文重點是在社交網(wǎng)絡中進行社區(qū)檢測，它可以用一個無向圖來表示。這個社區(qū)可以被定義為節(jié)點的一個子集，與網(wǎng)絡的其他節(jié)點相比較，這些節(jié)點更有可能連接在一起。圖1顯示了一張具有3個社區(qū)的信息圖。

1.2 采用的度量標準

    本文采用共同鄰居的相似性來衡量兩個節(jié)點的相似度，這意味著，當此度量指標較高時，節(jié)點更有可能是在同一個社區(qū)內。相比應用平均聚類系數(shù)來衡量集群的方法，本文提出的結果準確性更高。本文采用了兩種度量標準：

    (1)共同鄰居的相似性：在參考文獻[8]和[10]中使用共同的鄰居來定義節(jié)點之間的相似性。如果兩個節(jié)點有大量的共同鄰居，那么它們更相似。這個指標由以下公式進行計算。

式中，A表示鄰居相似性。

    (2)聚類系數(shù)：采用此類度量標準的目的是評估節(jié)點在一個集群中的集群化趨勢。其中最受歡迎的一個測量標準是模塊性最大化，但是它存在兩個問題：①它合并小型子圖，當分辨率較低時，它占主導地位；②它分裂大型子圖，當分辨率較高時，它占主導地位。另一種被廣泛使用的度量稱為聚類系數(shù)^[10-11]，在一個社區(qū)內提供了一個強大的鄰居結構。這項標準被廣泛應用于社會網(wǎng)絡分析中，它被定義為封閉的三聯(lián)體(三角形)數(shù)量和給定圖的三聯(lián)體數(shù)量之間的比率，式(2)給出了其定義^[2]：

式中，C表示聚類系數(shù)。

2 提出的權重系數(shù)

    本研究的目的是研究社區(qū)之間的邊所存在的一些性質，最后提取新的社區(qū)。

    引理1：假設G是一張無向非加權圖，E表示G的邊集合，V表示G的節(jié)點集合，得到如下公式：

其中，L表示節(jié)點vi鄰居之間的關聯(lián)數(shù)量。

    論證：假設G為一張圖，僅僅包含一個三角形T，本文假設它由3個節(jié)點組成(v₁，v₂，v₃)。

    如果計算L(v₁)，則發(fā)現(xiàn)一對關聯(lián)(v₂和v₃)；如果計算v₂的這一度量，則發(fā)現(xiàn)v₁和v₃之間的關聯(lián)；最后計算v₃，得到了v₁和v₂之間的關聯(lián)。之后，如果計算總和L(v₁)+L(v₂)+L(v₃)，那么得到的結果是3對關聯(lián)?？傊?，當本文計算一張圖中每個節(jié)點與其鄰居之間的關聯(lián)數(shù)量時，對同一個三角形計算了3次。

    圖2闡釋了一張無向圖，由7個節(jié)點和10條邊構成。該圖由3個三角形組成。當本文計算這7個節(jié)點鄰居之間的關聯(lián)數(shù)量總和時，得到表1所示結果。

    根據(jù)這些結果，3個三角形共計算了3次，這意味著3×(在G₁中的三角形數(shù)量)等于在G₁中每個節(jié)點鄰居之間的關聯(lián)數(shù)量總和。

    性質1：運用式(1)，本文可以得出結論：兩個社區(qū)之間的一條邊的節(jié)點是不同的。它們沒有或僅有少數(shù)幾個共同的鄰居。

    性質2：本文研究的重點在于在社區(qū)內最大化聚類系數(shù)(式(2))。為了達到這一目標，三角形的數(shù)量以及式(4)中的度量必須盡可能地最大化。實際上，在一個社區(qū)中每個節(jié)點鄰居之間的關聯(lián)數(shù)量必須最大化。這意味著對于具有較高聚類系數(shù)(大量三角形)的兩個社區(qū)之間的節(jié)點，其鄰居之間的關聯(lián)數(shù)量較大。

    引理2：假設G是一張無向非加權的圖。在兩個社區(qū)之間一條邊e(v_i，v_j)的節(jié)點沒有或有幾個共同鄰居，節(jié)點v_i和v_j具有較高的度量L。

    論據(jù)：通過使用性質1和性質2獲得引理2。

    本文將節(jié)點鄰居之間的關聯(lián)數(shù)量標準化。由以下方程來定義標準化：

式中，B表示的是節(jié)點鄰居關聯(lián)數(shù)據(jù)標準。

    通過式(1)可知節(jié)點之間共同鄰居的數(shù)量。從引理2可以得知，本文的目標是找到這些邊e(v_i，v_j)，它們在鄰居i和j之間的關聯(lián)數(shù)量較大(見式(5))，而在i和j之間的共同鄰居數(shù)量較少(見式(1))。因此，以這些邊為基礎，所提方法的目標是找到度量W，W可以由如下公式定義：

3 本文提出的方法

    在過去的幾年中，在社交網(wǎng)絡中進行社區(qū)檢測已經吸引了很多研究人員，但它仍是一項具有挑戰(zhàn)性的任務。事實上，大多數(shù)現(xiàn)有方法的適用性受限于它們的計算成本。本文提出的方法通過刪除在未加權圖中的社區(qū)之間的邊，從社交網(wǎng)絡中找到社區(qū)。本文假設一個社區(qū)必須至少有4個節(jié)點，如參考文獻[2]所使用的社區(qū)。刪除邊是為了最小化每條邊節(jié)點之間的共同鄰居數(shù)量(少于共同鄰居的20%)，并且提高社區(qū)劃分的質量。下面介紹算法步驟和實例分析。

3.1 算法描述

    本文提出的方法使用了以下步驟：

    輸入：無向非加權的網(wǎng)絡G(V，E)

    輸出：n個社區(qū)，G_s={G_s1，G_s2，…，G_sn}

    (1)首先，本文計算在圖G中每個節(jié)點鄰居之間的關聯(lián)數(shù)量L(v_i)。然后，本文計算每條邊e共同聚類數(shù)量C，以及這條邊的節(jié)點之間鄰居U的結合情況。之后，設L=L(v_i)+L(v_j)和S=|鄰居(v_i)+鄰居(v_j)|，其中v_i、v_j表示由邊e相連的兩個節(jié)點。

    (2)本文使用W在表格T中以遞減順序對邊進行分類。一旦這個操作完成，就按照在T中的順序找到第一條邊e(v_i，v_j)。如果在刪除這條邊之后，v_i鄰居的數(shù)量和v_j鄰居的數(shù)量均會超過0，那么將這條邊從G中刪除，否則不刪除。本文需要對T中的其他邊重復測試，直到表格T是空為止。

    (3)本文應用了一個社區(qū)必須至少包含4個節(jié)點的假設。為了確保該假設成立，需要把每張少于4個節(jié)點的子圖G′加入到在步驟(2)中已經被分離的最后一張子圖中。

3.2 實例分析

    設一個網(wǎng)絡N1結構如圖3所示，圖4體現(xiàn)了提出的方法應用于網(wǎng)絡N₁的結果。首先，運用步驟(1)在未加權的圖中計算每條邊的W值。然后，本文選擇符合以下條件的邊e(v_i，v_j)：在節(jié)點v_i和v_j之間共同鄰居的數(shù)量較低(少于20%)。

    本文運用W值對這些邊進行分類，按照遞減順序將這些邊儲存在表格T中。重復步驟(2)中邊的刪除操作，直到為空白為止。注意，大小小于2的群組不可以被分為獨立的群組。

    最后，本文將少于4個節(jié)點的每張子圖G′加入到已經被分離的最后一張子圖中。

4 實驗結果與分析

    為了驗證本算法的有效性，采用真實的較大規(guī)模社會網(wǎng)絡數(shù)據(jù)集進行實驗分析，并與生成樹算法^[8]、CBCD算法^[12]進行比較分析。

    實驗環(huán)境中服務器設備參數(shù)為：Xeon E7-4820雙核處理器，2.5 GHz CPU頻率，16 GB內存，Windows Server 2012系統(tǒng)。本文在核心圖社區(qū)檢測時采用GN算法(Girvan-Newman)。

    本文采用模塊性Q函數(shù)^[13]來評價劃分出的模塊性，采用NMI^[13]來評價劃分結果的相似性，兩個評價指標的數(shù)值越接近1，說明算法劃分的效果和質量越高。實驗采用的4個較大社會網(wǎng)絡數(shù)據(jù)集的具體參數(shù)如表2所示。

4.1 結果分析

    采用生成樹算法、CBCD算法和本文提出算法在以上4個社會網(wǎng)絡數(shù)據(jù)集上分別進行了100次運行測試，實驗結果的平均指標數(shù)據(jù)如表3所示。

    通過表3可以看出，在Q函數(shù)指標結果上，本文提出算法比其他兩種算法都表現(xiàn)更好，即社會發(fā)現(xiàn)更有效，更好地體現(xiàn)了社區(qū)結構的劃分。在NMI指標結果上，相比其他兩種算法，本文算法的數(shù)值更接近于1，即劃分結果和真實的劃分更相似。

    從表4中可以看出，本文算法在4個社會網(wǎng)絡數(shù)據(jù)集上的運行時間均比其他兩種算法少，即相比其他兩種算法，本算法具有更高的效率。

4.2 復雜度分析

    該方法不是對所有的邊進行分類，而僅僅對共同鄰居少于20%的邊進行分類。例如，在Ca-CondMat網(wǎng)絡中，包含186 936條邊，本文僅僅對其中的67 297條邊進行分類。同樣，本文在Cit-HepTh網(wǎng)絡中僅僅對352 807條邊中的176 403條邊進行分類。

    在步驟(2)中，本文對一部分共同鄰居少于20%的邊進行分類。如果本文假設這些邊的數(shù)量為k，那么復雜度為O(k·log(k))，即具有線性復雜度。在本算法的實施過程中，運用了python 3.3分類算法。如果假設在步驟(3)的操作之后發(fā)現(xiàn)子圖的數(shù)量為c，由少于4個節(jié)點構成的子圖數(shù)量為c₁，那么復雜度為O(c₁·log²(c))。因為O(c₁·log²(c))<<O(N)，根據(jù)所選擇的網(wǎng)絡，本文得到出算法的復雜度取決于O(k·log(k))。因此，本文提出的算法具有線性復雜度，即使在運行時間最壞的情況下，復雜度為O(k·log(k))。

5 結束語

    本文提出了一種適用于社交網(wǎng)絡的新型社區(qū)檢測新方法。該方法使用了兩個最重要的度量來定義社區(qū)：(1)聚類系數(shù)，用于定義社區(qū)的質量；(2)屬于同一條邊的兩個節(jié)點共同鄰居的數(shù)量。實際上，與在不同社區(qū)中的兩個節(jié)點相比，在同一個社區(qū)中的兩個節(jié)點具有的共同鄰居數(shù)量較高。基于這些度量，本文推導出一個公式，允許在社區(qū)之間查找邊。在這個迭代的算法中，運用一些查找社區(qū)的標準來刪除邊。最后，實驗結果表明，與傳統(tǒng)的算法相比，本文提出的方法提供的網(wǎng)絡數(shù)據(jù)集合劃分不但模塊性高，NMI指標和運行效率也非常高。此外，該方法的運行時間具有線性復雜度，由此可以應用于大型的社交網(wǎng)絡中。

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