0 引言

    在實際通信環(huán)境中，對于認知無線電(Cognitive Radio，CR)^[1]的頻譜感知，針對信號相關和噪聲不確定現(xiàn)象很可能同時存在的問題，國內外學者們提出了許多有效的頻譜感知方法^[2-4]，這些方法成功地規(guī)避了經典檢測法的缺點。隨著認知無線電技術的廣泛發(fā)展與深入研究，基于隨機矩陣理論(Random Matrix Theory，RMT)的頻譜感知方法成為了研究熱點^[5-6]。文獻[7]中利用了Wishart矩陣最大特征值的分布，將算術平均特征值近似為噪聲的方差，得到了較高的檢測性能，但在采樣點數小、信噪比低時，性能略差；針對最小特征值的極限分布比最大特征值的極限分布更精確這一條件，文獻[8]、[9]分別利用了最小特征值的一階和二階Tracy-Widom分布特性，通過減小判決門限來提高檢測性能，但Tracy-Widom函數求解很困難，只能通過查表獲得一些離散值；文獻[10]、[11]中利用多元統(tǒng)計理論和協(xié)方差矩陣的分布特性，得到特征值表達式的對數分布形式，但在低信噪比條件下，需通過增加樣本點來提高檢測性能；文獻[12]中利用了卡方分布和中心極限定理，推導出了算術平均特征值的分布特性，其中AME(Average to Maximum Eigenvalue)算法的檢測性能要在較多協(xié)作用戶數條件下才高于最大最小特征值算法^[13]。

    針對以上各算法的問題，本文運用接收信號的樣本協(xié)方差矩陣幾何平均特征值的對數分布規(guī)律特性，提出了一種基于樣本協(xié)方差矩陣最大最小特征值之差與幾何平均特征值(Difference between the Maximum-Minimum and Geometric mean eigenvalue，DMMG)比值的頻譜感知算法，并對該算法的感知性能進行了理論分析和仿真驗證。與其他算法相比，該算法檢測性能較好，受樣本中極端值和虛警概率的影響較小，且判決門限十分簡單。

1 系統(tǒng)模型

1.1 多用戶協(xié)作頻譜感知場景

    本文采用圖1所示的認知無線電網絡系統(tǒng)。該系統(tǒng)由多個主用戶(Primary User，PU)、多個認知用戶(Secondary User，SU)、一個主用戶基站(Primary Base Station，PBS)和一個認知用戶基站(Secondary Base Station，SBS)組成，PU通過PBS進行通信，SU通過多用戶協(xié)作的方式對PBS發(fā)射的信號進行接收和采樣，并將這些采樣數據送到SBS中進行相應的處理，從而判斷該段頻譜是否空閑，實現(xiàn)多用戶協(xié)作頻譜感知。

1.2 頻譜感知模型

    SU通過對接收信號的檢測來判斷PU信號是否存在，用H₁表示噪聲與信號同時存在的情況，用H₀表示只有噪聲的情況，則整個檢測過程可以建模為一個二元假設檢測模型：

2 DMMG算法的理論分析

2.1 樣本協(xié)方差矩陣的幾何平均特征值特性

    當PU信號不存在時(H₀)，則：

2.2 DMMG算法的判決門限推導

2.3 DMMG算法判決門限的有效性

    由判決門限表達式(19)可知，γ只與采樣點數N、協(xié)作用戶數M和虛警概率P_fa有關。給定P_fa=0.01，M=10，進行仿真，如圖2所示。由仿真結果可知，γ隨采樣點數的變化而動態(tài)調整；在不同采樣點數情況下，γ的關系曲線位于只有噪聲情況下的關系曲線的上方；由于存在虛警概率，在只有噪聲情況下的值也可能存在極少的點位于γ關系曲線的上方。根據判決規(guī)則式(20)可知，仿真結果已驗證DMMG算法判決門限的有效性。

3 算法性能仿真

3.1 仿真環(huán)境及工具

    本文分別從不同信噪比、協(xié)作用戶數、采樣點數、虛警概率以及樣本中存在極端值情況5個方面對DMMG算法進行仿真分析。在仿真中，DMMG算法將與AMME(Average to Maximum-Minimum Eigenvalue)、NMME(Novel Maximum-Minimum Eigenvalue)、AME以及BESD(Blind Eigenvalues Detection)算法進行比較；實驗采用10 000次的Monte Carlo仿真，仿真平臺為MATLAB(R2013a)。

3.2 仿真結果及分析

3.2.1 檢測概率與信噪比的關系

    各種算法在不同信噪比(dB)情況下的檢測性能如圖3所示。其中N=100，P_fa=0.05，M=5。由圖可知，在低信噪比條件下，DMMG算法的檢測性能高于其他4種算法，當SNR=-6 dB時，DMMG算法的檢測概率已達0.954。當采樣點數為100、虛警概率為0.05、協(xié)作用戶數為5時，信噪比在-20 dB～-5 dB的范圍內，DMMG算法的性能最好。

3.2.2 檢測概率與協(xié)作用戶數的關系

    各種算法在不同協(xié)作用戶數情況下的檢測性能如圖4所示，其中N=200，P_fa=0.05，SNR=-8 dB。由圖可知，在小協(xié)作用戶數情況下，DMMG算法的檢測性能最佳。當M=5時，DMMG算法獲得0.938的檢測概率。在采樣點數為200、虛警概率為0.05、信噪比為-8 dB時，協(xié)作用戶數在3～6的范圍內，DMMG算法的感知性能最優(yōu)。

3.2.3 檢測概率與采樣點數之間的關系

    各種算法在不同采樣點數情況下的檢測性能如圖5所示，其中M=5，P_fa=0.05，SNR=-8 dB。由圖可知，在相同采樣點數情況下，檢測概率最高的是DMMG算法；當N=200，DMMG算法已達0.933的檢測概率，優(yōu)于其他算法。在虛警概率為0.05、信噪比為-8 dB、協(xié)作用戶數為5時，采樣點數大于協(xié)作用戶數并小于350的范圍內，DMMG算法的感知性能最高。

3.2.4 樣本中極端值對檢測性能的影響

    表1列出了當N=120時，各種算法在是否存在極端值兩種情況下檢測概率的偏差(取正值)?？梢娖渲蠨MMG算法的偏差最小。

    在是否存在極端值兩種情況下各種算法的檢測概率隨采樣點數變化的關系曲線如圖6所示，其中M=10，P_fa=0.05，SNR=-10 dB。當樣本中存在極端值時，BESD算法幾乎完全喪失檢測性能，NMME和AME兩種算法的關系曲線與理想情況（無極端值）下存在較大的差異。DMMG算法在是否存在極端值兩種情況下的仿真曲線均位于AMME算法關系曲線的上方。綜上，DMMG算法受樣本中極端值的影響較小，其檢測性能優(yōu)于其他4種算法。

3.2.5 檢測概率與虛警概率的關系

    檢測概率隨虛警概率變化的關系曲線如圖7所示，其中，M=10；采樣點數N=100，200，350；信噪比SNR=-10 dB，-15 dB。結果表明，當虛警概率從0.01增加到0.1，在不同的采樣點數和信噪比情況下，DMMG算法的檢測概率增加均不到0.1。由此可知，DMMG算法受虛警概率的影響較小。

4 結論

    本文運用特征值的對數分布特性，提出了一種基于接收信號樣本協(xié)方差矩陣最大最小特征值之差與幾何平均特征值比值的新算法，即DMMG算法。該算法不敏感于噪聲不確定性，不依賴于Tracy-Widom定理，通過與AMME、NMME、AME和BESD 4種算法相比較可得：DMMG算法在低信噪比、低協(xié)作用戶數以及低樣本點數條件下，具有更好的檢測性能，當滿足協(xié)作用戶數多于3少于6，采樣點數大于協(xié)作用戶數并小于350，信噪比在-20 dB～-5 dB的范圍內，DMMG算法的感知性能達到最優(yōu)。此外，DMMG算法的感知性能較為穩(wěn)定，受虛警概率和樣本中極端值的影響較小。

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