0 引言

    傳統(tǒng)的時(shí)頻方法在處理非平穩(wěn)信號(hào)時(shí)無(wú)法得到信號(hào)蘊(yùn)含的全部信息等問(wèn)題，使得相關(guān)學(xué)者致力于找到一種適合處理非平穩(wěn)信號(hào)的新的時(shí)頻分析技術(shù)。而2005年SMITH J S^[1]提出局部均值分解(Local Mean Decomposition，LMD)，似乎為解決這一問(wèn)題找到了一個(gè)良好途徑。LMD分解信號(hào)后可以產(chǎn)生多個(gè)具有物理含義的生產(chǎn)函數(shù)(Production Function，PF)分量，這些PF分量一般由包絡(luò)信號(hào)和純調(diào)頻信號(hào)構(gòu)成，通過(guò)組合幅值和瞬時(shí)頻率就可以得到原信號(hào)的完整時(shí)頻圖^[2-4]。LMD被提出以來(lái)，相關(guān)學(xué)者發(fā)現(xiàn)LMD方法存在較為明顯的端部效應(yīng)。國(guó)內(nèi)外學(xué)者針對(duì)這一問(wèn)題提出了諸多解決方法，如鏡像法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、自回歸法以及波形匹配法等等^[5-12]。其中鏡像拓展法效果稍占優(yōu)勢(shì)，但鏡像拓展法需要將鏡面放置極值點(diǎn)處，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有良好泛化能力，極易找到信號(hào)端部的極值點(diǎn)^[13-16]。鑒于此，本文提出基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與鏡像技術(shù)相結(jié)合來(lái)處理LMD方法的端部效應(yīng)問(wèn)題。

1 LMD算法及端部效應(yīng)

    局域均值分解的基本流程如圖1所示，信號(hào)不斷篩選就可以得到原始信號(hào)的全部PF分量。圖中，x為原始信號(hào)，h、u為變量，a_i為包絡(luò)函數(shù)，PF_i為生產(chǎn)函數(shù)分量，s_i為純調(diào)頻函數(shù)，n_i為局部極值點(diǎn)，m_i為局部均值函數(shù)^[1-3]。

    對(duì)于待分解信號(hào)x(t)，其計(jì)算步驟如下^[1-4]：

    (1)首先提取帶分解信號(hào)的局部極值點(diǎn)，找到每個(gè)相鄰局部極值點(diǎn)的平均值：

    對(duì)s₁₁(t)重復(fù)上述步驟，便可獲得s₁₁(t)的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a₁₂(t)。若局部包絡(luò)函數(shù)a₁₂(t)不等于2，則說(shuō)明s₁₁(t)不是純調(diào)頻信號(hào)，重復(fù)上述步驟獲取的s_1p(t)為純調(diào)頻信號(hào)，于是：

2 基于鏡像延拓和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的端部效應(yīng)處理方法

2.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)序列預(yù)測(cè)模型

    BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法就是利用BP算法來(lái)對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有三層，分別為輸入、輸出和中間層，經(jīng)驗(yàn)表明，中間層一般選取一個(gè)即可，具體如圖2所示。

    BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本步驟如下：

    (9)隨機(jī)選取樣本提供給網(wǎng)絡(luò)，返回到步驟(3)，直到滿足要求。基本思路如圖3所示。

2.2 鏡像延拓法

    為了更加顯著消除端部效應(yīng)，必須將鏡面放置在極值點(diǎn)處，再根據(jù)信號(hào)特點(diǎn)決定放置鏡面的具體位置。最后兩端放置鏡面的原信號(hào)的像將和原信號(hào)構(gòu)成連續(xù)封閉的環(huán)狀，如此原信號(hào)上下包絡(luò)線將完全通過(guò)內(nèi)部數(shù)據(jù)來(lái)得到，可以避免端部效應(yīng)發(fā)生，故本文利用該方法來(lái)處理LMD的端部效應(yīng)^[11-16]。

2.3 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和鏡像延拓閉合的端部效應(yīng)處理方法

    本文首先通過(guò)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法預(yù)測(cè)得到原始信號(hào)的兩端處的極值點(diǎn)，再利用鏡像法對(duì)原信號(hào)形成閉環(huán)，最后將其運(yùn)用到LMD分解過(guò)程中出現(xiàn)的端部效應(yīng)抑制中。基本步驟如下^[10-14]：

    (1)以原始信號(hào)數(shù)據(jù)作為樣本，訓(xùn)練得到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型。

    (2)以信號(hào)左端預(yù)測(cè)為例，通過(guò)步驟(1)得到的預(yù)測(cè)模型對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)，也就是通過(guò)x_q-n+1，…，x_q預(yù)測(cè)x_q+1，再將x_q+1代入到BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中，以x_q-n+2，…，x_q+1預(yù)測(cè)x_q+2，如此反復(fù)。右端預(yù)測(cè)同理。

    (3)判斷步驟(2)得到的預(yù)測(cè)點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。若為極值點(diǎn)，停止預(yù)測(cè)，否則繼續(xù)預(yù)測(cè)，從而得到全部預(yù)測(cè)序列x_q，…，x_q+p。

    (4)將“鏡面”放置步驟(3)得到的極值點(diǎn)處，使得原始信號(hào)形成閉環(huán)數(shù)據(jù)，再利用LMD對(duì)此信號(hào)進(jìn)行分解。

3 仿真信號(hào)實(shí)驗(yàn)及結(jié)果分析

    構(gòu)造仿真信號(hào)為：s(t)=0.5cos(0.4π·t)+cos(0.2π·t)+0.3sin(0.025π·t)，t∈[-57，52]，其信號(hào)如圖4所示。這里，僅用鏡像延拓進(jìn)行端部效應(yīng)處理，LMD分解得到PF分量及其誤差分別如圖5和圖6所示。從圖5和圖6可以看出，LMD分解得到的各個(gè)PF分量與原信號(hào)之間誤差不是很大，但是端部效應(yīng)仍然比較明顯。

    采用本文提出的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)—鏡像延拓法對(duì)圖1所示信號(hào)進(jìn)行LMD分解，各PF分量與其真實(shí)構(gòu)成的對(duì)比結(jié)果如圖7所示，它們與原始信號(hào)之間的誤差如圖8所示。利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法對(duì)左右端點(diǎn)進(jìn)行延拓獲取極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)時(shí)，所獲得的效果較好。將圖5和圖6的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，可以看出，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)擬合預(yù)測(cè)方法獲取一個(gè)或者幾個(gè)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)后，通過(guò)鏡像延拓法完全抑制了可能產(chǎn)生的端部效應(yīng)，進(jìn)而得到與原始構(gòu)成信號(hào)更為吻合的各個(gè)PF分量。相對(duì)于圖6所示傳統(tǒng)鏡像延拓方法進(jìn)行LMD分解各PF分量與原始構(gòu)成信號(hào)之間的誤差而言，圖8所示BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)—鏡像延拓方法LMD分解的誤差小得多。

4 結(jié)論

    本文提出了利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行數(shù)據(jù)序列延拓來(lái)抑制端部效應(yīng)的一種新方法，所提出理論方法的要點(diǎn)在于通過(guò)BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)擬合外推預(yù)測(cè)方法分別正向和反向延拓一個(gè)或者多個(gè)極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，這樣就可以將鏡面放置在局部極值點(diǎn)上，然后再利用鏡像延拓法進(jìn)行端部延拓處理。它可以有效地抑制和消除LMD分解過(guò)程中可能出現(xiàn)的端部效應(yīng)，分解得到的PF也能更好地反映原信號(hào)的真實(shí)信息和特征。仿真實(shí)驗(yàn)表明，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-鏡像延拓方法處理后進(jìn)行LMD分解得到各個(gè)PF與原信號(hào)的構(gòu)成信號(hào)之間的誤差極小。這種方法能夠適應(yīng)不同信號(hào)分析的需要，具有極高的適應(yīng)性和良好的推廣價(jià)值。

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作者信息:

王莉娜1，楊  劍2，孟慶強(qiáng)3

(1.江蘇第二師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京210036；

2.江蘇第二師范學(xué)院 信息化建設(shè)與管理辦公室，江蘇 南京210036；

3.南京南瑞集團(tuán)信息通信技術(shù)分公司,江蘇 南京210003)